الخوارزميات

• تعرُّف خوارزميات مُعطاة بالكلمات والرموز، وتطبيقها.
• تعرُّف خوارزمية مُخطَّط سَيْر العمليات، وتطبيقها.

الخوارزمية: خطوات منظّمة لحلّ مشكلة

فكيف نكتب الخطوات نفسها بأكثر من طريقة؟

• تعلّمتها في مبحث المهارات الرقمية وفي مبحث الرياضيات.
• من أمثلتها في الرياضيات: ضرب عددين يتكوَّن كلّ منهما من منزلتين، أو جمع كسرين غير مُتشابهين، أو إيجاد الوسيط لمجموعة من البيانات.

الخوارزمية بالكلمات: جمل متسلسلة بلا رموز

خوارزمية بالكلمات: اختبار قابلية القسمة

• تُستعمل الخوارزمية الآتية لتحديد إذا كان العدد يقبل القسمة على 11 أم لا:

• الخطوة 1: أجمع الأرقام التي في المواضع الفردية من العدد.
• الخطوة 2: أجمع الأرقام التي في المواضع الزوجية من العدد.
• الخطوة 3: أجد الفرق المُطلق بين المجموعين في الخطوتين السابقتين.
• الخطوة 4: إذا كان الفرق المُطلق 0 أو يقبل القسمة على 11، فإنَّ العدد يقبل القسمة على 11، وإلَّا فإنَّه لا يقبل القسمة على 11.

أُطبِّق الخوارزمية الواردة في المثال 1 لبيان إذا كان كلّ عدد ممَّا يأتي يقبل القسمة على 11 أم لا:

a) 9768

b) 734852

الطريقة شبه الرمزية وجدول التتبّع

• صعوبة التتبّع: تتبُّع الخوارزمية المكتوبة بهذه الطريقة يكون صعبًا في بعض الأحيان، ويحتاج إلى تنظيم.

تتبّع خوارزمية شبه رمزية بالجدول

أتأمّل الخوارزمية الآتية المكتوبة بالطريقة شبه الرمزية، ثمَّ أُجيب عن كلّ ممّا يأتي:

1. Let $n = 1$, $A = 1$, $B = n + A$
2. Print $B$
3. Let $C = B + 2$
4. Print $C$
5. Let $n = n + 1, B = C$
6. If $n < 5$, go to step 3
7. If $n = 5$, Stop

⁦a)⁩ أُطبّق الخوارزمية باستعمال جدول التتبّع لإيجاد مُخرَجاتها.

⁦b)⁩ أَصف مُخرَجات الخوارزمية.

مخطّط سير العمليات: الخوارزمية بالأشكال

• بوجه عام، تُستعمَل الأشكال (الصناديق) الآتية للدلالة على خطوات مُحدّدة في الخوارزمية:

مخطّط سير عمليات يطبع مضاعفات عدد

أَتأمّل الخوارزمية الآتية المُمثّلة بمُخطّط سَيْر العمليات، ثمَّ أُجيب عن كلّ ممّا يأتي:

أفترض أنَّ العملية في الصندوق الرابع من مُخطّط سَيْر العمليات الوارد في المثال 3 هي: ⁦Let⁩ $A = 2n$، ثمَّ أُجيب عن كلّ ممّا يأتي:

• توجد استعمالات رياضية للخوارزميات أكثر تعقيدًا من تلك التي نوقشت في المثال السابق، مثل: تحديد إذا كان لمعادلة تربيعية حلول حقيقية أم لا، وإيجاد هذه الحلول.

الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية بمخطّط

تُستعمل الخوارزمية الآتية لإيجاد الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية: $ax^2 + bx + c = 0$.

• القانون العام لحلّ المعادلة التربيعية: $ax^2+bx+c=0$، حيث $a \neq 0$، هو:

• وتختلف طبيعة الناتج؛ لأنَّ المُميّز $\Delta = b^2-4ac$ قد يكون عددًا موجبًا، أو عددًا سالبًا، أو صفرًا.

أُطبّق الخوارزمية الواردة في المثال 4، ثمّ أُحدّد المُخرَج لكلّ من المعادلات التربيعية الآتية:

a) $x^2 + 4x - 12 = 0$

b) $3x^2 + 8x + 15 = 0$

c) $2x^2 + 12x + 18 = 0$

تدرّب: القسمة والأعداد السعيدة والتتبّع

• الخطوة 1: أجمع أرقام العدد.
• الخطوة 2: إذا كان المجموع في الخطوة الأولى يقبل القسمة على 3، فإنّني أنتقل إلى الخطوة الثالثة، وإلّا فإنّ العدد لا يقبل القسمة على 12.
• الخطوة 3: إذا كان العدد المُكوّن من أوّل رقمين في العدد (آحاد العدد وعشراته) يقبل القسمة على 4، فإنّ العدد يقبل القسمة على 12.
• وإلّا فإنّه لا يقبل القسمة على 12.

أُطبّق الخوارزمية السابقة لتحديد إذا كان كل عدد ممّا يأتي يقبل القسمة على 12 أم لا:

1 7104

2 3248940

3 5762

4 81456

• الخطوة 1: أجد مُربّعات أرقام العدد.
• الخطوة 2: أجد مجموع مُربّعات أرقام العدد.
• الخطوة 3: أضع مجموع مُربّعات أرقام العدد بدلًا من العدد نفسه.
• الخطوة 4: أستمرّ في تكرار الخطوة الأولى والخطوة الثانية لكل ناتج حتى أحصل على مجموع من منزلة واحدة.
• إذا كان هذا المجموع 1، كان العدد سعيدًا في هذه الحالة.
• إذا كان هذا المجموع 4، فيكون العدد وقتئذ غير سعيد.

أُطبّق الخوارزمية السابقة لتحديد إذا كان كل عدد ممّا يأتي سعيدًا أم لا:

5 19

6 42

7 49

8 25

أُتأمّل الخوارزمية المجاورة، ثمّ أُجيب عن السؤالين الآتيين:

1. Let $n = 0$, $x = 0$, $y = 1$
2. Let $x = x + 1, y = yx$
3. Print $y$
4. Let $n = n + 1$
5. If $n < 4$, go to step 2
6. If $n = 4$, Stop

9 أُطبّق الخوارزمية باستعمال جدول التتبّع لإيجاد مُخرَجاتها.

10 أصف مُخرَجات الخوارزمية.

أُتأمّل الخوارزمية المُجاورة المُمثّلة بمُخطّط سَير العمليات، ثمّ أُجيب عن السؤالين الآتيين:

11 أصف الاستعمال الرياضي لهذه الخوارزمية.

12 أُطبّق الخوارزمية على الأعداد الآتية باستعمال جدول التتبّع لإيجاد مُخرَج كلّ منها:

a) $M1 = 48$، $M2 = 52$، $M3 = 46$، $M4 = 49$

b) $M1 = 71$، $M2 = 85$، $M3 = 62$، $M4 = 45$

أُتأمّل الخوارزمية المجاورة المُمثّلة بمُخطّط سَير العمليات، ثمّ أُجيب عن السؤالين الآتيين:

13 أصف الاستعمال الرياضي لهذه الخوارزمية.

14 أُطبّق الخوارزمية على العددين الآتيين باستعمال جدول التتبّع لإيجاد مُخرَج كلّ منهما:

a) $n = 24$

b) $n = 16$

15 أُطبّق الخوارزمية باستعمال جدول التتبّع لإيجاد مُخرَجاتها.

16 أصف مُخرَجات الخوارزمية.

مهارات التفكير العليا: تبرير وتحدٍّ

تبرير: أَتَأَمَّل الخوارزمية المجاورة المُمَثَّلة بِمُخَطَّط سَيْر العمليات، ثُمَّ أُجيب عن السؤالين الآتيين:

17 أُطَبِّق الخوارزمية باستعمال جدول التتبع لإيجاد مُخْرَجاتها.

18 أَصِف مُخْرَجات الخوارزمية، ثُمَّ أُبَرِّر إجابتي.

تحدٍّ: أَتَأَمَّل الخوارزمية المجاورة المُمَثَّلة بِمُخَطَّط سَيْر العمليات، ثُمَّ أُجيب عن السؤالين الآتيين:

19 أُطَبِّق الخوارزمية باستعمال جدول التتبع عندما $A = 27, B = 4$.

20 أَصِف ما يتحقَّق من تطبيق هذه الخوارزمية.