حل نظام متباينات خطية بمتغيّرين بيانيا

• حل نظام مكوَّن من متباينات خطية بمتغيرين بيانيًّا.

نظام المتباينات: المنطقة التي تحقق الجميع

قدَّم محل لتبديل زيوت السيارات عرضًا مجانيًّا لغسل السيارات. إذا كان الحد الأقصى لذلك العرض هو غسل 30 سيارة يوميًّا، بتكلفة لا تزيد على ⁦75 JD⁩، فكم سيارة كبيرة وصغيرة يُمكن غسلها يوميًّا بحسب هذا العرض؟

ولكن كيف نجد هذه الأزواج كلها دفعةً واحدة؟

ظلّل كل متباينة ثم خذ المنطقة المشتركة

• لحل نظام متباينات: أُمثِّل كل متباينة فيه بيانيًّا في المستوى الإحداثي نفسه.
• ثمَّ أُظلِّل المنطقة المشتركة بين مناطق حل المتباينات جميعها؛ فهذه المنطقة تُمثِّل مجموعة حل النظام.

1. ارسم المستقيمات الحدودية: حوّل كل متباينة إلى معادلة، وارسم مستقيمها في المستوى الإحداثي نفسه.
2. حدّد نوع الخط: خط متقطع إن لم تتضمن المتباينة مساواة، وخط متصل إن تضمنتها.
3. ظلّل منطقة كل متباينة: استعمل لونًا مختلفًا لكل متباينة حتى تتضح المناطق المشتركة.
4. حدّد المنطقة المشتركة: هي المنطقة التي تحقق جميع المتباينات، وهي منطقة حل النظام.
5. تحقّق من الحل: عوّض زوجًا مرتبًا من هذه المنطقة في متباينات النظام جميعها.

أُمثّل منطقة حلّ نظام المتباينات الآتي، ثمّ أتحقّق من صحّة الحلّ:

$2x - 4y \ge -5$ $x + 7y < 7$

وماذا لو لم توجد أي منطقة مشتركة بين المتباينات؟

حين لا توجد منطقة مشتركة

• لا يكون لنظام المتباينات حلٌّ أحيانًا؛ لعدم وجود منطقة مُشتركة بين مناطق حلّ المتباينات المُكوِّنة له،
• عندئذٍ تكون مجموعة الحلّ هي المجموعة الخالية.

أُمثّل منطقة حلّ نظام المتباينات الآتي:

$5x - 2y < 3$ $2.5x - y \ge 2$

وعندما يزيد عدد المتباينات، هل ما زال التظليل المشترك يكفي؟

ثلاث متباينات: ما المنطقة المشتركة بينها؟

• قد يحوي النظام أكثر من متباينتين، عندئذٍ تكون منطقة الحلّ هي المنطقة المُشتركة بين مناطق حلّ المتباينات جميعها.

أُمثّل بيانيًّا منطقة حلّ نظام المتباينات الآتي:

$-3x + 4y \ge 9$ $x - 5y > 6$ $2x - 5y < -3$

والآن نستعمل ما تعلمناه في مسألة من الحياة.

من مسألة كلامية إلى نظام متباينات

• تُستعمل أنظمة المتباينات الخطّيّة في عديد من المجالات والتطبيقات الحياتيّة، ويُمكن بها تحديد القِيَم المُمكنة للمتغيّرات وفق شروط مُحدّدة.

محميات: يوجد في محمية للحيوانات مجموعة من الغزلان والأيائل، وقد أفاد الموظف الذي يُشرف على إطعامها والاعتناء بها أنَّ:

في المحمية 6 حيوانات على الأقل.

عدد الحيوانات في المحمية لا يزيد على 12 حيوانًا.

عدد الغزلان في المحمية أقل من عدد الأيائل.

في المحمية اثنين من الغزلان على الأقل.

⁦a)⁩ ما أقل عدد مُمكن من الأيائل؟

⁦b)⁩ ما أكثر عدد مُمكن من الغزلان؟

أكتب قائمة تحوي جميع النقاط التي يُمكن أن تكون حلولًا مُمكنة لنظام المتباينات الخطّيّة.

تدرّب: من المتباينات إلى المسائل

أُمثّل منطقة حلّ كلّ من أنظمة المتباينات الآتية:

$x + 3y > 1$ $5x - y \le 2$

$-3x - 12y > -9$ $x + 4y \ge 5$

$x - 11y < 6$ $-2x + 22y > -12$

$3x + 5y \le 1$ $3x + 5y \le 3$

$2x - 7y > 2$ $2x - 7y \le 2$

$13x - y < 11$ $x + y \ge 0$

$9x - y < 2$ $x + 3y > -1$ $x - y > -3$

$5x - 5y < 2$ $2x - 2y > 1$ $x \ge y$

$x \le y$ $x - 5y < 6$ $10x - y > 3$

المسألة 10 سياحة: تبلغ تكلفة ركوب قارب سياحي دينارين للبالغين، ودينارًا واحدًا للأطفال، ويتّسع القارب لـ 10 أشخاص على الأكثر.

إذا كانت $x$ تمثّل عدد البالغين، و $y$ تمثّل عدد الأطفال، فكم شخصًا من البالغين والأطفال قد يوجد على متن القارب، علمًا بأنَّ رَيْع بيع التذاكر أقل من ⁦12 JD⁩؟

المسألة 11 نقل جوي: سعر تذكرة الدرجة السياحية للسفر بالطائرة بين مدينتي عمّان والعقبة ⁦25 JD⁩، وسعر تذكرة الدرجة الخاصة ⁦50 JD⁩.

إذا كان رَيْع بيع التذاكر ⁦1600 JD⁩ على الأقل، وبيعَت 50 تذكرة على الأكثر، فأجد عدد التذاكر الممكن لكل درجة.

المسألة 12 أُظلّل منطقة حلّ النظام الآتي في الشكل المجاور، ثمَّ أكتب جميع حلول النظام الممكنة، علمًا بأنَّ $x$ و $y$ عددان صحيحان موجبان:

$x + y \ge 5$ $4x + 2y \le 16$

المسألة 13 جامعات: أرادت سامية الالتحاق بجامعة تشترط عقد امتحاني قبول لذلك؛ أحدهما في مبحث الرياضيات، والآخر في مبحث اللغة الإنجليزية، وإحراز ما بين 900 نقطة و1200 نقطة في الامتحانين معًا؛ شرط ألا يقل المجموع في امتحان الرياضيات عن 600 نقطة، وألا يقل المجموع في امتحان اللغة الإنجليزية عن 200 نقطة.

أجد عدد النقاط من مضاعفات المئة، التي يتعين على سامية إحرازها في كل امتحان لتقبل في الجامعة.

المسألة 14 أحل المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

فكّر: صف المنطقة واكتب النظام

المسألة 15 تبرير: أصف منطقة حل نظام المتباينات الآتي من دون تمثيلها بيانيًا:

$2x + y \le 7$ $2x + y \ge 7$

مسألة مفتوحة: أكتب نظامين يتكوّن كل منهما من متباينتين خطيتين بمتغيرين، بحيث تكون مجموعة الحل:

16. واقعة في الربع الأول من المستوى الإحداثي.

17. المجموعة الخالية.

المسألة 18 تحد: أكتب نظام المتباينات الذي منطقه حلّه هي المنطقة المظللة في التمثيل البياني الآتي:

جيوجبرا ترسم المنطقة المشتركة

يمكنني استعمال برمجية جيوجبرا لتمثيل نظام المتباينات الخطية بيانيًا في المستوى الإحداثي، وإيجاد منطقة الحل.

• الخطوة 1: تمثيل المتباينة الأولى بيانيًا.
• أكتب المتباينة الأولى في شريط الإدخال؛ بنقر المفاتيح الآتية:

• ألاحظ أن برمجية جيوجبرا قد حددت منطقة باللون البنفسجي.

• الخطوة 2: تمثيل المتباينة الثانية بيانيًا.
• أكتب المتباينة الثانية في شريط الإدخال؛ بنقر المفاتيح الآتية:

• الخطوة 3: تغيير اللون البنفسجي الذي حددته برمجية جيوجبرا لمنطقة أخرى؛ لتمييزها من منطقة الحل الأولى.
• أنقر المتباينة التي يُراد تغيير لون منطقة حلها على يسار الشاشة، ولتكن المتباينة الثانية، ثم أنقر الرمز ⁦(settings)⁩ الذي بجانبها، وأختار ⁦(color)⁩ من القائمة التي ظهرت على يمين الشاشة، ومنها أختار لونًا آخر مثل الأخضر.

• الخطوة 4: تفسير المناطق الظاهرة.
• ألاحظ وجود 4 مناطق: الأولى باللون البنفسجي، والثانية باللون الأخضر، والثالثة مزيج من اللونين معًا، والرابعة باللون الأبيض.
• الخطوة 5: إظهار منطقة الحل بشكل منفصل.
• يُمكنني إظهار منطقة الحل بشكل منفصل عن المناطق الأخرى، وذلك بالضغط على زر اللون المجاور لكل متباينة؛ فيختفي تظليل المناطق،
• ثم كتابة الصيغة الآتية في شريط الإدخال: ⁦a⁩&&⁦b⁩، حيث تمثل ⁦a⁩ و ⁦b⁩ اسمي المنطقتين المُمثلتين للمتباينتين؛ فتظهر منطقة الحل بشكل منفصل كما في الشكل المجاور.

ماذا تعني هذه المنطقة بالنسبة للمتباينة؟

ماذا تعني كل منطقة؟

جرّب جيوجبرا بنفسك

أمثل كُلًا من أنظمة المتباينات الخطية الآتية بيانيًا باستعمال برمجية جيوجبرا، ثم أحدد منطقة الحل:

$-5x - 2y \ge 3$ $x + y < -3$

$0.5x + 7y > -2$ $x < y$

$x - y \ge 0$ $x + y \le 0$

$9x - 6y > 8$ $27x - 18y < 1$