شرح تطبيقات التكامل المحدود – الرياضيات (الفرع العلمي)

آخر تحديث: ٢ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (٢٢)

شرح الموضوع

٥ - ٥ تطبيقات التكامل المحدود

أولاً: المساحة ⁦(Area)⁩

مبنى نريد طلاء مدخله: كيف نقيس المساحة؟

الشكل المجاور يبين مبنى وزارة التربية والتعليم العالي الفلسطينية، يراد طلاء المنطقة المحددة بالألوان فوق مدخل المبنى

فإذا علمت أن المنحنى الأزرق يمثل تقريباً منحنى الاقتران $ق(س) = ٦ - ٣ س^٢$ ، فكيف يمكننا تحديد المساحة المراد طلاؤها؟

من شبه المنحرف إلى التكامل

نجرّب على اقتران بسيط، فنقارن المساحة بقيمة التكامل.

مثال

نشاط ٢: إذا مثلنا منحنى الاقتران $ق(س) = س + ٣$ بيانياً في الفترة $[٠ ، ٤]$ المساحة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س)$ ومحور السينات والمستقيمين $س = ٠$ ، $س = ٤$ هي مساحة شبه منحرف، وارتفاعه ٤ وحدات قيمة $\int_٠^٤ (س + ٣) د س$ العلاقة بين مساحة شبه المنحرف وناتج التكامل للاقتران $ق(س)$ في $[٠ ، ٤]$ إجابة مقترحة (ليست من الكتاب): ١) $ق(٠) = ٣$ و $ق(٤) = ٧$ ، فالقاعدتان $٣$ و $٧$ ، والمساحة $\frac{٣ + ٧}{٢} \times ٤ = ٢٠$ وحدة مربعة. ٢) $\int_٠^٤ (س + ٣) \, د س = [\frac{س^٢}{٢} + ٣ س]_٠^٤ = ٨ + ١٢ = ٢٠$ ٣) المساحة تساوي ناتج التكامل ( $٢٠$ )، ونستنتج أن التكامل المحدود يعطي المساحة هنا.

نظرية (١):

المساحة بين المنحنى ومحور السينات

مثال ١ :

ثلاث مسائل: مستقيم وقطع مكافئ وجيب

مثال

المثال 1: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = س + ١$ ومحور السينات والمستقيمين $س = ٢$ ، $س = ٣$ نجد نقاط تقاطع منحنى الاقتران $ق(س)$ مع محور السينات وذلك بوضع $س + ١ = ٠$ ومنها $س = -١ \notin [٢ ، ٣]$ $س + ١ > ٠ ، \forall س \in [٢ ، ٣]$ $م = \int_٢^٣ |ق(س)| د س = \int_٢^٣ |س + ١| د س$ $[\frac{س^٢}{٢} + س]_٢^٣$ $\frac{٣^٢ - ٢^٢}{٢} + ١(٣ - ٢) = \frac{٧}{٢}$ $\frac{٣^٢ - ٢^٢}{٢} + ١(٣ - ٢) = \frac{٥}{٢} + ١ = \frac{٧}{٢}$

مثال ٢ :

مثال

المثال 2: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = س^٢ - ٩$ ومحور السينات نجد نقاط التقاطع بين منحنى الاقتران ومحور السينات بوضع $س^٢ - ٩ = ٠$ ومنها $س = \pm ٣$ $م = \int_{-٣}^٣ |ق(س)| د س = \int_{-٣}^٣ |(س^٢ - ٩)| د س$ $|[\frac{س^٣}{٣} - ٩ س]_{-٣}^٣|$ $[\frac{س^٣}{٣} - ٩ س]_{-٣}^٣ = (٩ - ٢٧) - (-٩ + ٢٧) = -٣٦$ $|\frac{-١٠٨}{٣}| = \frac{١٠٨}{٣} = ٣٦$

مثال ٣ :

مثال

المثال 3: جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = جا س$ ومحور السينات في $[٠ ، \pi]$ نجد نقاط التقاطع بين منحنى الاقتران $ق(س)$ ومحور السينات يوضع $جا س = ٠$ ومنها $س = ٠$ ، $\pi$ $م = \int_٠^\pi |ق(س)| د س = \int_٠^\pi |جا س| د س$ $[-جتا س]_٠^\pi = (-جتا \pi) - (-جتا ٠) = ١ + ١$ $[-جتا س]_٠^\pi = ١ + ١ = ٢$

نظرية (٢):

المساحة بين منحنيين

مثال ٤ :

منحنيان يتقاطعان: قطعان ثم قيمة مطلقة

مثال

المثال 4: جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين $ق(س) = ٨ - س^٢$ ، $هـ(س) = س^٢$ نجد نقاط التقاطع بين منحنيي الاقترانين $ق(س)$ ، $هـ(س)$ بوضع $ق(س) = هـ(س)$ فتكون $ق(س) - هـ(س) = ٠$ أي أن $٨ - ٢ س^٢ = ٠$ ومنها $س = \pm ٢$ $م = \int_{-٢}^٢ |ق(س) - هـ(س)| د س$ $م = \int_{-٢}^٢ |(٨ - ٢ س^٢)| د س$ $[٨ س - \frac{٢}{٣} س^٣]_{-٢}^٢ = (١٦ - \frac{١٦}{٣}) - (-١٦ + \frac{١٦}{٣}) = \frac{٦٤}{٣}$ $|[٨ س - \frac{٢}{٣} س^٣]_{-٢}^٢| = \frac{٦٤}{٣}$

مثال ٥ :

مثال

المثال 5: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين $ق(س) = |س|$ ، $هـ(س) = ٢ - س^٢$ نجد نقاط التقاطع بين منحنيي الاقترانين $ق(س)$ ، $هـ(س)$ بوضع $ق(س) = هـ(س)$ عندما $س \le ٠$ ، $٢ - س^٢ = -س$ ومنها $س = -١$ (لماذا؟) عندما $س > ٠$ ، $٢ - س^٢ = س$ ومنها $س = ١$ (لماذا؟) $م = \int_{-١}^١ |هـ(س) - ق(س)| د س = م_١ + م_٢$ $م_١ = \int_{-١}^٠ |(٢ - س^٢) - (-س)| د س$ $[٢ س - \frac{١}{٣} س^٣ + \frac{١}{٢} س^٢]_{-١}^٠ = ٠ - (-٢ + \frac{١}{٣} + \frac{١}{٢}) = \frac{٧}{٦}$ $\int_{-١}^٠ |(٢ - س^٢ + س)| د س = |[٢ س - \frac{١}{٣} س^٣ + \frac{١}{٢} س^٢]_{-١}^٠| = \frac{٧}{٦}$ $م_٢ = \int_٠^١ |(٢ - س^٢ - س)| د س$ $[٢ س - \frac{١}{٣} س^٣ - \frac{١}{٢} س^٢]_٠^١ = ٢ - \frac{١}{٣} - \frac{١}{٢} = \frac{٧}{٦}$ $|[٢ س - \frac{١}{٣} س^٣ - \frac{١}{٢} س^٢]_٠^١| = \frac{٧}{٦}$ $م = م_١ + م_٢ = \frac{٧}{٣}$

مثال ٦ :

لوغاريتم، ثلاث نقاط تقاطع، وثابت مجهول

مثال

المثال 6: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = \ln س$ والمستقيمين: $ص = ١$ ، $ص = ٢$ ومحور الصادات. نجد نقط تقاطع منحنى الاقتران مع المستقيمين $ص = ١$ ، $ص = ٢$ ، كما يأتي: نضع $\ln س = ١$ ومنها $س = هـ$ نضع $\ln س = ٢$ ومنها $س = هـ^٢$ $م_١ = \int_٠^هـ (٢ - ١) د س = هـ$ $م_٢ = \int_هـ^{هـ^٢} (٢ - \ln س) د س$ $٢(هـ^٢ - هـ) - \int_هـ^{هـ^٢} \ln س د س$ $٢ هـ^٢ - ٢ هـ - [س \ln س - س]_هـ^{هـ^٢}$ (لماذا؟) $[س \ln س - س]_هـ^{هـ^٢} = (٢ هـ^٢ - هـ^٢) - (هـ - هـ) = هـ^٢$ $٢ هـ^٢ - ٢ هـ - (٢ هـ^٢ - هـ^٢)$ $هـ^٢ - ٢ هـ$

مثال ٧ :

مثال

المثال 7: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي $ق(س) = س^٣$ ، $هـ(س) = س$ نجد نقاط التقاطع بين منحنيي الاقترانين $ق(س)$ ، $هـ(س)$ بوضع $ق(س) = هـ(س)$ إذن $س^٣ - س = ٠$ ومنها $س = ٠$ ، $س = ١$ $س = -١$ $م = \int_{-١}^١ |ق(س) - هـ(س)| د س = م_١ + م_٢$ $م = \int_{-١}^٠ (س^٣ - س) د س + \int_٠^١ (س - س^٣) د س$ $[\frac{س^٤}{٤} - \frac{س^٢}{٢}]_{-١}^٠ = ٠ - (\frac{١}{٤} - \frac{١}{٢}) = \frac{١}{٤}$ $[\frac{س^٢}{٢} - \frac{س^٤}{٤}]_٠^١ = \frac{١}{٢} - \frac{١}{٤} = \frac{١}{٤}$

مثال ٨ :

مثال

المثال 8: إذا علمت أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين $ق(س) = س^٢$ ، $هـ(س) = جـ$ $جـ \in \mathbb{R}$ هي ٣٦ وحدة مربعة ، فجد قيمة / قيم جـ . نجد نقاط التقاطع بين منحنيي الاقترانين $ق(س)$ ، $هـ(س)$ ، بوضع $ق(س) = هـ(س)$ ومنها $س^٢ - جـ = ٠$ أي أن $س = \pm \sqrt{جـ}$ $٣٦ = \int_{-\sqrt{جـ}}^{\sqrt{جـ}} (هـ(س) - ق(س)) د س$ $٣٦ = \int_{-\sqrt{جـ}}^{\sqrt{جـ}} (جـ - س^٢) د س$ $٣٦ = جـ (\sqrt{جـ} + \sqrt{جـ}) - \frac{(\sqrt{جـ})^٣ - (-\sqrt{جـ})^٣}{٣}$ $جـ (\sqrt{جـ} + \sqrt{جـ}) - \frac{(\sqrt{جـ})^٣ + (\sqrt{جـ})^٣}{٣} = ٢ جـ \sqrt{جـ} - \frac{٢ جـ \sqrt{جـ}}{٣} = \frac{٤ جـ \sqrt{جـ}}{٣}$ ينتج $٣٦ = \frac{٤ جـ \sqrt{جـ}}{٣}$ ومنها $جـ = ٩$ $\frac{٤ جـ \sqrt{جـ}}{٣} = ٣٦ \Rightarrow جـ \sqrt{جـ} = ٢٧$ $جـ \sqrt{جـ} = ٢٧ \Rightarrow جـ = ٩$

تمارين ٥ - ٥ أ

جرّب بنفسك: مساحات

احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = جتا س$ ومحوري السينات والصادات والواقعة في الربع الأول.

جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = ٣ - س^٢$ والمستقيم المار بالنقطتين أ(٠ ، ٠) ، ب(١ ، ٢) ومحور الصادات والواقعة في الربع الأول.

احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = (س^٢ - ٩)(س^٢ - ١)$ ومحور السينات الواقعة في الربع الثالث.

جد المساحة المحصورة بين منحنيي الاقترانين $ق(س) = هـ^س$ ، $ك(س) = \ln س$ والمستقيمين $ص = ١$ ، $س = -١$ ومحور السينات.

جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين $ق(س) = \sqrt{٢ - س}$ حيث $س \le ٢$ ، $ك(س) = -س$ ومحور السينات.

احسب المساحة المحصورة بين منحنيات الاقترانات $ق(س) = س^٢$ ، $هـ(س) = ٤$ ، $ك(س) = ٢ س$

ثانياً: الحجوم الدورانية

من مبنى كروي إلى قاعدة الحجم

تمثل الصورة المقابلة أحد المباني الغريبة في العالم، والذي يأخذ شكلاً كروياً.