المساحات والحجوم

• إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور $x$.
• إيجاد حجم المجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور $x$ حول المحور $x$.

مسألة اليوم: كم تبلغ مساحة حقول بين جبال ونهر؟

يمثل الجزء المظلل بالأخضر حقول منطقة زراعية، ويمثل منحنى الاقتران $f(x) = 4-x^2$ الحد الفاصل بين الجبال والمنطقة الزراعية، ويمثل المحور $x$ حافة النهر.

• المساحة بين المستقيم $y=3x$ والمحور $x$، والمستقيمين $x=a$ و $x=b$ تُوجد بطرح مساحة $\Delta OZD$ من مساحة $\Delta OWC$.
• نتيجة الطرح:
• $\frac{1}{2}(3b^2) - \frac{1}{2}(3a^2)$
• يمكن التعبير عن هذه الصيغة بالمقدار الآتي:
• وبالتكامل: وهذا يعني أنه يمكن إيجاد المساحة باستعمال التكامل.
• $\int_{a}^{b} 3x dx = \frac{1}{2}(3x^2)|_{a}^{b}$

• سأتعلّم في هذا الدرس مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور $x$، وتنقسم إلى ثلاث حالات:
• الحالات الثلاث:
• تقع فوق هذا المحور.
• تقع أسفل هذا المحور.
• يقع أحد جزئيها فوق المحور $x$، ويقع الجزء الآخر أسفل هذا المحور.

المنطقة فوق المحور: تكامل مباشر

• المساحة المحصورة بين منحنى الاقتران $f(x)$، والمحور $x$، والمستقيمين $x=a$ و $x=b$، وتقع فوق المحور $x$، تُوجد عن طريق التكامل.

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f(x) = x+3$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=-1$ و $x=3$.

المنطقة أسفل المحور: نأخذ معكوس التكامل

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f(x) = x^2-4$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=-1$ و $x=1$.

منطقة بجزأين: نقسمها عند المقطع السيني

• قد يقع جزء من المنطقة أسفل المحور $x$، ويقع الجزء الآخر المتبقي فوقه.
• الطريقة: نحدد المقطع $x$ للاقتران، ثم نجد المساحة باستعمال القاعدة الآتية.

بلا مستقيمين: التقاطعات هي حدود التكامل

• في الأمثلة السابقة كانت المنطقة محدودة بالمستقيمين $x=a$ و $x=b$.
• إذا كانت المنطقة محصورة فقط بين منحنى الاقتران والمحور $x$، فيلزم إيجاد الإحداثي $x$ لنقاط تقاطع الاقتران مع المحور $x$؛ لأنها تمثل حدود التكامل.

الحجوم الدورانية: نُدير المنطقة حول محور السينات

• يُبين الشكل الآتي منحنى الاقتران $f(x) = \sqrt{x}$.
• إذا دارت المنطقة المحصورة بين المنحنى والمحور $x$، والمستقيمين $x=1$ و $x=4$ دورة كاملة حول المحور $x$، فإن المجسم الناتج يسمى مجسمًا دورانيًا.
• المصطلح: المجسم الدوراني.

• حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $y=f(x)$ والمحور $x$ دورة كاملة حول المحور $x$:
• بين المستقيمين $x=a$ و $x=b$، حيث $a<b$.

أجد حجم المجسّم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين المحور $x$ ومنحنى الاقتران: $y=x^2-1$ حول المحور $x$.

أتدرب وأحل المسائل

4. أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f(x) = 3x^2-2x+2$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=0$ و $x=2$.

9. أجد حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $y=0.3x$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=2$ و $x=5$ حول المحور $x$.

10. هندسة صناعية: صمم مهندس صناعي عجلة بكرة عن طريق تدوير المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $y=3+x^2$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=-1$ و $x=1$ حول المحور $x$.

أجد حجم عجلة البكرة.

11. كرة قدم أمريكية: إذا دارت المنطقة المحصورة بين منحنى المعادلة: $y = \sqrt{100-\frac{4}{9}x^2}$ والمحور $x$ حول المحور $x$، فإن المجسم الناتج يُشبه كرة القدم الأمريكية.

أجد حجم الكرة الناتجة بالسنتيمترات المكعبة، وأقرّب إجابتي إلى أقرب 3 منازل عشرية.

• نشاط: أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f(x) = x^3-5x^2+6x+4$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=0$ و $x=3$.
• الخطوة 1: أكتب الاقتران $f(x) = x^3-5x^2+6x+4$ في شريط الإدخال، ثم أضغط على زر الإدخال ⁦Enter⁩.
• الخطوة 2: أكتب في شريط الإدخال الصيغة Integral(f(x), 0, 3)، ثم أضغط على زر الإدخال ⁦Enter⁩.
• الخطوة 3: ألاحظ تظليل المنطقة المطلوبة، ومنه، فإن المساحة هي 14.25 وحدة مربعة.

• $\int_{0}^{3}(x^3-5x^2+6x+4)\,dx=\left(\frac{x^4}{4}-\frac{5x^3}{3}+3x^2+4x\right)|_{0}^{3}=\frac{81}{4}-45+27+12=14.25$

1. أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f(x) = x^2+4$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=-1$ و $x=2$.

2. أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f(x) = -\sqrt{x}$، والمحور $x$، والمستقيم ⁦9 =⁩ $x$.