المواسعة الكهربائية (٢): توصيل المواسعات والطاقة

عند شحن المواسع تبذل البطارية شغلا لنقل الشحنات إلى صفيحتيه. هذا الشغل لا يحسب بضرب الشحنة النهائية في الجهد النهائي مباشرة؛ لأن فرق الجهد يزداد تدريجيا في أثناء الشحن، لذلك تمثل المساحة تحت منحنى $Q$-$V$ الشغل الكلي.

الطاقة المختزنة: طاقة المواسع المشحون هي طاقة وضع كهربائية مختزنة بين صفيحتيه، وتساوي الشغل المبذول في شحنه:

الصيغة الأولى تأتي من مساحة مثلث قاعدته $V$ وارتفاعه $Q$. ثم نستبدل $Q=CV$ للحصول على $PE=\frac12CV^2$، أو نستبدل $V=Q/C$ للحصول على $PE=\frac{Q^2}{2C}$. اختيار الصيغة في المسألة يعتمد على المعطيات: إذا أعطاك $C,V$ فاستعمل الصيغة الثانية، وإذا أعطاك $Q,C$ فاستعمل الثالثة.

ميل أم مساحة؟: في منحنى $Q$ مقابل $V$: الميل يساوي المواسعة $C$، أما المساحة تحت المنحنى فتساوي الطاقة المختزنة $PE$. خلط هاتين القراءتين من أكثر أخطاء مسائل الرسوم.

إذا فصلت البطارية بعد شحن المواسع ثم وصل طرفاه بجهاز كهربائي مثل مصباح، تنتقل الإلكترونات عبر الدارة الخارجية من الصفيحة السالبة إلى الصفيحة الموجبة. يتلاشى التيار تدريجيا في مدة قصيرة، وتصبح الشحنة النهائية قريبة من الصفر، وتتحول الطاقة المختزنة إلى ضوء أو حرارة أو شكل آخر بحسب الجهاز.

مواسعة ثابتة لا طاقة ثابتة: عند تفريغ مواسع معزول في مصباح لا تتغير مواسعته لأنها تعتمد على البناء الهندسي والوسط العازل، لكن جهده وشحنته وطاقته المختزنة تتناقص أثناء التفريغ.

تصنع المواسعات بقيم وجهود تشغيل محددة، وقد تحتاج الدارة إلى قيمة غير متوافرة منفردة. لذلك توصل المواسعات معا للحصول على مواسعة مكافئة، أي مواسعة واحدة تعطي أثر المجموعة نفسها في الدارة.

المواسعة المكافئة: المواسعة المكافئة هي مواسعة واحدة تستبدل مجموعة مواسعات متصلة مع المحافظة على العلاقة الكلية بين الشحنة وفرق الجهد للمجموعة.

في التوصيل على التوازي تتصل صفيحتا كل مواسع بقطبي البطارية نفسيهما؛ لذلك يكون فرق الجهد على كل مواسع مساويا لجهد البطارية. الشحنات قد تختلف لأن $Q_i=C_iV$، لكن الشحنة الكلية هي مجموع الشحنات.

قاعدة التوازي: في التوازي: $V$ مشترك، و$Q=Q_1+Q_2+Q_3+\cdots$، لذلك:

في التوصيل على التوالي تشحن الصفائح الطرفية بفعل البطارية، وتشحن الصفائح الوسطى بالحث. النتيجة التي يعتمد عليها الحل هي أن شحنات المواسعات المتصلة على التوالي متساوية، بينما يتوزع فرق الجهد بينها بحيث يكون الجهد الكلي مجموع الجهود الجزئية.

قاعدة التوالي: في التوالي: $Q$ مشترك، و$V=V_1+V_2+V_3+\cdots$، لذلك:

ليست مثل المقاومات: قواعد المواسعات عكس القاعدة التي يتذكرها كثير من الطلاب للمقاومات: المواسعات على التوازي تجمع مباشرة، وعلى التوالي تجمع مقلوباتها.

في الدارات المركبة لا نبدأ بالقانون العام مباشرة. نقرأ الرسم ونبحث عن جزء واضح: مواسعان على التوالي في مسار واحد، أو مواسعان على التوازي بين العقدتين نفسيهما. بعد اختصار هذا الجزء نرسم الدارة ذهنيا أو على الورق ثم نكمل الاختصار.

خطة الحل: - سم العقدتين اللتين يقع بينهما كل مواسع. إذا اشترك مواسعان في العقدتين نفسيهما فهما على التوازي.

• إذا كانا في مسار واحد بلا تفرع بينهما فهما على التوالي. اختصر جزءا واحدا في كل خطوة.

مثال: في دارة مركبة يكون مواسعا $3\,\mu F$ و$6\,\mu F$ على التوالي أولا، فتكون مواسعتهما المكافئة $2\,\mu F$. بعد ذلك تصبح هذه المواسعة على التوازي مع $8\,\mu F$، فتكون المواسعة الكلية $10\,\mu F$.

الجهد والشحنة بعد الاختصار: بعد إيجاد $C_{eq}$ لا تنس العودة إلى الدارة الأصلية إذا سئلت عن شحنة أو جهد مواسع معين. في التوازي ترجع إلى الجهد المشترك، وفي التوالي ترجع إلى الشحنة المشتركة.

مثال: يعطي الفولتميتر جهد الفرع المتوازي $C_2$ و$C_3$، لذلك يكون $V_2=V_3=10\,V$. وبما أن هذا الفرع على التوالي مع $C_1$ داخل مصدر $15\,V$، فإن جهد $C_1$ هو الفرق الباقي، أي $5\,V$. هذه الفكرة تتكرر في أسئلة الامتحان: قراءة الفولتميتر تحدد جهد جزء من الدارة لا الجهد على كل مواسع بالضرورة.

إعادة الرسم: تعامل مع الدارة المركبة كأنك تطويها طبقة طبقة: كلما اختصرت زوجا أو فرعا، ارسم نسخة أبسط. الحساب يصبح قصيرا عندما يكون الرسم بعد كل خطوة واضحا.

تجربة 4 تقيس المواسعة المكافئة لعدة مواسعات عند توصيلها على التوازي أو التوالي. أدواتها ثلاثة مواسعات، مصدر تيار مستمر DC، فولتميتر، أسلاك توصيل، ولواقط فلزية. يبدأ العمل بالتأكد من أن المواسعات غير مشحونة، وذلك بتفريغها بسلك سميك بين طرفي كل مواسع.

سلامة التجربة: لا ترفع جهد المصدر إلى قيمة أعلى من الجهد المكتوب على المواسع. رفع الجهد قد يتلف المواسعات وهو خطر في المختبر.

في الجزء الأول توصل المواسعات الثلاثة على التوازي، ثم يرفع جهد المصدر إلى قيمة آمنة مثل $10\,V$، وتستخدم قراءة الفولتميتر لقياس جهد كل مواسع وتدوين النتائج. في الجزء الثاني تفصل الدارة وتفرغ المواسعات، ثم يعاد توصيلها على التوالي وتكرر القياسات نفسها.

ما الذي أتوقعه؟: على التوازي أتوقع جهدا متساويا على المواسعات، وعلى التوالي أتوقع شحنات متساوية وجهودا موزعة. المقارنة بين القياس العملي والتوقع النظري هي قلب التجربة.

في التحليل نحسب المواسعة المكافئة المتوقعة من القوانين النظرية، ثم نقارنها بالمواسعة المكافئة المقيسة. أي اختلاف معقول قد يعود إلى دقة قراءة الفولتميتر، عدم تفريغ المواسعات تماما قبل الإعادة، مقاومة الأسلاك والتلامس، أو تجاوز جهد التشغيل المناسب.

قبل إعادة التوصيل: إعادة ترتيب المواسعات من تواز إلى توال من دون تفريغها أولا تجعل القياسات مضللة؛ لأن المواسعات تبدأ التجربة الثانية وهي تحمل شحنة متبقية.

أسئلة المراجعة في نهاية الدرس تختبر ثلاث مهارات: تعريف المفاهيم، اختيار قانون التوصيل المناسب، وربط الطاقة بالشحنة والجهد. لا تحفظ القاعدة وحدها؛ احفظ معها الكمية المشتركة لأن السؤال قد يطلب شحنة مواسع أو قراءة فولتميتر لا المواسعة المكافئة فقط.

طريقة الفرز: قبل التعويض اكتب فوق كل جزء من الرسم: توازي يعني $V$ مشترك، وتوالي يعني $Q$ مشترك. بعدها فقط احسب $C_{eq}$ أو الشحنات أو الطاقة.

وحدة الطاقة: إذا عوضت $C$ بالميكروفاراد وبقي الجهد بالفولت فالناتج ليس بالجول. حول $\mu F$ إلى $F$ قبل حساب الطاقة أو الشحنة بوحدات SI.

المواسع الفائق في فقرة الإثراء مثال تطبيقي على تخزين طاقة كبيرة بزمن شحن وتفريغ قصير وعدد دورات كبير. لا يتحول إلى قانون جديد في هذا الموضوع؛ يكفي أن تربطه بفكرة المواسعة الكبيرة والجهد التشغيلي المنخفض وإمكان توصيل عدة مواسعات على التوالي للحصول على جهد أكبر.

مراجعة الدرس

• وضح المقصود بالمواسع الكهربائي، والمواسعة الكهربائية، والمواسعة المكافئة؟
• كيف يمكن زيادة مواسعة مواسع صفيحتين متوازيتين إلى أربعة أضعاف؟
• ماذا نعني بقولنا إن مواسعة مواسع تساوي $5\,\mu F$؟
• احسب الطاقة الكلية المختزنة في ثلاثة مواسعات، مواسعة كل منها $30\,\mu F$، متصلة على التوازي مع بطارية $12\,V$؟
• مهندس يحتاج مواسعا $5\,nF$ ولا يملك إلا مواسعين كل منهما $10\,nF$. ما التوصيل المناسب؟
• مواسع صفيحتين متوازيتين مساحته $2.0\times10^{-3}\,m^2$ والبعد $0.10\,cm$ ومشحون بشحنة $6.0\,nC$ ومفصول عن البطارية. احسب مواسعته وجهده، ثم ماذا يحدث إذا صار البعد نصف قيمته؟
• ماذا يحدث لطاقة مواسع إذا زاد فرق الجهد بين صفيحتيه إلى المثلين مع بقاء مواسعته ثابتة؟