احتمال المتغير العشوائي الطبيعي باستعمال الجدول

• إيجاد احتمالات المتغير العشوائي الطبيعي باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري.

من أي توزيع طبيعي إلى التوزيع المعياري

• تعلَّمتُ في الدرسين السابقين إيجاد احتمالات متغيرات عشوائية طبيعية غير معيارية لقِيَم مُحدَّدة، مثل $P(X < \mu - \sigma)$، باستعمال القاعدة التجريبية.

والآن سأتعلَّم إيجاد احتمالات أي متغير عشوائي طبيعي غير معياري $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ لأي قيمة، وذلك بتحويله إلى متغير عشوائي طبيعي معياري.

• يُمكن استعمال الصيغة الآتية لتحويل قِيَم المتغير العشوائي الطبيعي $X$ إلى قِيَم معيارية $Z$:

• بطرح الوسط الحسابي من قيمة $x$، ثمَّ القسمة على الانحراف المعياري.

إذا كان $X$ متغيراً عشوائياً طبيعياً، وسطه الحسابي 15، وانحرافه المعياري 4، فأجد القيمة المعيارية $z$ التي تُقابل قيمة $x$ في كُلٍّ مما يأتي:

a) $x = 24$

b) $x = 10$

حوِّل ⁦X⁩ إلى ⁦Z⁩ ثم اقرأ الجدول

• إنَّ طرح الوسط الحسابي من جميع قِيَم المتغير العشوائي الطبيعي يجعل قيمة الوسط الحسابي 0 بدلاً من $\mu$،
• وإنَّ قسمة هذه القِيَم جميعاً على الانحراف المعياري تجعل قيمة الانحراف المعياري 1 بدلاً من $\sigma$،
• وبذلك يصبح منحنى التوزيع الطبيعي معيارياً، ويتحوّل المتغير العشوائي $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ إلى $Z \sim N(0, 1)$،
• عندئذٍ يُمكن استعمال الجدول لإيجاد احتمال أيٍّ من قِيَمِه.

إذا كان: $X \sim N(7, 0.25)$، فأجد كُل احتمال مما يأتي باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

a) $P(X < 7.7)$

b) $P(X > 6.1)$

c) $P(X > 8.2)$

d) $P(6 < X < 7.1)$

من نسبة الثمار إلى عددها في الشاحنة

للتوزيع الطبيعي كثير من التطبيقات الحياتية التي نلجأ فيها إلى تحويل التوزيع الطبيعي إلى توزيع طبيعي معياري لتسهيل إجراء الحسابات المطلوبة.

زراعة: تتبع كتل ثمار البندورة في إحدى المزارع توزيعاً طبيعياً، وسطه الحسابي ⁦90 g⁩، وانحرافه المعياري ⁦5 g⁩:

⁦a)⁩ أجد نسبة ثمار البندورة التي تقلُّ كتلة كلٍّ منها عن ⁦80 g⁩.

⁦b)⁩ إذا احتوى صندوق على 200 حبَّة بندورة من إنتاج هذه المزرعة، فأجد عدد ثمار البندورة التي تزيد كتلة كلٍّ منها على ⁦100 g⁩ في هذا الصندوق.

• عند إيجاد $\frac{x - \mu}{\sigma}$، أُقرّب الإجابة إلى أقرب منزلتين عشريتين؛ لأتمكّن من استعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري.

تدرّب: التحويل ثم الجدول

1. إذا كان $X$ متغيراً عشوائياً طبيعياً، وسطه الحسابي 224، وانحرافه المعياري 6، فأجد القيمة المعيارية $z$ التي تُقابل قيمة $x$: $x = 239$

4. إذا كان: $X \sim N(30, 100)$، فأجد باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري: $P(X < 35)$

10. إذا كان: $X \sim N(154, 144)$، فأجد باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري: $P(X < 154)$

12. إذا كان: $X \sim N(154, 144)$، فأجد باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري: $P(140 < X < 155)$

13. يتبع ضغط الدم الانقباضي ⁦(mmHg)⁩ للبالغين توزيعاً طبيعياً، وسطه الحسابي 105، وانحرافه المعياري 16. فما احتمال أن يكون ضغط دمه الانقباضي أقل من ⁦101 mmHg⁩؟

بطاريات: تُنتج إحدى الشركات بطاريات من نوع ⁦AA⁩، وتتبع مُدَّة عمل هذه البطاريات توزيعاً طبيعياً، وسطه الحسابي 25 ساعة، وانحرافه المعياري 1.5 ساعة. إذا اختيرت بطارية عشوائياً، فأجد كُلاً مما يأتي:

14. احتمال أن تكون مُدَّة عمل البطارية أكثر من 28 ساعة.

15. احتمال أن تكون مُدَّة عمل البطارية أكثر من 20 ساعة.

16. احتمال أن تتراوح مُدَّة عمل البطارية بين 22 ساعة و 25 ساعة.

17. في دراسة لإدارة السير، تبيَّن أنَّ سرعة السيارات على أحد الطرق تتبع توزيعاً طبيعياً، وسطه الحسابي ⁦90 km/h⁩، وانحرافه المعياري ⁦5 km/h⁩.

السرعة القصوى المُحدَّدة على هذا الطريق هي ⁦100 km/h⁩، والعدد الكلي للسيارات في أحد الأيام هو 1000 سيارة.

أجد العدد التقريبي للسيارات التي ستتجاوز السرعة المُحدَّدة على هذا الطريق في هذا اليوم.

اعكس المسألة: من ⁦z⁩ إلى الوسط والانحراف

18. تبرير: إذا كان $X \sim N(\mu, \sigma^2)$، وتُقابل القيمة $x = 14$ القيمة المعيارية $z = 3.2$، وتُقابل القيمة $x = -6$ القيمة المعيارية $z = -1.8$، فأجد الوسط الحسابي والانحراف المعياري للمتغير العشوائي $X$.

19. تحدٍّ: إذا كانت مُعدَّلات 600 طالب تتبع توزيعاً طبيعياً، وسطه الحسابي 73، وانحرافه المعياري 8، وقرَّرت إدارة المدرسة تكريم الطلبة الخمسين الحاصلين على أعلى المُعدَّلات من بين هؤلاء الطلبة، فما أقل مُعدَّل يجعل الطلبة أهلاً للتكريم؟