شرح مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

آخر تحديث: ٢ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (١٨)

شرح الموضوع

فكرة الدرس

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

إيجاد مشتقة ضرب اقترانين، ومشتقة قسمة اقترانين.
إيجاد مشتقات الاقترانات المثلثية.
إيجاد المشتقات العليا.

كيف نشتق حاصل ضرب اقترانين؟

كلّما ازداد سطوع الضوء الساقط على بؤبؤ العين تقلّصت مساحة البؤبؤ.

مثال

يُستعمل الاقتران $A(b) = \frac{40 + 24b^{0.4}}{1 + 4b^{0.4}}$ لحساب مساحة بؤبؤ العين بالمليمترات المُرَبَّعة، حيث $b$ مقدار سطوع الضوء بوحدة اللومن ⁦(lm)⁩. وتُعرف حساسية العين بأنّها مشتقة اقتران مساحة البؤبؤ بالنسبة إلى السطوع. أجد اقترانًا يُمثّل حساسية العين للضوء. إجابة مقترحة (ليست من الكتاب): قاعدة مشتقة القسمة: $A'(b) = \frac{(1 + 4b^{0.4})(9.6b^{-0.6}) - (40 + 24b^{0.4})(1.6b^{-0.6})}{(1 + 4b^{0.4})^2}$ باستعمال خاصية التوزيع: $= \frac{9.6b^{-0.6} + 38.4b^{-0.2} - 64b^{-0.6} - 38.4b^{-0.2}}{(1 + 4b^{0.4})^2}$ بالتبسيط: $= \frac{-54.4b^{-0.6}}{(1 + 4b^{0.4})^2}$ الإشارة سالبة: تتقلّص مساحة البؤبؤ كلّما ازداد السطوع.

مشتقة ضرب اقترانين

تعلّمنا سابقًا مشتقات اقترانات القوّة، والاقتران الأُسّي الطبيعي، والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي، واقتران الجيب، واقتران جيب التمام.
وتعلّمنا أيضًا مشتقات مضاعفات هذه الاقترانات والاقترانات الناتجة من جمعها وطرحها.
والسؤال: كيف يُمكن إيجاد مشتقة $f(x)g(x)$ إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين؟

مثال

من أين جاءت القاعدة؟: لنفرض أنَّ: $\begin{aligned}y &= f(x)g(x) = uv \\ f(x) &= u \\ g(x) &= v\end{aligned}$ $\Delta x$ زيادة صغيرة في $x$ ، ينتج منها تغيّر في $u, v, y$ مقداره $\Delta u, \Delta v, \Delta y$ على الترتيب. $\begin{aligned}f(x + \Delta x) &= u + \Delta u \\ g(x + \Delta x) &= v + \Delta v \\ f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) &= y + \Delta y\end{aligned}$ بالتعويض: $y + \Delta y = (u + \Delta u)(v + \Delta v)$ بطرح $y$ من طرفي المعادلة: $\Delta y = (u + \Delta u)(v + \Delta v) - y$ بتعويض $y = uv$ : $= (u + \Delta u)(v + \Delta v) - uv$ باستعمال خاصية التوزيع: $= uv + u\Delta v + v\Delta u + \Delta u \Delta v - uv$ بالتبسيط: $= u\Delta v + v\Delta u + \Delta u \Delta v$ بقسمة جميع أطراف المعادلة على $\Delta x$ : $\frac{\Delta y}{\Delta x} = u\frac{\Delta v}{\Delta x} + v\frac{\Delta u}{\Delta x} + \Delta u \frac{\Delta v}{\Delta x}$ ميل المماس عند النقطة $(x, y)$ : $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = u \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta x}$ $+ v \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}$ $+ \lim_{\Delta x \to 0} \Delta u \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta x}$ باستعمال تعريف المشتقة: $\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} + (\lim_{\Delta x \to 0} \Delta u) \frac{dv}{dx}$ $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta u = 0$ $= u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} + (0) \frac{dv}{dx}$ بالتبسيط: $\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ بالتعويض: $(fg)'(x) = f(x) g'(x) + g(x) f'(x)$

نظرية

بالرموز: إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقة $f(x)g(x)$ على النحو الآتي:

(fg)'(x) = f(x) g'(x) + g(x) f'(x)

مثال 1

مثال

المثال 1: أجد مشتقة كل اقتران: 1. $f(x) = (3x - 2x^2)(5 + 4x)$ 2. $f(x) = xe^x$ الفرع 1: قاعدة مشتقة الضرب: $f'(x) = (3x - 2x^2) \frac{d}{dx} (5 + 4x) + (5 + 4x) \frac{d}{dx} (3x - 2x^2)$ قاعدتا مشتقة اقتران القوّة، ومشتقة الطرح: $= (3x - 2x^2)(4) + (5 + 4x)(3 - 4x)$ باستعمال خاصية التوزيع: $= (12x - 8x^2) + (15 - 8x - 16x^2)$ بالتبسيط: $= -24x^2 + 4x + 15$ الفرع 2: قاعدة مشتقة الضرب: $f'(x) = x \frac{d}{dx}(e^x) + e^x \frac{d}{dx}(x)$ قاعدتا مشتقة القوّة، ومشتقة الاقتران الأُسّي الطبيعي: $= xe^x + e^x \times 1$ بالتبسيط: $= xe^x + e^x$

أ. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)(7x^2 - 4x)$ .

ب. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = \ln x \cos x$ .

وماذا لو كان الاقتران ناتج قسمة لا ضرب؟

مشتقة قسمة اقترانين

كيف نشتق ناتج قسمة اقترانين؟

مشتقة قسمة اقترانين ليست حاصل قسمة مشتقة كلّ منهما، مثلما أنَّ مشتقة ضرب اقترانين ليست حاصل ضرب مشتقة كلّ منهما.
والسؤال: كيف يُمكن إيجاد مشتقة $\frac{f(x)}{g(x)}$ إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين؟

مثال

من أين جاءت القاعدة؟: لنفرض أنَّ: $\begin{aligned}y &= \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{u}{v} \\ f(x) &= u \\ g(x) &= v\end{aligned}$ ومنه، فإنَّ: $u = vy$ الاقتران $u$ هو حاصل ضرب اقترانين، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقته باستعمال قاعدة مشتقة الضرب: $\frac{du}{dx} = v \frac{dy}{dx} + y \frac{dv}{dx}$ ومن ثمَّ، فإنَّه يُمكن إيجاد $\frac{dy}{dx}$ كما يأتي: بإعادة ترتيب المعادلة: $v \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - y \frac{dv}{dx}$ بقسمة طرفي المعادلة على $v$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{du}{dx} - y \frac{dv}{dx}}{v}$ بتعويض $y = \frac{u}{v}$ : $= \frac{\frac{du}{dx} - \frac{u}{v} \times \frac{dv}{dx}}{v}$ بالتبسيط: $= \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$ بالتعويض: $(\frac{f}{g})'(x) = \frac{g(x) f'(x) - f(x) g'(x)}{(g(x))^2}$

هل تذكر بؤبؤ العين الذي تقلّصت مساحته مع السطوع؟ بقاعدة القسمة نجد حساسيته للضوء.

نظرية: مشتقة القسمة

بالرموز: إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين، وكان $g(x) \neq 0$ ، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقة $\frac{f(x)}{g(x)}$ على النحو الآتي:

(\frac{f}{g})'(x) = \frac{g(x) \times f'(x) - f(x) \times g'(x)}{(g(x))^2}

مثال 2

مثال

المثال 2: أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي: 1. $f(x) = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$ 2. $f(x) = \frac{\ln x}{x + 1}$ الفرع 1: قاعدة مشتقة القسمة: $f'(x) = \frac{(1 + x^2) \frac{d}{dx}(1 - x^2) - (1 - x^2) \frac{d}{dx}(1 + x^2)}{(1 + x^2)^2}$ قواعد مشتقات القوّة، والطرح، والجمع: $= \frac{(1 + x^2)(-2x) - (1 - x^2)(2x)}{(1 + x^2)^2}$ باستعمال خاصية التوزيع: $= \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1 + x^2)^2}$ بالتبسيط: $= \frac{-4x}{(1 + x^2)^2}$ الفرع 2: قاعدة مشتقة القسمة: $f'(x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{dx}(\ln x) - (\ln x) \frac{d}{dx}(x + 1)}{(x + 1)^2}$ قواعد مشتقات القوّة، والطرح، والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي: $= \frac{(x + 1)(\frac{1}{x}) - (\ln x)(1)}{(x + 1)^2}$ باستعمال خاصية التوزيع: $= \frac{1 + \frac{1}{x} - \ln x}{(x + 1)^2}$ بالتبسيط: $= \frac{x + 1 - x \ln x}{x(x + 1)^2}$

أ. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = \frac{x + 1}{2x + 1}$ .

ب. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = \frac{\sin x}{e^x}$ .

وماذا لو كان البسط ثابتًا؟

مثال 3 : من الحياة

المشتقة معدّل تغيّر: حرارة مريض

المشتقة هي مُعدَّل تغيُّر كمية بالنسبة إلى كمية أُخرى عند لحظة مُعيَّنة.
فمثلًا، إيجاد $\frac{dy}{dx}$ يعني إيجاد مُعدَّل تغيُّر $y$ بالنسبة إلى $x$ .
ومع الزمن $t$ : إذا كان $r$ كمية مُعيَّنة؛ فإنَّ مُعدَّل تغيُّرها بالنسبة إلى الزمن هو $\frac{dr}{dt}$ .

مثال

المثال 3: مرض: تعطى درجة حرارة مريض أثناء مرضه بالاقتران: $T(t) = \frac{4t}{1+t^2} + 98.6$ حيث $t$ الزمن بالساعات بعد ظهور أعراض المرض، و $T$ درجة الحرارة بالفهرنهايت. 1. أجد مُعدَّل تغيّر درجة حرارة المريض بالنسبة إلى الزمن. 2. أجد مُعدَّل تغيّر درجة حرارة المريض عندما $t=2$ ، ثمَّ أُفسّر معنى الناتج. الفرع 1: أجد $T'(t)$ : قاعدتا مشتقة القسمة، ومشتقة الثابت: $T'(t) = \frac{(1+t^2) \frac{d}{dt}(4t) - (4t) \frac{d}{dt}(1+t^2)}{(1+t^2)^2}$ قاعدتا مشتقة اقتران القوَّة، ومشتقة المجموع: $= \frac{(1+t^2)(4) - (4t)(2t)}{(1+t^2)^2}$ باستعمال خاصية التوزيع: $= \frac{4 + 4t^2 - 8t^2}{(1+t^2)^2}$ بالتبسيط: $= \frac{4 - 4t^2}{(1+t^2)^2}$ إذن، مُعدَّل تغيّر درجة حرارة المريض بالنسبة إلى الزمن هو: $T'(t) = \frac{4 - 4t^2}{(1+t^2)^2}$ الفرع 2: أجد $T'(2)$ : بتعويض $t=2$ : $T'(2) = \frac{4 - 4(2)^2}{(1+(2)^2)^2}$ $T'(2) = \frac{4 - 16}{25}$ $= \frac{-12}{25} = -0.48$ إذن، عندما يكون الزمن $2\text{ h}$ ، فإنَّ درجة حرارة المريض تقل بمقدار $0.48$ درجة فهرنهايتية لكل ساعة.

سكان: يعطى عدد سكّان مدينة صغيرة بالاقتران $P(t) = \frac{500t^2}{2t+9}$ ، حيث $t$ الزمن بالسنوات، و $P$ عدد السكّان بالآلاف.

أ. أجد مُعدَّل تغيّر عدد السكّان في المدينة بالنسبة إلى الزمن.

ب. أجد مُعدَّل تغيّر عدد السكّان في المدينة عندما $t=12$ ، ثمَّ أُفسّر معنى الناتج.

مشتقة المقلوب

كيف نشتق مقلوب اقتران؟

يُمكن إيجاد قاعدة عامة لمشتقة مقلوب أيّ اقتران باستعمال قاعدة القسمة.

نظرية

بالرموز: إذا كان $f(x)$ اقترانًا، حيث $f(x) \neq 0$ ، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقة $\frac{1}{f(x)}$ على النحو الآتي:

\left(\frac{1}{f}\right)'(x) = \frac{-f'(x)}{(f(x))^2}

مثال 4

أ. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = (1)/(5x-x2)$ .

ب. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = 1ex+\sqrt(x)$ .

أفكّر: هل توجد طريقة أُخرى لإيجاد مشتقة الاقتران في الفرع 2 من المثال 4؟

مشتقات الاقترانات المثلثية

الظل والقاطع وأخواتهما: ما مشتقاتها؟

تعلّمنا مشتقة اقتران الجيب ومشتقة اقتران جيب التمام؛ ونجد الآن مشتقات الاقترانات المثلثية الأخرى باستعمال مشتقة القسمة.

نظرية

مثال 5

الاقتران	المشتقة
$x$	$2 x$
$x$	$-2 x$
$x$	$x x$
$x$	$- x x$

أ. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = x x$ .

ب. أجد مشتقة الاقتران $f(x) = ( x)/(1 + x)$ .

المشتقات العليا

ماذا نسمّي مشتقة المشتقة؟

المشتقة $f'(x)$ اقتران أيضًا، ومن الممكن إيجاد مشتقته، ويُرمز إليها بالرمز $f''(x)$ .

المشتقة الثالثة ⁦(third derivative)⁩: إذا كان $f''(x)$ اقتراناً، فإنَّه يُرمز إلى مشتقته بالرمز $f'''(x)$ .
المشتقة ( $n$ ): يستمر إيجاد المشتقات وتسمياتها على النحو نفسه، ويُستعمل الرمز $f(n)(x)$ للدلالة عليها ( $nth$ derivative).

مثال 6

أ. أجد المشتقات الثلاث الأولى للاقتران $f(x) = x x$ .

ب. أجد المشتقات الثلاث الأولى للاقتران $g(x) = x2 x$ .

أتدرب وأحل المسائل

تدرّب: برهان وأقمار صناعية ومنحنيان

أثبت صحة كل مما يأتي اعتمادًا على أن $(d)/(dx)( x) = - x, (d)/(dx)( x) = x$ :

$(d)/(dx)( x) = -2 x$ $(d)/(dx)( x) = x x$ $(d)/(dx)( x) = - x x$

بعض الأقمار الصناعية تحوي مُستشعرات لقياس الزاوية $θ$ (بالراديان) المُبيَّنة في الشكل. $h$ المسافة بين القمر الصناعي وسطح الأرض بالكيلومتر، و $r$ نصف قُطر الأرض بالكيلومتر.

أقمار صناعية: أثبت أنَّ: $h = r( θ - 1)$

أجد مُعدَّل تغيّر $h$ بالنسبة إلى $θ$ عندما $θ = (π)/(6)$ (أفترض أنَّ $r = 6371 km$ ).

يُبيّن الشكل منحني الاقترانين: $F(x)$ ، و $G(x)$ .

إذا كان: $P(x) = F(x)G(x)$ ، وكان: $Q(x) = (F(x))/(G(x))$ ، فأجد كُلًّا ممّا يأتي:

P'(2)

Q'(7)

مهارات التفكير العليا

فكّر: مماس أفقي ومقلوب المشتقة

تبرير: إذا كان $y = 1 - e-x1 + e-x$ ، فأُجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

أ. أجد ميل المماس عند نقطة الأصل.

ب. أُبيّن عدم وجود مماس أفقي للاقتران $y$ ، ثمّ أُبرّر إجابتي.

تحدّ: إذا كان $y = (x + 1)/(x - 1)$ ، حيث $x 1$ ، فأُجيب عن الأسئلة الثلاثة الآتية تباعًا:

أ. أجد $\frac{dy}{dx}$ .

ب. أُعيد كتابة المعادلة بالنسبة إلى المُتغيّر $x$ ( $x$ اقتران بالنسبة إلى $y$ )، ثمّ أجد $(dx)/(dy)$ .

ج. أُبيّن أن $(dx)/(dy) = 1(dy)/(dx)$ .

تبرير: إذا كان $f(x) = ( x)/(x2)$ ، فأُجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

أ. أُثبت أن: $f''(x) = (6 x - 5)/(x4)$ ، ثمّ أُبرّر إجابتي.

ب. أجد قيمة المقدار: $x4 f''(x) + 4x3 f'(x) + 2x2 f(x) + 1$ .

تعريفات أساسية

مشتقة ضرب اقترانين: مشتقة ضرب اقترانين هي الاقتران الأوّل مضروبًا في مشتقة الاقتران الثاني، ثمّ يضاف إليه الاقتران الثاني مضروبًا في مشتقة الاقتران الأوّل.
مشتقة القسمة: مشتقة قسمة اقترانين هي المقام في مشتقة البسط مطروحًا منه البسط في مشتقة المقام، ثمَّ قسمة الجميع على مُربّع المقام.
مشتقة المقلوب: مشتقة مقلوب اقتران هي سالب مشتقة الاقتران مقسومًا على مُربَّع الاقتران.
المشتقة الثانية: يُطلق على الاقتران الجديد $f''(x)$ اسم المشتقة الثانية للاقتران $f(x)$ .
المشتقة الثالثة: إذا كان $f''(x)$ اقتراناً، فإنَّه يُرمز إلى مشتقته بالرمز $f'''(x)$ ، وتُسمّى المشتقة الثالثة ⁦(third derivative)⁩ للاقتران $f(x)$ .
القاطع: القاطع ( $x$ ) هو مقلوب جيب التمام، وقاطع التمام ( $x$ ) هو مقلوب الجيب.

معاينة موضوع «مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا» من وحدة «التفاضل وتطبيقاته» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ١٨، التعريفات: ٦، الأسئلة المحلولة: ٧.

المصدر: المركز الوطني لتطوير المناهج، مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا (ص ٨٩–١٠٢)

شرح الموضوع

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

كيف نشتق حاصل ضرب اقترانين؟

مشتقة ضرب اقترانين

نظرية

مثال 1

مشتقة قسمة اقترانين

كيف نشتق ناتج قسمة اقترانين؟

نظرية: مشتقة القسمة

مثال 2

مثال 3 : من الحياة

المشتقة معدّل تغيّر: حرارة مريض

مشتقة المقلوب

كيف نشتق مقلوب اقتران؟

نظرية

مثال 4

مشتقات الاقترانات المثلثية

الظل والقاطع وأخواتهما: ما مشتقاتها؟

نظرية

مثال 5

المشتقات العليا

ماذا نسمّي مشتقة المشتقة؟

مثال 6

أتدرب وأحل المسائل

تدرّب: برهان وأقمار صناعية ومنحنيان

مهارات التفكير العليا

فكّر: مماس أفقي ومقلوب المشتقة

تعريفات أساسية

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة