المتغيرات العشوائية

• تعرّف المُتغيّر العشوائي، وإنشاء توزيعه الاحتمالي.
• إيجاد التوقّع والتباين لمُتغيّر عشوائي في تجربة عشوائية.

المتغير العشوائي: عدد لكل ناتج

في تجربة إلقاء ثلاث قطع نقد متمايزة عشوائيًا، إذا دلّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ على عدد مرّات ظهور الكتابة، فأجد مجموعة قيم ⁦X⁩.

التوزيع الاحتمالي: كل قيمة مع احتمالها

• مثال: قطعتا نقد. قيم ⁦X⁩ قد تكون 0، أو 1، أو 2.
• $\Omega = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$
• $P(X = 0) = 1/4$
• $P(X = 1) = 2/4 = 1/2$
• $P(X = 2) = 1/4$

وماذا لو كان عدد النواتج أكبر بكثير؟

سُحبت بطاقتان عشوائيًا دون إرجاع من وعاء يحوي البطاقات الآتية: 1، 3، 0، 3 إذا دلّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ على مجموع العددين الظاهرين على هاتين البطاقتين، فأُنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيّر ⁦X⁩.

مجموع الاحتمالات يساوي واحدًا

ألاحظ في المثال السابق أنَّ مجموع احتمالات قيم المُتغيّر العشوائي يساوي 1:

في تجربة عشوائية، كان التوزيع الاحتمالي للمُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ كما في الجدول الآتي:

x: $1, 2, 3, 4$ P(X = x): $0.25, g, 0.35, 3g$

⁦a)⁩ أجد قيمة ⁦g⁩.

⁦b)⁩ أجد ناتج $P(1 \le X < 3)$.

⁦c)⁩ أجد ناتج $P(X < 4)$.

⁦d)⁩ أجد منوال التوزيع.

التوقع: متوسط ما نتوقعه عبر التجارب

تعلّمت سابقًا إيجاد الوسط الحسابي ($\bar{x}$) لبيانات مُمثّلة في جداول تكرارية؛ بقسمة مجموع حاصل ضرب القيم في تكراراتها ($\sum xf$) على مجموع التكرارات ($\sum f$) باستعمال الصيغة الآتية:

• الاحتمالات تكرارات نسبية: احتمالات قيم المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ تُمثّل تكرارات لتلك القيم (تكرارات نسبية).
• مجموع الاحتمالات هو 1، فالوسط الحسابي هو $\sum x P(x)$.
• في ما يُعرف باسم التوقّع ⁦(expectation)⁩ للمُتغيّر العشوائي ⁦X⁩، ويُرمز إليه بالرمز ⁦E(X)⁩.

تجد حنين عددًا من الرسائل في بريدها الإلكتروني كل يوم، فقرّرت رصد عدد الرسائل التي وصلتها يوميًا من 50 يومًا اختارتها عشوائيًا، وكانت النتائج التي توصّلت إليها كما في الجدول الآتي:

عدد الرسائل ⁦(x)⁩: $1, 2, 3, 4, 5$ عدد الأيام (التكرار ⁦f)⁩: $7, 22, 18, 1, 2$ بافتراض أنَّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ يُمثّل عدد الرسائل اليومية التي تصل البريد الإلكتروني لحنين:

⁦a)⁩ أُنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيّر العشوائي ⁦X⁩.

⁦b)⁩ أجد توقّع المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩.

• يلزم أحيانًا إنشاء جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيّر العشوائي ⁦X⁩، ثم تطبيق الصيغة الخاصة بإيجاد التوقّع.

يحتوي وعاء على 6 بطاقات حمراء، و4 بطاقات زرقاء، جميعها مُتماثلة. إذا سُحبت منها بطاقتان على التوالي من دون إرجاع، ودلّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ على عدد البطاقات الزرقاء المسحوبة، فأجد ⁦E(X)⁩.

التباين: كم تتشتت القيم حول وسطها؟

يُبيّن الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمُتغيّر العشوائي ⁦X⁩:

x: $-1, 1, 3, 5$ P(X = x): $0.3, 0.4, 0.1, 0.2$

⁦a)⁩ أجد التوقّع $E(X)$.

⁦b)⁩ أجد التباين $Var(X)$.

تدرّب: قيم ⁦X⁩، التوزيع، التوقع والتباين

في تجربة سحب 4 كرات على التوالي من كيس يحوي 3 كرات حمراء، وكرتين سوداوين، إذا دلّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ على عدد الكرات الحمراء المسحوبة، فأجد قيم ⁦X⁩ في كلّ من الحالتين الآتيتين:

1. السحب مع الإرجاع.

2. السحب من دون إرجاع.

3. في تجربة إلقاء قطعة نقود 6 مرّات متتالية، إذا دلّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ على عدد مرّات ظهور الصورة ⁦(H)⁩، فأجد قيم ⁦X⁩.

4. في تجربة إلقاء حجري نرد متمايزين معًا مرّة واحدة، إذا دلّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ على ناتج ضرب العددين الظاهرين على الحجرين، فأجد قيم ⁦X⁩.

يحتوي وعاء على 3 أقراص زرقاء، و6 أقراص خضراء. إذا سُحبت 3 أقراص من الوعاء على التوالي مع الإرجاع، ودلّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ على عدد الأقراص الزرقاء المسحوبة، فأجد كُلًّا ممّا يأتي:

5. التوزيع الاحتمالي للمُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ في صورة جدول.

6. احتمال سحب قرص أزرق واحد على الأقل.

x: $1, 2, 4, 5, 8$ P(X = x): $0.2, b, 0.15, 0.29, 2b$

9. أجد قيمة ⁦b⁩.

10. أجد ناتج $P(2 < X \le 8)$.

11. أجد ناتج $P(X \ge 2)$.

12. يتألّف مجلس الطلبة في إحدى الجامعات من 10 طلاب و15 طالبة، وقد شُكّل هؤلاء الأعضاء لجنة تضمّ ثلاثة منهم بصورة عشوائية للاجتماع مع ممثلين عن رئاسة الجامعة. إذا دلّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ على عدد الطالبات في اللجنة المختارة، فأُنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيّر العشوائي ⁦X⁩.

أجد القيمة المُتوقّعة لكلّ من التوزيعات الاحتمالية الآتية:

x: $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ P(X = x): $0.13, 0.27, 0.1, 0.18, 0.22, 0.1$

y: $2, 4, 6, 8$ P(Y = y): $1/12, 5/12, 1/3, 1/6$

15. دُوّن أحد العلماء أعمار عدد من الغزلان في الجدول الآتي:

العمر (بالسنة ⁦x)⁩: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ التكرار ⁦(f)⁩: $7, 30, 58, 135, 150, 70, 40, 10$ بافتراض أنَّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ يُمثّل عمر الغزال، أجد التوقّع ⁦E(X)⁩.

16. يُبيّن الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمُتغيّر العشوائي ⁦X⁩:

x: $-1, 0, 1, 2$ P(X = x): $a, 4b, 2b, a$ إذا كان توقّع ⁦X⁩ هو 5/12، فأجد قيمة كلّ من ⁦a⁩، و⁦b⁩.

17. يعمل في إحدى المؤسسات 9 موظفين و15 موظفة، وقد شُكّل هؤلاء معًا لجنة مشتريات تضمّ أربعة منهم بصورة عشوائية. إذا دلّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ على عدد الموظفات في اللجنة المختارة، فأُنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيّر العشوائي ⁦X⁩، ثم أجد التوقّع ⁦E(X)⁩.

18. يُبيّن الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمُتغيّر العشوائي ⁦Y⁩:

y: $-2, 3$ P(Y = y): $a, 1 - a$ إذا كان ⁦E(Y) = 2⁩، فأجد ⁦Var(Y)⁩.

19. أحلّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

مهارات التفكير العليا: تبرير وتحدٍّ

في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًا على التوالي من صندوق يحوي 4 بطاقات مُتماثلة، كلّ منها مُرقّمة بأحد الأرقام: 2, 3, 4, 5، إذا دلّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ على مجموع الرقمين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، وكانت قيمه: 5, 6, 7, 8, 9، فأُحدّد ما إذا كان السحب مع الإرجاع، أو من دون إرجاع، وأُبرّر إجابتي.

21. تحدّ: رُقّمت أوجه حجر نرد أحمر بالأرقام: 3, 1, 1, 1, 2, 2، ثم رُقّمت أوجه حجر نرد أزرق بالأرقام: 1, 2, 2, 3, 3, 3، ثم أُلقي الحجران معًا مرّة واحدة. إذا دلّ المُتغيّر العشوائي ⁦X⁩ على مجموع الرقمين الظاهرين على الوجه العلوي لكلا الحجرين، فأُنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيّر العشوائي.

22. تحدّ: في تجربة عشوائية، اختيرت بطاقة من بين 3 بطاقات تحمل الأرقام: 1, 3, 5، ثم أُلقيت قطعة نقود منتظمة عددًا من المرّات يُطابق الرقم المكتوب على البطاقة. إذا دلّ المُتغيّر العشوائي ⁦H⁩ على عدد مرّات ظهور الصورة ⁦(H)⁩، فأجد عناصر الحادث المرتبط بالقيمة: ⁦3 = H⁩، ثم أجد ناتج $P(H = 3)$.

23. مسألة مفتوحة: أُنشئ جدول التوزيع الاحتمالي لمُتغيّر عشوائي ⁦X⁩، قيمه: 5, 3, 1، وقيمة ⁦4 = E(X)⁩.