المتتاليات والمتسلسلات

• تعرّف المتتالية المنتهية وغير المنتهية، والمتسلسلة المنتهية وغير المنتهية.
• إيجاد مجموع المتسلسلة المنتهية.
• تعرّف المتتالية الحسابية، وإيجاد مجموع المتسلسلة الحسابية المنتهية.

المتتالية: أعداد مرتبة لكل حدّ منها رتبة

تعلّمتُ سابقاً مفهوم المتتالية، وأنّ كل عدد فيها يُسمّى حدّاً.

• بالرموز: المجال: $1, 2, 3, 4, ..., n$ -> المدى: $a_1, a_2, a_3, a_4, ..., a_n$
• حيث: $a_1$ الحد الأول للمتتالية، و $a_2$ الحد الثاني للمتتالية، و $a_n$ الحد العام للمتتالية.

أجد الحدود الأربعة الأولى لكلّ من المتتاليات الآتية:

a) $a_n = \frac{n}{2n-1}$

b) $a_n = (-2n)^n$

c) $a_n = \begin{cases} 2n & n \text{ عدد زوجي} \\ n^2 & n \text{ عدد فردي} \end{cases}$

1. $a_n = n^3 - n$

2. $a_n = 9-3^n$

3. $a_n = \frac{n-1}{n^2+n}$

وكيف نكتب مجموع حدود المتتالية باختصار؟

المتسلسلة: جمع الحدود، ورمز المجموع يختصر الكتابة

• وكما هو حال المتتالية، فإنّ المتسلسلة تكون منتهية، أو غير منتهية.

• في رمز المجموع: آخر قيم $k$ هي $n$، وأول قيم $k$ هي $k=1$، و $a_k$ هو الحد العام للمتتالية.
• فمثلاً، يُمكن التعبير عن المتسلسلتين السابقتين باستعمال رمز المجموع $\Sigma$ كما يأتي:
• $1+2+3+4+5 = \sum_{k=1}^{5} k$
• $1+2+3+... = \sum_{k=1}^{\infty} k$

أكتب كل متسلسلة ممّا يأتي باستعمال رمز المجموع:

a) $7 + 10 + 13 + 16 + ... + 25$

b) $1 - 2 + 3 - 4 + ...$

أجد مجموع كل متسلسلة ممّا يأتي:

a) $\sum_{k=1}^{7} \frac{5k-2}{2}$

b) $\sum_{k=1}^{5} (k+1)^2$

4. $1 + 4 + 9 + ... + 100$

5. $2 + 4 + 6 + ... + 20$

6. $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + ... + \frac{13}{14}$

7. $-\frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{8}{27} + ... + \frac{64}{729}$

وهل توجد قواعد تختصر الجمع الطويل؟

• يُمكن إيجاد مجموع المتسلسلة المنتهية بجمع حدودها،
• أما إذا كُتبت المتسلسلة باستعمال رمز المجموع، فإنّني أستعمل الحد العام لإيجاد حدودها، ثم أجمعها.

رمز المجموع: خصائص وصيغ جاهزة للمجاميع الخاصة

• إذا كان في المتسلسلة عدد كبير من الحدود، فإنّ إيجاد مجموعها لن يكون سهلاً.
• ولكن توجد قواعد يُمكن استعمالها لإيجاد مجموع بعض المتسلسلات الخاصة على نحو سهل كما يأتي.

1. مجموع الحدّ الثابت ($c$) إلى نفسه ($n$) من المرّات.
2. مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية من (1) إلى ($n$).
3. مجموع مربعات الأعداد الصحيحة المتتالية من (1) إلى ($n$).
4. مجموع مكعبات الأعداد الصحيحة المتتالية من (1) إلى ($n$).

a) $\sum_{k=1}^{10} 3k^2$

b) $\sum_{k=1}^{20} (7k-2)$

c) $\sum_{k=1}^{5} (-4k^3)$

8. $\sum_{n=1}^{6} (-2)^n$

9. $\sum_{n=1}^{4} \frac{n^2+1}{n+1}$

10. $\sum_{n=1}^{2} \frac{1}{3^n+1}$

11. $\sum_{k=1}^{6} \frac{k^2}{2}$

12. $\sum_{k=1}^{9} (12k-24)$

13. $\sum_{k=1}^{20} (k^3-1)$

وماذا لو كان الفرق بين كل حدّين ثابتاً؟

المتتالية الحسابية: فرق ثابت بين كل حدّين

• فمثلاً، المتتالية: $5, 10, 15, 20, ...$ حسابية؛ لأنّ لحدودها فرقاً مشتركاً، بحيث يزيد كل حدّ على الحد الذي يسبقه بمقدار 5.
• حدود متتالية حسابية: $5, 10, 15, 20, ...$ والأساس: $+5$ بين كل حدّين متتاليين.

• الدعم البياني: ألاحظ من التمثيل البياني للمتتالية: $23, 15, 9, 5, ...$ أنّ حدودها لا تقع على مستقيم واحد؛ ما يعني أنّها ليست متتالية حسابية.

أحدّد إذا كانت كل متتالية ممّا يأتي حسابية أم لا:

a) $7, 4, 1, -2, ...$

b) $0, 6, 13, 19, ...$

14. $10, 11, 14, 15, 18, 19, ...$

15. $12, 6, 0, -6, -12, ...$

16. $3, 5, 9, 15, 23, ...$

وكيف نصل إلى أي حدّ دون كتابة الحدود كلها؟

الحد العام: أيّ حدّ مباشرة من الأول والأساس

تعلّمتُ سابقاً أنه يُمكن إيجاد كل حدّ من حدود المتتالية الحسابية بإضافة الأساس إلى الحد الذي يسبقه

• أتذكّر: يُمكن أيضاً حلّ نظام المعادلات باستعمال التعويض.

أجد الحدّ العام لكل متتالية حسابية ممّا يأتي:

a) $1, -2, -5, ....$

b) $a_{10} = -11, d = 2$

c) $a_7 = 71, a_{16} = 26$

أجد الحد العام لكل متتالية حسابية ممّا يأتي، ثم أجد الحد الثلاثين منها:

17. $25, 58, 91, 124, ...$

18. $-1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1, ...$

19. $a_{17} = -5, d = -\frac{1}{2}$

20. $a_5 = 58, a_{12} = 30$

وكيف نجمع حدود المتتالية الحسابية دفعة واحدة؟

المجموع الجزئي: صيغتان لجمع الحدود الحسابية

• معلومة: كارل غاوس عالم رياضيات ألماني، من أهم علماء القرن الثامن عشر، ويوصف بأنه (أعظم عالم رياضيات في العصور القديمة)، وقد برع في المتتاليات والمتسلسلات.

لماذا يُفضَّل استعمال الصيغة الثانية من مجموع المتسلسلة الحسابية في الفرع 1 من المثال؟

أجد مجموع الحدود السبعة عشر الأولى من المتسلسلة الحسابية: $8 + 5 + 2 + ...$

أجد مجموع حدود المتسلسلة الحسابية: $7 + 15 + 23 + ... + 159$

أجد مجموع المتسلسلات الحسابية الآتية:

21. $1 + 5 + 9 + ... + 401$

22. $0.7 + 2.7 + 4.7 + ... + 56.7$

23. $\sum_{n=1}^{80} (2n-2)$

24. رياضة: يمارس هيثم تمارين الضغط بانتظام، وقد استطاع أداء 25 ضغطة بصورة مستمرة في الأسبوع الأول، ثم تمكّن من زيادة عددها أسبوعياً بمقدار 5 ضغطات على نحو مستمر. ما عدد الضغطات التي يُمكنه أداؤها بشكل مستمر في الأسبوع السادس عشر؟

25. متسلسلة حسابية منتهية، حدّها الأول 10، وأساسها 4، ومجموع حدودها 792، ما عدد حدود هذه المتسلسلة؟

26. إذا كان مجموع أول $n$ حدّاً من حدود متسلسلة حسابية هو $4n + n^2$، فأجد حدّها المئة.

وأين نستعمل هذا المجموع في الحياة؟

الحياة والمجموع الحسابي: جوائز وإنفاق ومسائل أخرى

• يُمكن استعمال مجموع المتسلسلة الحسابية في كثير من التطبيقات الحياتية والعملية.

اقتصاد: ضمن خطة إحدى المؤسسات الخيرية لزيادة التوعية بالأضرار الاقتصادية للتدخين على المستوى الأسري، أنفقت المؤسسة ⁦300 JD⁩ في السنة الأولى على حملات التوعية، وخطّطت لزيادة إنفاقها السنوي على هذه الحملات بنحو ⁦400 JD⁩ سنوياً على مدار 10 أعوام:

⁦a)⁩ أُبيّن أنّ إنفاق الجمعية السنوي يُمثّل متتالية حسابية.

⁦b)⁩ أجد الحد العام للمتتالية الحسابية.

⁦c)⁩ ما قيمة المبلغ الذي سوف تُنفقه المؤسسة في آخر عام من الخطة؟

⁦d)⁩ أجد مجموع ما سوف تُنفقه المؤسسة في 10 أعوام.

يُبيّن الشكل المجاور نمطاً هندسياً يُمثّل عدد النقاط في نماذج متتالية:

27. أُبيّن أنّ عدد النقاط في النماذج يُمثّل متتالية حسابية.

28. أجد الحد العام للمتتالية الحسابية.

29. هل يوجد نموذج يحوي 397 نقطة؟ أبرّر إجابتي.

متسلسلة حسابية، حدّها الأول $a$، وأساسها $d$، ومجموع حدودها الثلاثين الأولى يساوي ضعف مجموع حدودها العشرين الأولى:

30. أُثبت أنّ $a = \frac{11d}{2}$.

31. إذا كان مجموع الحدود الثلاثين الأولى هو 400، فأجد قيمتي $a$ و $d$.

32. أحلّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

تفكير أعلى: تبرير واكتشاف خطأ وتحدٍّ

33. تبرير: هل للمتسلسلتين: $9 + 7 + 5 + 3 + 1$ و $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ المجموع نفسه؟ هل يُمكن التعبير عنهما بالطريقة نفسها باستعمال رمز المجموع؟ أبرّر إجابتي.

34. أكتشف الخطأ: أوجدت ولاء مجموع المتسلسلة: $\sum_{k=1}^{5} (2k+7)$ على النحو الآتي:

✗ $\sum_{k=1}^{5} (2k+7) = 2(1+2+3+4+5) + 7$ أكتشف الخطأ في حل ولاء، ثم أُصحّحه.

35. تحدّ: إذا كانت $3, a-b, 3a-4b, 2a+2b$ تُمثّل الحدود الأربعة الأولى من متسلسلة حسابية، حيث $a$ و $b$ ثابتان، فأجد مجموع أول 25 حدّاً من المتسلسلة.