التحويلات الهندسية للاقترانات

• رسم منحنيات اقترانات باستعمال التحويلات الهندسية، وكتابة معادلة التحويل لمنحنى معطى.

الاقتران الرئيس: نقطة البداية لكل تحويل

تساعد معرفة شكل منحنى الاقتران الرئيس على تحليل وتمثيل منحنيات اقترانات أكثر تعقيداً ناتجة عن تطبيق تحويل هندسي أو أكثر على المنحنى الرئيس

• فمثلاً، الاقتران الرئيس لعائلة الاقترانات الخطّية هو $f(x) = x$،
• من أمثلة العائلة الخطّية:
• $h(x) = x + 3$
• $g(x) = 5x$
• $j(x) = -7x + 1$

• الانعكاس والانسحاب: يُغيّران موقع المنحنى فقط ولا يُغيّران في شكله وأبعاده.
• التمدّد: يُغيّر شكل المنحنى بحيث يبدو أوسع أو أضيق من منحنى الاقتران الرئيس.

الانسحاب الرأسي: ارفع المنحنى أو أنزله

• إذا كان $f$ اقتراناً وكان $c$ عدداً حقيقياً موجباً؛ فإنّ:
• منحنى $g(x) = f(x) + c$ هو منحنى $f(x)$ مزاحاً إلى الأعلى $c$ وحدة.
• منحنى $g(x) = f(x) - c$ هو منحنى $f(x)$ مزاحاً إلى الأسفل $c$ وحدة.

أستعملُ منحنى الاقتران الرئيس $f(x) = |x|$، لتمثيل كلّ من الاقترانات الآتية بيانياً:

a) $g(x) = |x| + 2$

b) $g(x) = |x| - 5$

وماذا لو أضفنا الثابت إلى المتغير نفسه بدل الاقتران؟

الانسحاب الأفقي: يميناً أو يساراً

• إذا كان $f$ اقتراناً وكان $c$ عدداً حقيقياً موجباً؛ فإنّ:
• منحنى $g(x) = f(x + c)$ هو منحنى $f(x)$ مزاحاً إلى اليسار $c$ وحدة.
• منحنى $g(x) = f(x - c)$ هو منحنى $f(x)$ مزاحاً إلى اليمين $c$ وحدة.

أستعملُ منحنى الاقتران الرئيس $f(x) = x^3$، لتمثيل كلّ من الاقترانات الآتية بيانياً:

a) $g(x) = (x-1)^3$

b) $g(x) = (x+1)^3$

c) $g(x) = (x+2)^3 - 4$

وماذا يحدث إذا قلبنا المنحنى بدل أن نزيحه؟

الانعكاس: اقلب المنحنى حول محور

• منحنى $g(x) = -f(x)$ هو انعكاس لمنحنى $f(x)$ حول المحور $x$.
• منحنى $g(x) = f(-x)$ هو انعكاس لمنحنى $f(x)$ حول المحور $y$.

a) $g(x) = -|x|$

b) $g(x) = |-x|$

التمدّد الرأسي: وسّع المنحنى أو ضيّقه رأسياً

• إذا كان $c$ عدداً حقيقياً موجباً؛ فإنّ منحنى $g(x) = cf(x)$ هو:
• توسيع رأسي بمعامل مقداره $c$ لمنحنى $f(x)$، إذا كانت $1 < c$
• تضييق رأسي بمعامل مقداره $c$ لمنحنى $f(x)$، إذا كانت $0 < c < 1$

أستعملُ منحنى الاقتران الرئيس $f(x) = x^2$ لتمثيل كلّ من الاقترانات الآتية بيانياً:

a) $g(x) = 3x^2$

b) $g(x) = \frac{1}{3}x^2$

والآن نغيّر عرض المنحنى بدل ارتفاعه.

التمدّد الأفقي: وسّع المنحنى أو ضيّقه أفقياً

• إذا كان $c$ عدداً حقيقياً موجباً؛ فإنّ منحنى $g(x) = f(cx)$ هو:
• تضييق أفقي لمنحنى $f(x)$، إذا كانت $1 < c$ بمعامل مقداره $1/c$.
• توسيع أفقي لمنحنى $f(x)$، إذا كانت $0 < c < 1$ بمعامل مقداره $1/c$.

a) $g(x) = (3x)^2$

b) $g(x) = (\frac{1}{3}x)^2$

أكثر من تحويل: لترتيبها قاعدة

• يُمكن تمثيل اقتران ناتج عن تطبيق أكثر من تحويل هندسي على الاقتران الرئيس؛ بتطبيق التحويلات على الاقتران الرئيس بالترتيب الآتي:
• 1 الانعكاس -> 2 التمدّد -> 3 الانسحاب

1. الاقتران الرئيس: ارسم أولاً منحنى الاقتران الرئيس.
2. الانعكاس: اعكس المنحنى حول المحور المناسب إن وُجدت إشارة سالبة.
3. التمدّد: وسّع المنحنى أو ضيّقه بحسب المعامل الذي يضرب الاقتران أو المتغير.
4. الانسحاب: أزح المنحنى بحسب الثابتين المضافين أو المطروحين.

أستعملُ منحنى الاقتران الرئيس $f(x) = x^2$ لتمثيل منحنى $g(x) = -(x-2)^2 + 3$ بيانياً.

تدرّب على التحويلات

1. $g(x) = x^2 - 6$

2. $q(x) = -(x-1)^2$

3. $\mathrm{s}(x) = 3x^2 + 4$

أستعملُ منحنى الاقتران الرئيس $f(x) = \sqrt{x}$ لتمثيل كلّ من الاقترانات الآتية بيانياً:

4. $g(x) = \sqrt{x-3}$

5. $h(x) = \sqrt{x-2} + 5$

6. $p(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x+2}$