التكامل غير المحدود

• تعرُّف التكامل بوصفه عملية عكسية للاشتقاق.
• إيجاد التكامل غير المحدود لاقتران القُوّة، والاقتران الثابت.

من المشتقة إلى الاقتران: عكس الاشتقاق

• الاقتران معلوم: يُمكن إيجاد مشتقته باستعمال قواعد الاشتقاق.
• المشتقة معلومة: يتعيّن استعمال طريقة عكسية تلغي المشتقة.

• مثال: إذا كان $f(x) = 3x^2$، فإنَّ $F(x) = x^3$ هو اقتران أصلي للاقتران $f(x)$.
• لكنَّها ليست الصورة الوحيدة: قد يكون $F(x) = x^3 + 1$، أو $F(x) = x^3 - 3$.
• السبب: مشتقة كلّ منهما تساوي $3x^2$ (مشتقة الحد الثابت تساوي صفرًا).

إذا كان $F(x)$ اقترانًا أصليًا للاقتران المتصل $f(x)$، فإنَّ أيّ اقتران أصلي آخر للاقتران $f(x)$ يُكتب في صورة: $G(x) = F(x) + C$، حيث $C$ ثابت:

أجد اقترانًا أصليًا لكلّ من الاقترانين الآتيين:

a) $f(x) = 10x^9$ b) $f(x) = -11x^{-12}$

أجد اقترانًا أصليًا لكلّ من الاقترانات الآتية:

1. $f(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

2. $f(x) = -x^{-2}$

3. $f(x) = -5$

4. $f(x) = 6x^5$

التكامل: رمزه وعناصره

• من دون رمز المشتقة: يُمكن التعبير عن هذه المعادلة من دون استعمال رمز المشتقة كالآتي:

• رمز التكامل: $\int$
• المُكامَل ⁦(integrand)⁩: الاقتران $f(x)$.
• ثابت التكامل ⁦(constant of integration)⁩: $C$.
• $dx$: رمز يشير إلى أنَّ التكامل يتمّ بالنسبة للمتغيّر $x$، الذي يُسمّى مُتغيّر التكامل ⁦(variable of integration)⁩.

• مثال: يُبيّن المُخطّط الآتي عناصر التكامل غير المحدود للاقتران: $f(x) = 3x^2$:

قاعدتان تكفيان للثابت وللقُوّة

• من العلاقة بين المشتقة والاقتران الأصلي، يُمكن التوصُّل إلى القواعد الآتية.

إذا كان $k$ عددًا حقيقيًا، فإنَّ:

1. $\int k dx = kx + C$ (تكامل الثابت)

2. $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C, n \neq -1$ (تكامل اقتران القُوّة)

أجد كُلًّا من التكاملات الآتية:

a) $\int 9 dx$ b) $\int x^{-4} dx$ c) $\int \sqrt[6]{x} dx$

5. $\int 6x dx$

7. $\int 2x^4 dx$

8. $\int \frac{5}{x^3} dx$

9. $\int 2x^{\frac{3}{2}} dx$

10. $\int \frac{10}{\sqrt{x}} dx$

تكامل الحدود المتعدّدة: حدًّا حدًّا

• خصائص تُسهّل عملية إيجاد تكامل الاقترانات التي تحوي أكثر من حدّ.

إذا كان $k$ ثابتًا، فإنَّ:

1. $\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$ (تكامل الاقتران المضروب في ثابت)

2. $\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$ (تكامل المجموع أو الفرق)

أجد كُلًّا من التكاملين الآتيين:

a) $\int (2x^4 + 3x^{-3} - 7x^2) dx$ b) $\int (5x^{-\frac{3}{2}} + 3x^2) dx$

6. $\int (4x+2) dx$

12. $\int (x^2 - \frac{3}{2}\sqrt{x} + x^{-\frac{4}{3}}) dx$

لا قاعدة للضرب ولا للقسمة: نبسّط أولًا

• قبل التكامل: تتطلّب بعض التكاملات تبسيط المُكامَل إلى حدود جبرية، كلٌّ منها في صورة قُوّة.

a) $\int (2x+3)(x-1) dx$ b) $\int \frac{x+2}{\sqrt[3]{x}} dx$ c) $\int \frac{x^2-9}{x+3} dx$

11. $\int x^2(x-8) dx$

13. $\int \frac{4x^3-2}{x^3} dx$

14. $\int \frac{x^2-1}{x-1} dx$

15. $\int (\frac{x^2+1}{x^2})^2 dx$

16. $\int x\sqrt{x} dx$

17. $\int \frac{x^2-1}{\sqrt[3]{x}} dx$

18. $\int (x-1)(x-3)(x+1) dx$

24. اختيار من مُتعدّد: $\int \frac{x^3-1}{x^2} dx$ يساوي:

a) $\frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + C$

b) $\frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} + C$

c) $x^2 - \frac{1}{x} + C$

d) $x^2 + \frac{1}{x} + C$

تكامل قوّة داخلها اقتران خطّي

• قاعدة السلسلة: إذا كان $f(x) = (3x-5)^5$، فإنَّ $f'(x) = 15(3x-5)^4$.
• للتكامل $\int (3x-5)^4 dx$ أبدأ بالاقتران $f(x) = (3x-5)^5$، الذي يزيد أُسّه بمقدار 1 على درجة المُكامَل.
• المُكامَل مضروب في 15، فإنَّ:

إذا كان $a$ و $b$ عددين حقيقيين، و $a \neq 0$، فإنَّ:

a) $\int (3x-4)^6 dx$ b) $\int \sqrt{x+1} dx$

19. $\int (x+7)^4 dx$

20. $\int \frac{3}{(10x+1)^2} dx$

21. $\int \frac{2}{\sqrt{10x+5}} dx$

إذا كان: $\sqrt[3]{2x+5} = y$، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

22. أجد $\int y^2 dx$

23. أثبت أنَّ: $\int y dx = \frac{3}{8}y^4 + C$

أكتشف الخطأ وأتحدّى نفسي

25. أكتشف الخطأ: أوجد عامر ناتج التكامل: $\int (2x+1)(x-1) dx$، وكان حلّه على النحو الآتي:

$\int (2x+1)(x-1) dx = \int (2x+1) dx \times \int (x-1) dx$ $= (x^2+x)(\frac{1}{2}x^2-x) + C$ أكتشف الخطأ في حلّ عامر، ثم أصحّحه.

26. تحدّ: أجد التكامل الآتي: $\int \frac{(2x-3)^3(2x^2-5x+3)}{x-1} dx$

27. تبرير: إذا كان: $\int (\frac{P}{2x^2} + Q) dx = \frac{2}{x} + 10x + C$، فأجد قيمة كلّ من الثابت $P$، والثابت $Q$، وأبرّر إجابتي.