مقدمة في المصفوفات

• تعرُّف المصفوفات، ورتبها، وعناصرها.
• تعرُّف أنواع خاصة من المصفوفات.
• تنظيم البيانات في مصفوفة لتسهيل عملية تحليلها.

المصفوفة: أعداد في صفوف وأعمدة

سُئلت الأُسر في مدينتين عن مصدر التدفئة الذي تستعمله في فصل الشتاء، ثم سُجّلت النتائج في الجدول المجاور الذي يُبيّن عدد الأُسر التي تستعمل كل مصدر. كيف يُمكن عرض بيانات الجدول بصورة أُخرى مُختصَرة؟

• ويُرمز إلى المصفوفة بحروف كبيرة، مثل: ⁦A, B, C⁩, ...، ويُرمز إلى عناصرها بحروف صغيرة، مثل: ⁦a, b, c⁩, ...
• يُستدلُّ على العنصر في المصفوفة بموقعه الذي يُحدّده كلٌّ من الصف والعمود الذي يقع فيه العنصر
• ويُكتب رقم الصف أوّلًا ثم رقم العمود إلى يمين رمز العنصر من الأسفل
• فيُرمز مثلًا إلى العنصر الواقع في الصف 4 والعمود 2 في المصفوفة ⁦A⁩ بالرمز $a_{42}$.

• المصفوفة $A$ لها 4 صفوف و3 أعمدة.
• يوجد العنصر 6 في الصف 4 والعمود 2، ويُرمز إليه بالرمز $a_{42}$.

• بوجه عام، إذا حوت المصفوفة $m$ من الصفوف، و$n$ من الأعمدة، فإنّها تكون مصفوفة من الرتبة $m \times n$
• ويساوي عدد عناصرها ناتج ضرب العددين $m$ و$n$.

قراءة رتبة المصفوفة وعناصرها

أستعمل المصفوفة: $B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 4 \\ -1 & 1 & -3 & -5 \end{bmatrix}$ للإجابة عن الأسئلة الآتية:

⁦a)⁩ ما رتبة المصفوفة $B$؟

⁦b)⁩ ما قيمة كلٍّ من العنصر $b_{24}$ والعنصر $b_{13}$؟

⁦c)⁩ أين يقع العنصر الذي قيمته $-3$؟

صف، عمود، مُربَّعة، صفرية، مُتساويتان

• المصفوفتان غير مُتساويتين؛ لاختلاف رتبتيهما.

• المصفوفتان غير مُتساويتين؛ لعدم تساوي جميع العناصر المُتناظرة فيهما.

• المصفوفتان مُتساويتان؛ لأنَّهما من الرتبة نفسها، وعناصرهما المُتناظرة مُتساوية.

• يُمكن استعمال مفهوم تساوي المصفوفات لإيجاد قِيَم عناصر مجهولة في مصفوفتين مُتساويتين.

نوع المصفوفة ورتبتها، ومجاهيل التساوي

أُحدِّد النوع والرتبة لكل مصفوفة ممَّا يأتي:

a) $D = \begin{bmatrix} 2 & 7 & -3 \\ 6 & 4 & 0 \\ 12 & 9 & 5 \end{bmatrix}$

b) $E = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

c) $F = [-4 \quad 0 \quad -2 \quad 1 \quad 0]$

⁦d)⁩ إذا كانت: $\begin{bmatrix} 3x - 2 & 8 \\ 2 & 2x + 4y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 8 \\ 2 & 18 \end{bmatrix}$، فأجد قيمة كل من ⁦x⁩، و ⁦y⁩.

المجاميع والأوساط: متى يكون لها معنى؟

إنَّ تنظيم البيانات في مصفوفة يُسهِّل عملية تفسيرها وتحليلها. وقد يُقدِّم مجموع البيانات في صف أو عمود معلومة ذات معنى في بعض المسائل.

من جدول مندوبات المبيعات إلى مصفوفة

سياحة: يُبيّن الجدول المجاور نتائج استطلاع آراء عيّنات من سُكّان ثلاث قرى متجاورة بخصوص مشروع سياحي يُراد إقامته في موقع يتوسّط هذه القرى:

⁦a)⁩ أُرَتِّب هذه البيانات في مصفوفة صفوفها القرى؛ على أنْ يكون عدد الآراء المُؤيِّدة مُرَتَّبًا ترتيبًا تصاعديًّا.

⁦b)⁩ أجد مجموع عناصر الصف الأوّل، ثمَّ أُبيّن ما يُمثّله هذا المجموع (إنْ كان له معنى).

⁦c)⁩ أجد مجموع عناصر العمود الثاني، ثمَّ أُبيّن ما يُمثّله هذا المجموع (إنْ كان له معنى).

⁦d)⁩ هل إيجاد الوسط الحسابي لعناصر العمود الثاني يُقدِّم بيانات ذات معنى؟ أُبرِّر إجابتي.

تدرّب: رتب وعناصر ومجاهيل وبيانات

أُحدِّد رتبة كل مصفوفة ممّا يأتي:

إذا كانت: $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 9 & 8 \\ 7 & -3 & 5 & 12 \end{bmatrix}$، فأجد قيمة كل عنصر ممّا يأتي:

أُحدِّد موقع العنصر الذي قيمته 8 في المصفوفة: $B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 7 & 4 \\ 6 & 8 & 0 \\ 5 & -6 & 9 \end{bmatrix}$

أُحدِّد النوع والرتبة لكل مصفوفة ممّا يأتي:

إذا كانت: $\begin{bmatrix} 0 & -1 & 4 \\ 4 & z & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & x + 2y & 4 \\ 3x - 11 & 2 & 1 \end{bmatrix}$، فأجد قيمة كلّ من $x$، و$y$، و$z$.

تسويق إلكتروني: أطلقت شركة ثلاث حملات إعلانية عبر الإنترنت لترويج مُنتجاتها خلال أسبوع أنظِّم هذه البيانات في المصفوفة $S$، بحيث تمثّل صفوفها الحملات الثلاث، ويُرَتَّب فيها عدد عمليات الشراء تنازليًّا، ثم أجد قيمة العنصر $s_{32}$.

أجد مجموع عناصر الصف الثاني، ثم أُبيّن ما يمثّله هذا المجموع (إن كان له معنى).

أجد مجموع عناصر العمود الثالث، ثم أُبيّن ما يمثّله هذا المجموع (إن كان له معنى).

كهربائيات: تتوزّع 3 مستودعات لإحدى وكالات تجارة الأجهزة الكهربائية في 3 مدن. يوجد في مستودع المدينة الأولى 200 ثلاجة، و380 غسالة، و250 شاشة، و300 مروحة، ويوجد في مستودع المدينة الثانية 160 ثلاجة، و540 غسالة، و290 مروحة، ويوجد في مستودع المدينة الثالثة 120 ثلاجة، و280 غسالة، و400 شاشة، و470 مروحة:

أنظِّم هذه البيانات في مصفوفة تمثّل أعمدتها أنواع الأجهزة الكهربائية، ثمَّ أُحدِّد رتبة المصفوفة الناتجة.

أجمع عناصر كل صف، ثمَّ أُبيّن ما يُمثّله هذا المجموع (إنْ كان له معنى).

أجمع عناصر كل عمود، ثمَّ أُبيّن ما يُمثّله هذا المجموع (إنْ كان له معنى).

إذا كانت المسافة بين إربد وعمان ⁦88 km⁩، والمسافة بين عمّان والعقبة ⁦324 km⁩، والمسافة بين إربد والعقبة ⁦408 km⁩، فأنشئ مصفوفة رتبتها $3 \times 3$ لتمثيل المسافات بين المدن الثلاث، ثمَّ أُبرِّر إجابتي.

أحلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

تبرير وتحدٍّ: مصفوفات بشروط

23. تبرير: أُبيّن إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائمًا، أو صحيحة أحيانًا، أو غير صحيحة أبدًا، ثمَّ أُبرِّر إجابتي.

إذا كان للمصفوفة $A$ والمصفوفة $B$ العدد نفسه من العناصر، فإنَّ $A = B$.

24. مسألة مفتوحة: أنشئ مصفوفة مُربَّعة من الرتبة 3، وأسمّيها $A$، بحيث يكون $a_{ij} = a_{ji}$، لكلّ من $i, j$.

25. تبرير: إذا كان عدد عناصر المصفوفة $B$ عددًا أوّليًّا، فماذا يُمكن أن تكون رتبتها؟ أُبرِّر إجابتي.

العدد الأوّلي هو عدد أكبر من 1، وله عاملان فقط، هما: العدد 1، ونفسه.

26. تحدّ: أكتب المصفوفة $B$، حيث: $b_{ij} = 2i - j$ لكل $i \in \{1, 2, 3\}$، ولكل $j \in \{1, 2, 3, 4\}$.

27. تحدّ: أجد قيمة كلّ من $x$، و$y$، و$z$ إذا كانت: $\begin{bmatrix} x + 2y & x - y \\ x + y + 3z & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 7 \\ 2 & 10 \end{bmatrix}$