ضرب المصفوفات

• إيجاد ناتج ضرب مصفوفتين.
• تعرّف خصائص ضرب المصفوفات.

متى يُمكن ضرب مصفوفتين؟

دونت سلمى في الجدول المجاور عدد ما باعته في متجرها من أكواب حافظة للحرارة متعدّدة الأحجام (كبيرة، متوسّطة، صغيرة) في أحد الأيام. كذلك دونت طريقة بيع هذه الأكواب؛ وهي إما مباشرة من المتجر، وإما عبر شبكة الإنترنت. إذا كان سعر الكوب الكبير ⁦4.5 JD⁩، وسعر الكوب المتوسّط ⁦4 JD⁩، وسعر الكوب الصغير ⁦3.5 JD⁩، فكيف يُمكن استعمال ضرب المصفوفات لإيجاد المبلغ الذي حصلت عليه سلمى من بيع الأكواب بكلتا طريقتي البيع؟

متى يُمكن ضرب مصفوفة في نفسها؟

إذا كانت $A_{2 \times 2}$، وكانت $B_{3 \times 2}$، وكانت $C_{2 \times 3}$، فأُبيِّن إذا كانت عملية الضرب في كلٍّ ممّا يأتي مُمكنة أم لا. وإنْ كانت كذلك، أُحدِّد رتبة مصفوفة الضرب الناتجة:

a) $AB$

b) $BC$

c) $CA$

$A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ $C = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0.5 & 3 & 0 \end{bmatrix}$ $D = \begin{bmatrix} 2 & -1.5 & -1 \\ 0.5 & 0 & 2 \\ 1.5 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ فأُبيِّن إذا كانت عملية الضرب في كُلٍّ ممَّا يأتي مُمكنة أم لا. وإن كانت كذلك، أُحدِّد رتبة مصفوفة الضرب الناتجة:

1. $AB$
2. $BC$
3. $DC$
4. $BA$
5. $CD$
6. $BB$
7. $CB$
8. $BCD$

إذا كان: $AB = C$، وكانت رتبة المصفوفة $A$ هي: $4 \times 3$، ورتبة المصفوفة $C$ هي: $4 \times 5$، فما رتبة المصفوفة $B$؟

وكيف نحسب كل عنصر في المصفوفة الناتجة؟

كيف نضرب صفًّا بعمود لنكوّن المصفوفة الناتجة؟

• ضرب مصفوفتين يختلف عن جمعهما وطرحهما؛ إذ لا تُضرب العناصر المُتناظرة في بعضها.

a) إذا كان: $M = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ وكان: $\,N = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 6 & -3 \end{bmatrix}$ فأجد: $MN$.

كيف نحسب نقاط الفرق بضرب مصفوفتين؟

• يُمكن استعمال ضرب المصفوفات في مواقف حياتية مُتعدِّدة.

كرة قدم: يُبيّن الجدول المجاور نتائج 3 فِرَق لكرة القدم بعدما لعب كلّ منها 4 مباريات.

إذا علمتُ أنَّ فوز الفريق في المباراة الواحدة يعني حصوله على 3 نقاط، وأنَّ تعادله يعني حصوله على نقطة واحدة، وأنَّ خسارته تعني عدم حصوله على أيّ نقاط، فأستعمل المصفوفات في إيجاد عدد النقاط التي حصل عليها كل فريق لتحديد الفريق الفائز.

أيُّ خصائص ضرب الأعداد تبقى للمصفوفات؟

• يُحقِّق ضرب المصفوفات بعض خصائص ضرب الأعداد الحقيقية.

أعيد حلَّ الفرع 1 من المثال 4 بطريقة أُخرى، ثمَّ أُقارن بين الإجابتين.

هل $PQ = QP$؟ أُبرِّر إجابتي.

$F = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ $G = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ $H = \begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ $m = -4$ فأجد كُلًّا مما يأتي:

a) $(F+G)H$

b) $(FG)H$

c) $G(mH)$

$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ x & 3 \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ y & 4 \end{bmatrix}$ حيث $x, y$ عددان صحيحان موجبان، فأجد:

26 $AB$ بدلالة $x, y$.

27 $BA$ بدلالة $x, y$.

28 أصغر قيمة صحيحة موجبة لكلّ من $x$، و $y$ التي تجعل $AB = BA$.

32 تبرير: إذا كان $A, B$ مصفوفتين مُربّعتين من الرتبة $n$، فلماذا $(A + B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$؟

33 مسألة مفتوحة: أكتب المصفوفتين $A, B$ غير الصفريتين، بحيث يكون $AB = BA$.

أجد ناتج كُلٍّ ممَّا يأتي (إنْ أمكن):

10. $\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 5 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

18. $\left( \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \right)^2$

20 صناعة سيارات: تتوزّع 3 مصانع لإحدى شركات صناعة السيارات في 3 مدن، ويُبيّن الجدول المجاور عدد ما يُنتجه كل مصنع يوميًا من 3 طرازات للسيارات.

إذا كان ربح الشركة في كل سيارة من الطراز ⁦X⁩ هو ⁦JD1000⁩، ومن الطراز ⁦D⁩ هو ⁦JD 2000⁩، ومن الطراز ⁦R⁩ هو ⁦JD1500⁩، فأستعمل ضرب المصفوفات في إيجاد ربح كل مصنع يوميًا من جميع طرازات السيارات (بافتراض أنَّ جميع السيارات المُنتجة مبيعة).

29 مُكسّرات: يُعبّئ مَحمَص خليطًا من المُكسّرات والفواكه المُجفّفة في نوعين من الأكياس كما في الجدول الأيسر، ويُبيّن الجدول الأيمن عدد وحدات البروتين والكربوهيدرات والدهون في الغرام الواحد من المُكسّرات والفواكه المُجفّفة.

أستعمل ضرب المصفوفات لإيجاد عدد وحدات البروتين والكربوهيدرات والدهون في كل نوع.

30 أحلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

وهل تبقى خصائص ضرب الأعداد صحيحة للمصفوفات؟

31 أكتشف الخطأ: حَسَبت كُلّ من رنا وعبير العنصر $c_{23}$ في المصفوفة: $C = \begin{bmatrix} 5 & 7 & 12 \\ -2 & 3 & 4 \\ 6 & 9 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 & 8 & 4 \\ 1 & -2 & -6 \\ 11 & 3 & 5 \end{bmatrix}$ كما يأتي:

أيّهما إجابتها صحيحة؟ أُبرّر إجابتي.

34 تحدّ: أجد قيمة كُلّ من $e, f, g, h$ التي تجعل المعادلة الآتية صحيحة:

وأين نستعمل ضرب المصفوفات في الحياة؟