توصيل المقاومات وقاعدتا كيرشوف

تستخدم المقاومات بقيم وطرق توصيل مختلفة بحسب وظيفة الدارة. قبل الدخول إلى قاعدتي كيرشوف، يجب أن تعرف متى تستطيع اختصار مجموعة مقاومات إلى مقاومة مكافئة واحدة، لأن هذا يحول كثيرا من الدارات إلى عروة بسيطة.

المقاومة المكافئة: المقاومة المكافئة هي مقاومة واحدة تحل محل مجموعة مقاومات وتبقي الأثر الكلي نفسه بين نقطتين في الدارة.

في التوصيل على التوالي يمر التيار نفسه في المقاومات كلها، ويتجزأ فرق الجهد بينها. لذلك يكون فرق الجهد الكلي مجموع فروق الجهد الجزئية، وتكون المقاومة المكافئة مجموع المقاومات.

قاعدة التوالي: $R_{eq}=R_1+R_2+R_3+\cdots$

المقاومة المكافئة في التوالي أكبر من أي مقاومة مفردة، وقطع مقاومة واحدة يوقف التيار في المسار كله.

في التوصيل على التوازي تكون المقاومات بين النقطتين نفسيهما، لذلك يكون فرق الجهد نفسه على كل فرع، بينما يتجزأ التيار بين الفروع. تستخدم هذه الطريقة في الأجهزة المنزلية لأن فصل فرع لا يوقف الفروع الأخرى.

قاعدة التوازي: $\frac1{R_{eq}}=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_3}+\cdots$

المقاومة المكافئة في التوازي أصغر من أصغر مقاومة في المجموعة.

لا تخلطها مع المواسعات: قواعد المقاومات ليست مثل المواسعات: المقاومات تجمع مباشرة على التوالي، وتجمع مقلوباتها على التوازي.

تجربة 2 تتحقق عمليا من قاعدتي جمع المقاومات على التوالي والتوازي. أدواتها مصدر طاقة منخفض الجهد، مفتاح، مجموعة مقاومات معلومة، أميتر، فولتميتر، وأسلاك توصيل. يبدأ الطالب باختيار ثلاث مقاومات مختلفة ويرمز لأصغرها $R_1$ ثم $R_2$ ثم $R_3$.

سلامة القياس: لا تغلق المفتاح مدة طويلة؛ سخونة الأسلاك أو المقاومات تغير قيم القياس، ولا تلمس الوصلات غير المعزولة.

في الجزء الأول توصل المقاومات الثلاث على التوالي، ويقاس التيار الكلي وفرق الجهد الكلي، ثم تحسب المقاومة المكافئة عمليا من $R=V/I$ وتقارن بقيمة $R_1+R_2+R_3$. في الجزء الثاني يعاد توصيل المقاومات على التوازي، وتكرر القياسات ثم تقارن بالقانون النظري للتوازي.

ماذا أتوقع؟: في التوالي: التيار الكلي نفسه في كل مقاومة والجهود تتوزع. في التوازي: الجهد الكلي نفسه على كل فرع والتيارات تتوزع.

تحليل التجربة لا يكتفي بإثبات القوانين؛ بل يربط القياس العملي بالقاعدة. إذا اختلفت النتيجة التجريبية قليلا عن الحساب النظري، فابحث عن مقاومة الأسلاك، دقة قراءة الأجهزة، أو تغير درجة الحرارة بسبب إغلاق المفتاح زمنا طويلا.

عندما لا يمكن اختصار الدارة إلى عروة واحدة بسبب وجود تفرعات تحتوي بطاريات ومقاومات، نحتاج إلى قاعدتي كيرشوف. القاعدة الأولى تسمى قاعدة الوصلة، وهي صورة مباشرة من حفظ الشحنة: الشحنة لا تتراكم عند نقطة التفرع.

قاعدة كيرشوف الأولى: مجموع التيارات الداخلة إلى أي نقطة تفرع يساوي مجموع التيارات الخارجة منها:

في مثال 13 يدخل التيار $6.0\,A$ إلى نقطة التفرع ويخرج تيار $3.5\,A$ من أحد الفروع. التيار في الفرع الآخر هو الفرق، أي $2.5\,A$. تشبيه تفرع التيار بتفرع النهر مفيد: كمية الماء الداخلة تساوي مجموع ما يخرج في الفرعين.

إشارات التيار: ارسم سهما لكل تيار قبل كتابة المعادلة. إذا ظهرت قيمة تيار سالبة بعد الحل، فهذا يعني أن الاتجاه الحقيقي عكس السهم الذي افترضته.

قاعدة كيرشوف الثانية تسمى قاعدة العروة. عندما تبدأ من نقطة في عروة مغلقة وتعود إليها، يجب أن يكون المجموع الجبري لتغيرات الجهد صفرا، لأن التغير الكلي في طاقة الوضع الكهربائية للشحنة بعد دورة كاملة يساوي صفرا.

قاعدة كيرشوف الثانية: حول أي عروة مغلقة:

أو: الجهد عند نقطة البداية بعد دورة كاملة يساوي الجهد نفسه عند العودة إليها.

نظام الإشارات واضح: عند عبور مقاومة باتجاه التيار يكون التغير $-IR$، وعند عبورها عكس التيار يكون $+IR$. وعند عبور بطارية من القطب السالب إلى الموجب يكون التغير $+\varepsilon$، وعند عبورها عكس ذلك يكون $-\varepsilon$.

اتجاهان لا اتجاه واحد: ميز بين اتجاه التيار المفترض واتجاه عبورك للعروة. يمكن أن تختارهما كما تريد، لكن يجب أن تطبق إشارات المقاومة والبطارية بناء على هذين الاتجاهين بثبات.

في مثال 14 يعطي اختيار اتجاه مع عقارب الساعة معادلة عروة واحدة: $12-8-I(0.5+1+0.5+8)=0$، فينتج $I=0.4\,A$. بما أن الناتج موجب، فالتيار في الاتجاه الذي افترضه الحل.

التأريض والجهد عند نقطة: عند تأريض نقطة في الدارة يعد جهدها صفرا. لإيجاد جهد نقطة أخرى، ابدأ من نقطة معلومة الجهد وتابع تغيرات الجهد على مسار واضح حتى تصل إلى النقطة المطلوبة.

في مسائل الجهد عند نقطة مثل مثال 15، نستخدم القاعدة الأولى لإيجاد التيار المجهول أولا، ثم ننتقل من نقطة إلى أخرى ونجمع تغيرات الجهد حسب اتجاه العبور. وفي الدارات المركبة مثل مثال 16، نكتب معادلة وصلة ثم نختار عروتين مناسبتين؛ لا يلزم استخدام كل العرى إذا كانت معادلتان كافيتين مع معادلة الوصلة.

الامتحان في هذا الموضوع يميل إلى الرسوم: دارة فيها مقاومات توالي وتوازي، أو وصلة تيارات، أو عروة بطاريات ومقاومات. قبل التعويض، حدد هل يمكن اختصار الدارة أولا أم أن وجود بطاريات في الفروع يفرض استخدام كيرشوف.

خطة من ثلاث خطوات: 1. اختصر المقاومات إذا كانت توالي/توازي واضحة. 2. ارسم اتجاهات التيار. 3. اكتب قاعدة الوصلة ثم قاعدة العروة بإشارات ثابتة.

السالب في الحل: قيمة تيار سالبة لا تعني أن الحل فشل؛ تعني فقط أن التيار الحقيقي يسير عكس الاتجاه الذي افترضته على الرسم.

للتسميع، اكتب قاعدتي كيرشوف من الذاكرة ثم طبق نظام الإشارات على أربع حالات: مقاومة مع التيار، مقاومة عكس التيار، بطارية من السالب إلى الموجب، وبطارية من الموجب إلى السالب. هذه الأربع هي التي تمنع أغلب أخطاء العروة.

مراجعة الدرس

• اذكر نص قاعدتي كيرشوف، وما مبدأ الحفظ الذي تحققه كل قاعدة؟
• قارن بين توصيل المقاومات على التوالي والتوازي من حيث فرق الجهد والتيار والمقاومة المكافئة؟
• لماذا توصل المصابيح الأمامية في السيارة على التوازي مع البطارية؟
• لماذا يكون فرق الجهد عبر المقاومة سالبا عند عبورها باتجاه التيار؟
• دارة فيها بطارية $9\,V$ ومقاومة داخلية $0.2\,\Omega$ ومقاومات خارجية $6\,\Omega$ و$2\,\Omega$ و$12\,\Omega$ على التوالي. احسب المقاومة المكافئة والتيار؟
• إذا أعطت معادلات كيرشوف تيارا $I=-0.4\,A$، فماذا يعني ذلك؟
• كيف تجد جهد نقطة إذا كانت نقطة أخرى مؤرضة؟