الاقترانات المتشعبة

• تعرّف الاقتران المتشعب واقتران القيمة المطلقة وتمثيلهما بيانياً، وتحديد مجال كلّ منهما ومداه.

لماذا لا تكفي معادلة واحدة لثمن المياه؟

يُبيّن الجدول المجاور تعرفة ثمن المياه للاستهلاك المنزلي في الدورة الواحدة لبعض شرائح الاستهلاك.

• لا يُمكن كتابة معادلة واحدة بدلالة كمّية المياه المستهلكة $x$ تحسب ثمن المياه لأي قيم $x$.
• نحتاج إلى معادلة خاصة بكلّ واحدة من شرائح الاستهلاك.

فكيف نحسب قيمة اقتران متشعب ونرسمه؟

كيف نحسب قيمة اقتران متشعب ونرسمه؟

كيف نكتب اقتران أجرة العامل؟

كيف نكتب القيمة المطلقة بدون رمزها؟

• ومن أمثلته: $f(x) = 2|x| + 3$ و $f(x) = |x^2 - 2x - 3|$.
• من أبسط اقترانات القيمة المطلقة $f(x) = |x|$، ويُمكن كتابته بصورة اقتران متشعب كما يأتي:

1. الصفر: ساوِ ما داخل رمز القيمة المطلقة بالصفر، ثم حلّ المعادلة.
2. الإشارة: عيّن الصفر على خط الأعداد، وحدّد الإشارة على جانبيه.
3. القاعدتان: اكتب ما بالداخل كما هو عند الإشارة الموجبة، ومضروباً في سالب واحد عند السالبة.
4. الاقتران: اكتب قاعدة الاقتران المتشعب.

الرأس ومحور التماثل: ارسم ⁦V⁩ بسرعة

• التمثيل البياني للاقتران $f(x) = a|x - h| + k$، حيث $a \ne 0$، شعاعان على شكل حرف ⁦V⁩ متماثلان حول المحور $x = h$.
• يُمكن تمثيل اقتران القيمة المطلقة بيانياً باستعمال محور التماثل والرأس.

تدرّب: قيَم الاقتران، إعادة التعريف، التمثيل

إذا كان $f(x) = \begin{cases} 3x^2 & , x < -1 \\ 4x - 3 & , -1 \le x \le 4 \\ 2 & , x > 4 \end{cases}$، فأجد كلاً من:

1. $f(-2)$

2. $f(-1)$

3. $f(0)$

4. $f(4)$

5. $f(8)$

6. $f(5)$

أعيد تعريف كلّ من الاقترانات الآتية:

7. $f(x) = |3x - 6|$

8. $f(x) = |7x - 5| + 3$

أمثّل كلاً من الاقترانات الآتية بيانياً، وأحدّد مجالها ومداها:

9. $f(x) = \begin{cases} 3 - 2x & , x < -1 \\ 6 & , -1 \le x \le 3 \\ x^2 & , x > 3 \end{cases}$

10. $f(x) = \begin{cases} 3 & , x = 1 \\ -x + 2 & , x \ne 1 \end{cases}$

11. $f(x) = \begin{cases} x + 5 & , x \ne 2 \\ 6 & , x = 2 \end{cases}$

12. $f(x) = \begin{cases} 2 & , x \le 3 \\ -2 & , x > 3 \end{cases}$

13. $f(x) = 2|x + 3|$

14. $f(x) = -|x - 4| + 1$

خيمة: يُمثل منحنى الاقتران $f(x) = -1.4|x - 2.5| + 3.5$ حافتي الوجه الأمامي لخيمة، ويُمثل العمود الذي يتوسط الوجه الأمامي للخيمة محور التماثل، أما المحور $x$ فيُمثله سطح الأرض.

21. أمثل الاقتران بيانياً.

22. أجد مجال الاقتران ومداه.

عاصفة: تبدأ العاصفة المطرية بهطول على شكل رذاذ ثم يزداد معدل الهطل، ثم تعود ثانية للهطل على شكل رذاذ، ويُمثل الاقتران $r(t) = -0.5|t - 1| + 0.5$، معدل الهطل $r$ (بالإنش لكل ساعة)، حيث $t$ الزمن بالساعات منذ بداية الهطل.

23. أمثل اقتران معدل الهطل بيانياً.

24. أجد كم ساعة استمر الهطل.

25. بعد كم ساعة كان أعلى معدل هطل؟ أُبرّر إجابتي.

26. أعود إلى مسألة اليوم، وأكتبُ الاقتران المتشعب الذي يُمكنني استعماله لحساب ثمن المياه لأي كمّية مستهلكة.

إذا كان: $f(x) = \begin{cases} 3x + 2 & , x < 2 \\ 5 & , x = 2 \\ 2x - 1 & , x > 2 \end{cases}$

⁦a)⁩ أحدّد مجال $f(x)$

⁦b)⁩ أجد قيمة كلّ من $f(5)$، و $f(2)$

⁦c)⁩ أمثل الاقتران $f(x)$ بيانياً، وأحدّد مداه.

من الرسم إلى القاعدة: ثلاثة أجزاء

• يُمكنني أيضاً أن أجد قاعدة الاقتران المتشعب؛ إذا أُعطيت تمثيله البياني.

يُمكن نمذجة كثير من المواقف الحياتية باستعمال الاقترانات المتشعبة.

زادت شركة رواتب موظفيها الشهرية وفق الأسس الآتية: الرواتب التي تقلّ عن 400 دينار زيدت بنسبة 15%، والرواتب من 400 دينار إلى أقلّ من 600 دينار زيدت بنسبة 10%، مع علاوة ثابتة بقيمة 20 ديناراً، والرواتب من 600 دينار وأكثر زيدت 80 ديناراً. أكتبُ اقتراناً متشعباً لحساب الراتب الجديد لموظفي الشركة.

أعيد تعريف اقتران القيمة المطلقة: $f(x) = |3x - 9|$

1. الرأس: أجد إحداثيي الرأس ومعادلة محور التماثل.
2. نقطتان: أختار قيمة أكبر وقيمة أقل من محور التماثل، وأجد صورتيهما.
3. التمثيل: أمثّل النقطتين والرأس، ثم أصل بين النقاط الثلاث بشكل حرف ⁦V⁩.

أمثّل بيانياً كلّ اقتران ممّا يأتي، وأحدّد مجاله ومداه:

a) $f(x) = 2|x|$ b) $f(x) = -2|x - 4| + 3$

28. تحدّ: أمثل الاقتران $g(x) = -|4 - 2x| - 3$ بيانياً.

تحدّ: يُمكن كتابة المقدار $x^2 + px - q$ على الصورة $(x - 2.5)^2 - 0.25$

29. أجد قيمة كلّ من $p$، و $q$.

30. أجد إحداثيي كلّ من نقطتي تقاطع منحنى $f(x) = |x^2 + px - q|$ مع محور $x$.