شرح المتطابقات المثلثية 2 – رياضيات توجيهي جيل 2009

آخر تحديث: ٢ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (١١)

شرح الموضوع

المتطابقات المثلثية 2

إيجاد قيّم الاقترانات المثلثية باستعمال المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها.
إعادة كتابة المقادير المثلثية من صورة الضرب إلى صورة الجمع، والعكس.

ضعف الزاوية: كيف نجد قيمته من قيمة الزاوية نفسها؟

يختلف ميل منحدرات التزلّج المُصمّمة للمنافسة باختلاف مستوى مهارة المتسابقين. ميل المنحدر للمتسابقين المحترفين هو $\tan \theta = \frac{5}{3}$ ، حيث $\theta$ الزاوية التي يصنعها المنحدر مع سطح الأرض. أمّا المتسابقون المبتدئون فتميل منحدراتهم بزاوية قياسها نصف الزاوية $\theta$ . ما ميل المنحدر للمتسابقين المبتدئين؟

مثال

حلّ مسألة اليوم: المعطيات: ميل المحترفين $\tan \theta = \frac{5}{3}$ المطلوب: ميل المنحدر للمتسابقين المبتدئين، وزاويته نصف الزاوية $\theta$ . $\tan \frac{\theta}{2}$ نعبّر عن الجيب بالتمام: $\sin \theta = \frac{5}{3} \cos \theta$ متطابقة فيثاغورس: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ نعوّض الجيب: $\left(\frac{5}{3} \cos \theta\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$ نربّع: $\frac{25}{9} \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ نجمع الحدّين: $\frac{34}{9} \cos^2 \theta = 1$ نقسم الطرفين: $\cos^2 \theta = \frac{9}{34}$ الزاوية حادّة: $\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{34}}$ متطابقة نصف الزاوية: $\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$ نعوّض: $= \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{\sqrt{34}}}{1 + \frac{3}{\sqrt{34}}}}$ بالتبسيط: $= \sqrt{\frac{\sqrt{34} - 3}{\sqrt{34} + 3}}$ نضرب في المرافق: $= \sqrt{\frac{(\sqrt{34} - 3)^2}{34 - 9}}$ الجذر التربيعي: $= \frac{\sqrt{34} - 3}{5}$ القيمة التقريبية: $\approx 0.57$

المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية

صيغة الجيب
---
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$

صيغ جيب التمام
---
$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$
$\cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$
$\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$

صيغة الظلّ
---
$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$

مثال 1

مثال

المثال 1: المعطيات: $\begin{aligned}\sin \theta &= \frac{3}{5} \\ \frac{\pi}{2} < \theta < \pi\end{aligned}$ المطلوب: أجد قيمة كلّ ممّا يأتي: $\begin{aligned}\sin 2\theta \\ \cos 2\theta \\ \tan 2\theta\end{aligned}$ الفرع 1: بما أنّ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ ، إذن أجد أوّلًا قيمة $\cos \theta$ . الخطوة 1: أجد قيمة $\cos \theta$ . متطابقات فيثاغورس: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ بتعويض $\sin \theta = \frac{3}{5}$ : $\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$ نعزل الحدّ المطلوب: $\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25}$ بالتبسيط: $\cos^2 \theta = \frac{16}{25}$ بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين: $\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$ بما أنَّ جيب التمام في الربع الثاني سالب، إذن: $\cos \theta = -\frac{4}{5}$ الخطوة 2: أجد قيمة $\sin 2\theta$ متطابقة ضعف الزاوية: $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ بتعويض $\cos \theta = -\frac{4}{5}, \sin \theta = \frac{3}{5}$ : $= 2 \left(\frac{3}{5}\right) \left(-\frac{4}{5}\right)$ بالضرب: $= -\frac{24}{25}$ الفرع 2: متطابقة ضعف الزاوية: $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ بتعويض $\cos \theta = -\frac{4}{5}$ : $= 2 \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - 1$ نربّع الكسر: $= 2 \cdot \frac{16}{25} - 1$ بالتبسيط: $= \frac{7}{25}$ الفرع 3: الخطوة 1: أجد قيمة $\tan \theta$ المتطابقات النسبية: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ بتعويض $\cos \theta = -\frac{4}{5}, \sin \theta = \frac{3}{5}$ : $= \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}$ بالتبسيط: $= -\frac{3}{4}$ الخطوة 2: أجد قيمة $\tan 2\theta$ . متطابقة ضعف الزاوية: $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ بتعويض $\tan \theta = -\frac{3}{4}$ : $= \frac{2 \left(-\frac{3}{4}\right)}{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2}$ نحسب البسط والمقام: $= \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}}$ $= \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}$ بالتبسيط: $= -\frac{24}{7}$

هل يُمكن إيجاد $\tan 2\theta$ بطريقة أخرى؟

إذا كان: $\cos \theta = -\frac{2}{3}$ ، حيث: $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ ، فأجد قيمة كلّ ممّا يأتي:

a) $\sin 2\theta$ b) $\cos 2\theta$ c) $\tan 2\theta$

مثال 2

ثلاثة أضعاف الزاوية: نبني على ضعف الزاوية

نجمع متطابقتين: يُمكن استعمال متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات مجموع زاويتين لإيجاد قيمة اقتران مثلثي عند $3\theta$ باستعمال قيمة الاقتران عند $\theta$ .

مثال

المثال 2: المطلوب: أكتب $\cos 3\theta$ بدلالة $\cos \theta$ . $\cos 3\theta = \cos (2\theta + \theta)$ $3\theta = 2\theta + \theta$ متطابقة جيب التمام لمجموع زاويتين: $= \cos 2\theta \cos \theta - \sin 2\theta \sin \theta$ متطابقات ضعف الزاوية: $= (2\cos^2 \theta - 1)\cos \theta - (2\sin \theta \cos \theta) \sin \theta$ باستعمال خاصية التوزيع: $= 2\cos^3 \theta - \cos \theta - 2\sin^2 \theta \cos \theta$ متطابقة فيثاغورس: $= 2\cos^3 \theta - \cos \theta - 2\cos \theta (1 - \cos^2 \theta)$ باستعمال خاصية التوزيع: $= 2\cos^3 \theta - \cos \theta - 2\cos \theta + 2\cos^3 \theta$ بالتبسيط: $= 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$

المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية

تقليص القوّة: كيف نُنزل قوى الجيب وجيب التمام؟

تقليص القوّة: تُكتب المقادير المثلثية التي تتضمَّن قوى للجيب وجيب التمام والظلّ بدلالة القوَّة الأولى لجيب التمام فقط، باستعمال متطابقات ضعف الزاوية.

المتطابقات المثلثية لتقليص القوَّة
---
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$
$\tan^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}$

مثال 3

مثال

المثال 3: المطلوب: أعيد كتابة $\sin^2 x \cos^2 x$ بدلالة القوَّة الأولى لجيب التمام. متطابقات تقليص القوَّة: $\sin^2 x \cos^2 x = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)$ باستعمال خاصية التوزيع: $= \frac{1 - \cos^2 2x}{4}$ بكتابة الكسر في صورة فرق بين كسرين: $= \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos^2 2x$ متطابقة تقليص القوَّة: $= \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \left(\frac{1 + \cos 4x}{2}\right)$ باستعمال خاصية التوزيع: $= \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{\cos 4x}{8}$ بالتبسيط: $= \frac{1}{8} - \frac{\cos 4x}{8}$ بإخراج العامل المشترك: $= \frac{1}{8} (1 - \cos 4x)$ طريقة أخرى: يُمكن حلُّ المثال السابق باستعمال متطابقة جيب ضعف الزاوية على النحو الآتي: $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x$ متطابقة تقليص القوّة: $= \frac{1}{4} \left(\frac{1 - \cos 4x}{2}\right)$ بالتبسيط: $= \frac{1}{8} (1 - \cos 4x)$

أعيد كتابة $\cos^4 x$ بدلالة القوَّة الأولى لجيب التمام.

نصف الزاوية: كيف نختار الإشارة؟

المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية
---
$\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$
$\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$
$\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$

مثال

المثال 4: المطلوب: أجد قيمة $\sin 22.5^\circ$ من دون استعمال الآلة الحاسبة. بما أنَّ $22.5^\circ$ هي نصف $45^\circ$ ، فإنَّه يُمكنني استعمال متطابقة جيب نصف الزاوية. وبما أنَّ ضلع انتهاء الزاوية $22.5^\circ$ يقع في الربع الأول، فإنَّني أختار الإشارة الموجبة للمتطابقة: متطابقة نصف الزاوية: $\sin \frac{45^\circ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{2}}$ $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $= \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}$ نوحّد مقام البسط: $= \sqrt{\frac{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}}{2}}$ بالتبسيط: $= \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}}$ بإنطاق المقام: $= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ بالتبسيط: $= \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

مثال 5

مثال

المثال 5: المعطيات: $\begin{aligned}\cos x &= -\frac{3}{5} \\ \pi < x < \frac{3\pi}{2}\end{aligned}$ المطلوب: أجد قيمة كلّ ممّا يأتي: $\begin{aligned}\sin \frac{x}{2} \\ \cos \frac{x}{2} \\ \tan \frac{x}{2}\end{aligned}$ بما أنَّ $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ ، فإنَّ $\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4}$ ، وهذا يعني أنَّ ضلع انتهاء الزاوية $\frac{x}{2}$ يقع في الربع الثاني: الفرع 1: متطابقة نصف الزاوية: $\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}$ $\cos x = -\frac{3}{5}$ $= \sqrt{\frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2}}$ نحسب البسط: $= \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}}$ بالتبسيط: $= \sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ بإنطاق المقام: $= \frac{2\sqrt{5}}{5}$ الفرع 2: متطابقة نصف الزاوية: $\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$ $\cos x = -\frac{3}{5}$ $= -\sqrt{\frac{1+(-\frac{3}{5})}{2}}$ بالتبسيط: $= -\sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ بإنطاق المقام: $= -\frac{\sqrt{5}}{5}$ الفرع 3: متطابقة نصف الزاوية: $\tan \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$ $\cos x = -\frac{3}{5}$ $= -1-(-(3)/(5))1+(-(3)/(5))$ بالتبسيط: $= -(8)/(5)(2)/(5) = -\sqrt((8)/(2))$ بإيجاد الجذر التربيعي: $= -\sqrt{4} = -2$

هل يُمكن حلُّ الفرع 3 من المثال 5 بطريقة أخرى؟ أُبرّر إجابتي.

أجد قيمة $112.5^$ من دون استعمال الآلة الحاسبة.

إذا كان: $x = (2)/(5)$ ، حيث: $(π)/(2) < x < π$ ، فأجد قيمة كلّ ممّا يأتي:

a) $(x)/(2)$ b) $(x)/(2)$ c) $(x)/(2)$

متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع أو فرق

كيف نحوّل حاصل الضرب إلى جمع؟

متطابقات تحويل الضرب إلى جمع
---
$α β = (1)/(2) [ (α-β) - (α+β)]$
$α β = (1)/(2) [ (α-β) + (α+β)]$
$α β = (1)/(2) [ (α-β) + (α+β)]$

مثال 6

أُعيد كتابة $7x x$ في صورة مجموع أو فرق.

والعكس: كيف نحوّل الجمع إلى ضرب؟

ترتبط كلٌّ من متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع أو فرق بإحدى متطابقات تحويل المجموع أو الفرق إلى ضرب.

مثال 7

متطابقات تحويل المجموع أو الفرق إلى ضرب
---
$α + β = 2 ((α+β)/(2)) ((α-β)/(2))$
$α + β = 2 ((α+β)/(2)) ((α-β)/(2))$
$α - β = 2 ((α+β)/(2)) ((α-β)/(2))$
$α - β = -2 ((α+β)/(2)) ((α-β)/(2))$

أُعيد كتابة $3x + 2x$ في صورة ضرب.

إثبات متطابقة: من أين نبدأ؟

نثبت متطابقة: يُمكن استعمال المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية، ونصف الزاوية، وتحويل الضرب إلى مجموع أو فرق، في إثبات متطابقات مثلثية أُخرى.
نبدأ بالطرف الأكثر تعقيدًا: ألاحظ أنَّ الطرف الأيسر أكثر تعقيدًا، لذا أبدأ بالمقدار المثلثي الموجود فيه.

مثال 8

مثال

المثال 8: المطلوب: أُثبت صحّة كلّ متطابقة ممّا يأتي: 1. $( 3x)/( x x) = 4 x - x$ 2. $( 3x - x)/( 3x + x) = x$ الفرع 1: $3x = x + 2x$ $( 3x)/( x x) = ( (x + 2x))/( x x)$ متطابقة جيب المجموع لزاويتين: $= ( x 2x + x 2x)/( x x)$ متطابقات ضعف الزاوية: $= ( x (2 2 x - 1) + x (2 x x))/( x x)$ بكتابة الكسر في صورة مجموع كسرين: $= ( x (2 2 x - 1))/( x x) + ( x (2 x x))/( x x)$ باختصار العامل المشترك في البسط والمقام: $= (2 2 x - 1)/( x) + 2 x$ بكتابة الكسر في صورة الفرق بين كسرين: $= 2 x - (1)/( x) + 2 x$ متطابقات المقلوب: $= 4 x - x$ الفرع 2: متطابقات تحويل الجمع إلى ضرب: $( 3x - x)/( 3x + x) = 2 ( (3x+x)/(2) ) ( (3x-x)/(2) )2 ( (3x+x)/(2) ) ( (3x-x)/(2) )$ بالتبسيط: $= (2 2x x)/(2 2x x)$ باختصار العامل المشترك: $= ( x)/( x)$ المتطابقات النسبية: $= x$

أُثبت صحة كل متطابقة:

a) $(2 x)/(1 + 2 x) = 2x$

b) $( x + y)/( x + y) = ( (x+y)/(2) )$

تعريفات أساسية

متطابقات ضعف الزاوية: تُستعمل متطابقات ضعف الزاوية لإيجاد قيمة اقتران مثلثي عند الزاوية $2\theta$ باستعمال قيمة الاقتران عند الزاوية $\theta$ .
المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية: تُعدُّ المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية نتيجة مباشرة لمتطابقات تقليص القوَّة، وذلك بأخذ الجذر التربيعي لطرفي كل متطابقة، واستعمال الزاوية $\frac{\theta}{2}$ بدلًا من الزاوية $\theta$ .
متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع أو فرق: يُمكن كتابة مقدار ضرب، مثل $u v$ ، في صورة حاصل جمع اقترانات مثلثية أو طرحها، وذلك باستعمال متطابقات تحويل الضرب إلى جمع.
المتطابقات المثلثية لتقليص القوّة: يُمكن استعمال المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية في كتابة المقادير المثلثية التي تتضمَّن قوى للجيب وجيب التمام والظلّ بدلالة القوَّة الأولى لجيب التمام فقط
القوّة الأولى لجيب التمام: القوَّة الأولى لجيب التمام تعني جيب التمام مرفوعًا للأُسّ واحد، (وعادة لا يظهر الأُسّ 1 عند كتابة التعابير والمقادير الجبرية)، مثل: $\cos x, \cos 3x, \cos 8x, \cos(5x+4)$

معاينة موضوع «المتطابقات المثلثية 2» من وحدة «المتطابقات والمعادلات المثلثية» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ١١، التعريفات: ٥، الأسئلة المحلولة: ٦.

المصدر: المركز الوطني لتطوير المناهج، المتطابقات المثلثية 2 (ص ٤٦–٥٦)

المتطابقات المثلثية 2

شرح الموضوع

المتطابقات المثلثية 2

ضعف الزاوية: كيف نجد قيمته من قيمة الزاوية نفسها؟

المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية

مثال 1

مثال 2

ثلاثة أضعاف الزاوية: نبني على ضعف الزاوية

المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية

تقليص القوّة: كيف نُنزل قوى الجيب وجيب التمام؟

مثال 3

نصف الزاوية: كيف نختار الإشارة؟

مثال 5

متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع أو فرق

كيف نحوّل حاصل الضرب إلى جمع؟

مثال 6

والعكس: كيف نحوّل الجمع إلى ضرب؟

مثال 7

إثبات متطابقة: من أين نبدأ؟

مثال 8

تعريفات أساسية

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد