التكامل المحدود

• إيجاد التكامل المحدود لاقترانات القُوّة، والاقترانات المُتشعّبة.
• إيجاد تكاملات باستعمال خصائص التكامل المحدود.

من ⁦F(b) − F(a)⁩ إلى قيمة التكامل

تعلّمتُ في الدرس السابق أنَّ $\int f(x) dx$ يُسمّى التكامل غير المحدود للاقتران $f(x)$، وتعلّمتُ أيضًا كيف أجد التكامل غير المحدود للاقتران الثابت واقتران القُوّة.

• إلغاء الثابت: عند إيجاد التكامل المحدود لأي اقتران $f(x)$، ألاحظ إلغاء ثابت التكامل $C$.
• الناتج هو نفسه بصرف النظر عن الاقتران الأصلي المُستعمل:

أتحقق من فهمي: أجد قيمة كُلّ من التكاملين الآتيين:

a) $\int_1^4 (8x-\sqrt{x}) dx$

b) $\int_{-1}^2 (1-x)(1+3x) dx$

وماذا لو كان حدّ التكامل هو المجهول؟

• يُمكن إيجاد قيمة مجهولة في تكامل محدود، مِثل حدٍّ من حدوده، إذا عُلِمت قيمة هذا التكامل كما في المثال الآتي.

أتحقق من فهمي: إذا كان: $\int_0^k 6x^2 dx = 2$، فأجد قيمة الثابت $k$.

خمس خصائص تُسهّل الحساب

تعلّمتُ سابقًا خصائص التكامل غير المحدود. والآن سأتعرّف بعض خصائص التكامل المحدود.

• تكامل الاقتران المضروب في ثابت: $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$
• تكامل المجموع أو الفرق: $\int_a^b (f(x) \pm g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$
• التكامل عند نقطة: $\int_a^a f(x) dx = 0$
• التبديل بين حدّي التكامل: $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$
• تجزئة التكامل: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$

أتحقق من فهمي: إذا كان:

$\int_{-1}^1 f(x) dx = 5$ $\int_4^1 f(x) dx = 2$ $\int_{-1}^1 h(x) dx = 7$ فأجد قيمة كلٍّ ممّا يأتي:

a) $\int_{-1}^1 (f(x) + 3h(x)) dx$

$\int_{-1}^1 f(x) dx = 5$ $\int_4^1 f(x) dx = 2$ b) $\int_{-1}^4 f(x) dx$

$\int_{-1}^1 h(x) dx = 7$ c) $\int_1^{-1} 4h(x) dx$

اقتران بقاعدتين: أجزّئ عند نقطة التشعّب

• أُجزّئ التكامل عند نقاط التشعّب إذا احتوت فترة التكامل على قواعد مختلفة للاقتران.
• ثم أجد تكامل كل قاعدة على فترتها الجزئية.

أتحقق من فهمي: a) إذا كان: $f(x) = \begin{cases} 1+x & , x < 1 \\ 2x & , x \geq 1 \end{cases}$، فأجد قيمة: $\int_{-2}^2 f(x) dx$.

b) إذا كان: $f(x) = |x-3|$، فأجد قيمة: $\int_{-1}^4 f(x) dx$.

من معدّل التغيّر إلى التغيّر الكلّي

• المشتقة هي مُعدّل تغيّر كمية بالنسبة لكمية أخرى عند لحظة مُعيّنة.
• إذا كان مُعدّل التغيّر $f'(x)$ معلومًا، يتعيّن معرفة مقدار التغيّر في $f(x)$ من $x=a$ إلى $x=b$: $f(b) - f(a)$.
• عندئذٍ يُمكن استعمال التكامل المحدود لإيجاد مقدار التغيّر.

• تبرز الحاجة إلى معرفة مقدار التغيّر في كثير من التطبيقات الاقتصادية، مثل الحاجة إلى معرفة مقدار الزيادة في أرباح شركة زادت مبيعاتها من عدد مُعيَّن من القطع إلى عدد آخر.

أتحقق من فهمي: أعتمد المعلومات الوارد ذكرها في المثال 5، وأجد مقدار التغيّر الشهري في أرباح الشركة عند زيادة مبيعاتها الشهرية إلى 1500 جهاز، علمًا بأنَّ عدد الأجهزة المبيعة الآن هو 1400 جهاز.

تدريب: احسب، ثم جزّئ، ثم أوجد المجهول

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

1. $\int_{-1}^{3} 3x^2 dx$

2. $\int_{-3}^{-2} 6 dx$

3. $\int_{0}^{2} (3x^2+4x+3) dx$

4. $\int_{1}^{8} 8\sqrt[3]{x} dx$

5. $\int_{1}^{9} (\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}) dx$

6. $\int_{-2}^{3} (-x^2+4x-5) dx$

7. $\int_{1}^{3} (x-2)(x+2) dx$

8. $\int_{-3}^{3} (9-x^2) dx$

أجد قيمة التكامل الآتي:

9. $\int_{1}^{4} \frac{2+\sqrt{x}}{x^2} dx$

10. $\int_{1}^{4} x^3 (\sqrt{x}+\frac{1}{x}) dx$

11. $\int_{1}^{8} (x^{1/3}-x^{-1/3}) dx$

12. $\int_{1}^{9} (2+\sqrt{x})^2 dx$

13. $\int_{-1}^{4} |6-3x| dx$

14. $\int_{-5}^{-3} |x+2| dx$

15. $\int_{2}^{3} \frac{x^2-1}{x+1} dx$

16. إذا كان: $f(x) = \begin{cases} 2x+1, x \le 3 \\ 10-x, x > 3 \end{cases}$، فأجد قيمة: $\int_{0}^{4} f(x) dx$

$\int_{1}^{2} f(x) dx = -4$ $\int_{1}^{5} f(x) dx = 6$ $\int_{1}^{5} g(x) dx = 8$ 17. $\int_{2}^{2} g(x) dx$

$\int_{1}^{2} f(x) dx = -4$ $\int_{1}^{5} f(x) dx = 6$ $\int_{1}^{5} g(x) dx = 8$ 18. $\int_{5}^{1} (g(x)-2) dx$

$\int_{1}^{2} f(x) dx = -4$ $\int_{1}^{5} f(x) dx = 6$ $\int_{1}^{5} g(x) dx = 8$ 19. $\int_{1}^{2} (3f(x)+x) dx$

$\int_{1}^{2} f(x) dx = -4$ $\int_{1}^{5} f(x) dx = 6$ $\int_{1}^{5} g(x) dx = 8$ 20. $\int_{2}^{5} f(x) dx$

$\int_{1}^{2} f(x) dx = -4$ $\int_{1}^{5} f(x) dx = 6$ $\int_{1}^{5} g(x) dx = 8$ 21. $\int_{1}^{5} (f(x)-g(x)) dx$

$\int_{1}^{2} f(x) dx = -4$ $\int_{1}^{5} f(x) dx = 6$ $\int_{1}^{5} g(x) dx = 8$ 22. $\int_{1}^{5} (4f(x)+g(x)) dx$

23. إذا كان: $\int_{1}^{m} (6x-10) dx = 4$، فأجد قيمة الثابت $m$.

25. تغير التكلفة: يمثل الاقتران: $C'(x) = 6x+1$ التكلفة الحدية (بالدينار) لكل قطعة تنتجها إحدى الشركات، حيث $x$ عدد القطع المنتجة، و $C(x)$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة بالدينار.

أجد مقدار التغير في التكلفة عند زيادة الشركة إنتاجها من 10 قطع إلى 20 قطعة شهريًا.

26. تلوّث: يلوث مصنع بحيرة بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: $\ N'(t) = 280t^{3/2}$، حيث $t$ عدد الأشهر منذ الآن، و $\ N(t)$ عدد الكيلوغرامات من الملوثات التي يطرحها المصنع في البحيرة.

كم كيلوغرامًا من الملوثات يدخل البحيرة منذ الآن حتى 4 أشهر؟

اكتشف الخطأ، وبرّر، وأجب التحدّي

27. أكتشف الخطأ: أوجد خالد ناتج التكامل: $\int_{0}^{2} (x^2+x) dx$، وكان حله على النحو الآتي:

$\int_{0}^{2} (x^2+x) dx = (\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2)|_{0}^{2}$ $= (\frac{1}{3}(0)^3+\frac{1}{2}(0)^2) - (\frac{1}{3}(2)^3+\frac{1}{2}(2)^2)$ $= -\frac{14}{3}$ أكتشف الخطأ في حل خالد، ثم أصححه.

28. تبرير: أثبت أن: $\int_{0}^{1} x^n(1-x) dx = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$، حيث $n > 0$، وأبرر إجابتي.

29. تحدٍّ: إذا كان: $\int_{1}^{5} (2ax+7) dx = 4a^2$، فأجد قيمة الثابت $a$.