قاعدة السلسلة

• إيجاد مشتقّات اقترانات مُختلفة باستعمال قاعدة السلسلة.

كيف نشتقّ اقترانًا بداخله اقتران؟

• ومن أمثلته: $f(x) = x^4$ ، $f(x) = \frac{1}{x^8}$ ، $f(x) = x^{\frac{5}{3}}$
• مشتقّة اقتران القوّة: $f'(x) = nx^{n-1}$.
• أكثر تعقيدًا: كيف نجد مشتقّة $f(x) = (x^3 + 2x)^7$؟
• اقتران مُركّب، حيث: $h(x) = x^3 + 2x$ و $g(x) = x^7$ مُركّبا $f(x)$.

إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقّة الاقتران المُركّب $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ باستعمال القاعدة الآتية:

• بصيغة أخرى، إذا كان: $y = f(u)$، وكان: $u = g(x)$، فإنَّ:

1. حدّد الداخلي والخارجي: افصل الاقتران المُركّب إلى اقتران داخلي واقتران خارجي.
2. اشتقّ كلًّا منهما: أوجد مشتقّة الاقتران الداخلي ومشتقّة الاقتران الخارجي.
3. اضرب: اضرب مشتقّة الخارجي، عند الداخلي، في مشتقّة الداخلي.
4. عوّض وبسّط: عوّض عن الاقتران الداخلي ثم بسّط الناتج.

أجد مشتقّة كل اقتران ممّا يأتي:

a) $y = (x^2 - 2)^4$

b) $y = \sqrt{x^3 + 4x}$

قاعدة سلسلة القوّة: طريق أقصر

• أكثر اقتران مُركّب شيوعًا هو $f(x) = (g(x))^n$، وله قاعدة عامة لمشتقّته.

إذا كان $n$ أيّ عدد حقيقي، وكان $g(x)$ اقترانًا، فإنَّ:

• عند نقطة ما: يُمكن إيجاد مشتقّة $f(x) = (g(x))^n$ عند قيمة $x$ معطاة، كما في المثال الآتي.

أجد مشتقّة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة $x$ المعطاة:

a) $f(x) = (x^4 + 1)^5, x = 1$

b) $f(x) = \sqrt{x^2 + 3x + 2}, x = 2$

c) $y = \sqrt[4]{(2x^2 - 7)^5}, x = 4$

نجمع قواعد الاشتقاق الأساسية مع السلسلة

• يتعيّن أحيانًا تطبيق قواعد الاشتقاق الأساسية، مثل مشتقّة المجموع ومشتقّة الفرق ومشتقّة مضاعفات الاقتران، إضافة إلى قاعدة السلسلة.

a) $f(x) = (1 + x^3)^4 + x^8 + 2$

b) $f(x) = \sqrt[3]{2x - 1} - (x - 3)^3$

المشتقّة تقيس سرعة التغيّر في الحياة

• المشتقّة هي نهاية ميل قاطع المنحنى بين النقطتين $(x, f(x)), (x+h, f(x+h))$ عندما $h \to 0$.
• ميل القاطع هو مُعدّل تغيّر قيمة $y$ بالنسبة إلى قيمة $x$، فالمشتقّة مُعدّل تغيّر عند لحظة (نقطة) مُعيّنة.
• إيجاد $\frac{dy}{dx}$ يعني إيجاد مُعدّل تغيّر $y$ بالنسبة إلى $x$.
• مواقف حياتية كثيرة تتطلّب إيجاد مُعدّل تغيّر كميّة بالنسبة إلى كميّة أخرى عند لحظة مُعيّنة، مثل كميّة أوّل أكسيد الكربون في الجو بالنسبة إلى عدد السكّان.

صناعة: إجمالي الأرباح السنوية لإحدى الشركات الصناعية (بآلاف الدنانير): $P(t) = \sqrt{10t^2 + t + 229}$، حيث $t$ عدد السنوات بعد عام 2015م.

a) أجد مُعدّل تغيّر إجمالي الأرباح السنوي للشركة بالنسبة إلى الزمن $t$.

b) أجد مُعدّل تغيّر إجمالي الأرباح السنوي للشركة عام 2020م، وأفسّر معنى الناتج.

تمرّن: اشتقّ بقاعدة السلسلة

1. $f(x) = (1 + 2x)^4$

2. $f(x) = (3 - 2x^2)^{-5}$

3. $f(x) = (x^2 - 7x + 1)^{\frac{3}{2}}$

4. $f(x) = \sqrt{7 - x}$

5. $f(x) = 4(2 + 8x)^4$

6. $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{4x - 8}}$

7. $f(x) = \sqrt{5 + 3x^3}$

8. $f(x) = \sqrt{x} + (x - 3)^2$

9. $f(x) = \sqrt[3]{2x - x^5} + (4 - x)^2$

10. $f(x) = (\sqrt{x} + 5)^4$

11. $f(x) = \sqrt{(2x - 5)^3}$

12. $f(x) = (2x^3 - 3x^2 + 4x + 1)^5$

13. $f(x) = \frac{1}{(4x + 1)^2}, x = \frac{1}{4}$

14. $f(x) = \sqrt{25 - x^2}, x = 3$

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{dy}{dx}$ لكل ممّا يأتي:

15. $y = 5u^2 + 3u, u = x^3 + 1$

16. $y = \sqrt[3]{2u + 5}, u = x^2 - x$

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{dy}{dx}$ لكل ممّا يأتي عند قيمة $x$ المعطاة:

17. $y = 3u^2 - 5u + 2$ $u = x^2 - 1$ $x = 2$

18. $y = (1 + u^2)^3$ $u = 2x - 1$ $x = 1$

صناعة: تكلفة إنتاج $x$ قطعة من مُنتج مُعيّن (بآلاف الدنانير): $C(x) = 1000 \sqrt{x^2 - 0.1x}$ 19. أجد مُعدّل تغيّر تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المُنتجة.

20. أجد مُعدّل تغيّر تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المُنتجة عندما يكون عدد القطع المُنتجة 20 قطعة.

علوم: عدد الخلايا البكتيرية بعد $t$ يومًا في مجتمع بكتيري: ${N}(t) = 400 (1 - \frac{3}{(t^2 + 2)^2})$ 21. أجد مُعدّل تغيّر ${N}$ بالنسبة إلى $t$ عندما $t = 1$.

22. أجد مُعدّل تغيّر ${N}$ بالنسبة إلى $t$ عندما $t = 4$.

إذا كان:

$g(2) = -3$ $g'(2) = 6$ $h(3) = 2$ $h'(3) = -2$ فأجد مشتقّة كل اقتران ممّا يأتي عندما $x = 3$:

23. $f(x) = g(h(x))$

24. $f(x) = (h(x))^3$

إذا كان $y = \sqrt{2x + 5}$؛ فأجيب عمّا يأتي:

25. أثبت أنَّ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$.

26. أجد النقطة التي يقطع عندها مماس الاقتران عند النقطة $(2, 3)$ المحور $x$.

إذا كان $y = \frac{600}{x^2 + 50}$؛ فأجيب عمّا يأتي:

27. أجد $\frac{dy}{dx}$ عند $x = 1$.

28. أجد معادلة المماس عند النقطة $(10, 4)$.

29. تبرير: إذا كان: $h(x) = f(g(x))$، حيث: $f(u) = u^2 - 1$، وكان: $g(2) = 3, g'(2) = -1$، فأجد $h'(2)$، وأبرّر إجابتي.

30. تبرير: أجد مشتقّة الاقتران: $y = (x^2 - 4)^5$ عندما $y = 0$، وأبرّر إجابتي.

31. أكتشف المُختلف: أيّ الاقترانات الآتية مُختلف؟ أُبرّر إجابتي.

$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ $h(x) = (x^2 + 1)^3$ $g(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ $p(x) = x^2 + 1$

32. تحدّ: أجد مشتقّة الاقتران: $f(x) = \sqrt[3]{2x + (x^2 + x)^4}$.

33. تحدّ: أثبت أنَّ مماس منحنى الاقتران $y = (x^2 + x - 2)^3 + 3$ عند النقطة $(1, 3)$، هو أيضًا مماس للمنحنى عند نقطة أخرى.