شرح خصائص التكامل المحدود – الرياضيات (الفرع العلمي) توجيهي

آخر تحديث: ٣ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (١٨)

شرح الموضوع

٤ - ٥ خصائص التكامل المحدود

خصائص التكامل المحدود

خمس خصائص تسهّل حساب التكامل المحدود

خصائص التكامل المحدود ⁦(Properties of Definite Integral)⁩ للتكامل المحدود خصائص مهمة تسهل حساب قيمته، ومنها:

\int_أ^ب ق(س) \, د س = -\int_ب^أ ق(س) \, د س

\int_أ^أ ق(س) \, د س = ٠

$\int_أ^ب ك \, د س = ك (ب - أ)$ حيث $ك \in \mathbb{R}$

$\int_أ^ب ك ق(س) \, د س = ك \int_أ^ب ق(س) \, د س$ حيث $ك \in \mathbb{R}$

\int_أ^ب (ق(س) \pm هـ(س)) \, د س = \int_أ^ب ق(س) \, د س \pm \int_أ^ب هـ(س) \, د س

مثال ١ :

طبّق الخصائص قبل أن تُكامل

مثال

المثال ١: جد قيمة ما يأتي: $\begin{aligned}\int_{-٤}^٦ د س \\ \int_{\frac{\pi}{٣}}^{\frac{\pi}{٣}} -٣ جا س \, د س \\ \int_١^٢ \frac{٣ س^٤ - ٧ س^٢ + ٥}{س^٢} \, د س\end{aligned}$ الجزء الأول: $\int_{-٤}^٦ د س = (٦ - (-٤)) = ١٠$ الجزء الثاني: $\int_{\frac{\pi}{٣}}^{\frac{\pi}{٣}} -٣ جا س \, د س = ٠$ الجزء الثالث: $\int_١^٢ \frac{٣ س^٤ - ٧ س^٢ + ٥}{س^٢} \, د س = \int_١^٢ (\frac{٣ س^٤}{س^٢} - \frac{٧ س^٢}{س^٢} + \frac{٥}{س^٢}) \, د س$ $\int_١^٢ (٣ س^٢ - ٧ + ٥ س^{-٢}) \, د س = [س^٣ - ٧ س - \frac{٥}{س}]_١^٢$ $= (٨ - ١٤ - \frac{٥}{٢}) - (١ - ٧ - ٥)$ $= -\frac{١٧}{٢} + ١١ = \frac{٥}{٢}$

$\int_{\frac{\pi}{٣}}^{\frac{\pi}{٣}} -٣ جا س \, د س = ٠$ (لماذا؟)

مثال ٢ :

الحدّان يحتويان الثابت أ: الخاصية تحلّها

حين يتساوى الحدّان أو ينعكسان

ماذا يحدث حين يتساوى حدّا التكامل أو يُعكسان؟

مثال ٣ :

نظرية:

اقتران غير سالب يعطي تكاملاً غير سالب

مثال ٤ :

مثال

المثال ٤: بدون حساب التكامل بيّن أن: $\int_٠^٥ \frac{٣ س}{س^٢ + ٤} \, د س \ge ٠$ نبحث في إشارة المقدار $\frac{٣ س}{س^٢ + ٤}$ في الفترة $[٠ ، ٥]$ ، وبما أن $٣ س \ge ٠ ، \forall س \in [٠ ، ٥]$ وكذلك $س^٢ + ٤ \ge ٤ > ٠ ، \forall س \in [٠ ، ٥]$ إذن $\frac{٣ س}{س^٢ + ٤} \ge ٠ ، \forall س \in [٠ ، ٥]$ ومنها $\int_٠^٥ \frac{٣ س}{س^٢ + ٤} \, د س \ge ٠$

خاصية المقارنة:

اقتران أصغر يعطي تكاملاً أصغر

مثال ٥ :

مثال

المثال ٥: بدون إجراء عملية التكامل بيّن أن: $\int_١^٢ (س^٢ - ١) \, د س \le \int_١^٢ (٢ س + ٢) \, د س$ نفرض أن $ق(س) = (س^٢ - ١) - (٢ س + ٢) = س^٢ - ٢ س - ٣$ نبحث في إشارة الاقتران $ق(س) = س^٢ - ٢ س - ٣$ $س^٢ - ٢ س - ٣ = (س - ٣)(س + ١)$ فنلاحظ أن $ق(س) \le ٠$ في الفترة $[١ ، ٢]$ ، وبالتالي يكون $(س^٢ - ١) \le (٢ س + ٢)$ في الفترة $[١ ، ٢]$ أي أن $\int_١^٢ (س^٢ - ١) \, د س \le \int_١^٢ (٢ س + ٢) \, د س$

أي أن $س^٢ - ٢ س - ٣ \leq ٠$

مثال ٦ :

مثال

المثال ٦: إذا كان $ق(س) \le ٤$ لجميع قيم $س \in [١ ، ٣]$ ، فما أكبر قيمة للمقدار $\int_١^٣ ٥ ق(س) \, د س$ ؟ بما أن $ق(س) \le ٤$ لجميع قيم $س \in [١ ، ٣]$ فإن $\int_١^٣ ق(س) \, د س \le \int_١^٣ ٤ \, د س$ $\int_١^٣ ٤ \, د س = ٤ (٣ - ١) = ٨$ أي أن: $\int_١^٣ ق(س) \, د س \le ٨$ إذن المقدار $\int_١^٣ ٥ ق(س) \, د س = ٥ \int_١^٣ ق(س) \, د س \le ٥ \times ٨$ أكبر قيمة للمقدار $\int_١^٣ ٥ ق(س) \, د س$ هي ٤٠.

خاصية الإضافة:

قسّم الفترة عند أي نقطة واجمع

مثال ٧ :

كيف نستفيد من الإضافة حين يظهر أحد الحدّين معكوساً؟

مثال ٨ :

مثال

المثال ٨: إذا كان $\int_٢^٦ ق(س) \, د س = ٣$ ، وكان $\int_٨^٦ ق(س) \, د س = -٥$ ، فجد $\int_٢^٨ ٢ ق(س) \, د س$ $\int_٢^٨ ق(س) \, د س = \int_٢^٦ ق(س) \, د س + \int_٦^٨ ق(س) \, د س$ $= \int_٢^٦ ق(س) \, د س - \int_٨^٦ ق(س) \, د س$ $= ٣ - (-٥) = ٨$ أي أن $\int_٢^٨ ٢ ق(س) \, د س = ٢ \int_٢^٨ ق(س) \, د س = ١٦$

الاقتران المكامل لاقتران متشعّب

وماذا لو تغيّرت قاعدة الاقتران في منتصف الفترة؟

مثال ٩ :

مثال

المثال ٩: إذا كان $ق(س) = \begin{cases} ٣ س^٢ & \text{، } -١ \le س \le ٢ \\ ٤ س + ٢ & \text{، } ٢ < س \le ٤ \end{cases}$ ، فجد الاقتران المكامل $ت(س)$ الشق الأول: عندما $-١ \le س \le ٢$ فإن: $ت(س) = \int_{-١}^س ق(ص) \, د ص = \int_{-١}^س ٣ ص^٢ \, د ص$ $= س^٣ + ١$ $\int_{-١}^٢ ٣ ص^٢ \, د ص = [ص^٣]_{-١}^٢$ $= ٨ - (-١) = ٩$ الشق الثاني: عندما $٢ < س \le ٤$ فإن: $ت(س) = \int_{-١}^س ق(ص) \, د ص = \int_{-١}^٢ ق(ص) \, د ص + \int_٢^س ق(ص) \, د ص$ $= ٩ + \int_٢^س (٤ ص + ٢) \, د ص$ $= ٢ س^٢ + ٢ س - ٣$ $\int_٢^س (٤ ص + ٢) \, د ص = [٢ ص^٢ + ٢ ص]_٢^س = ٢ س^٢ + ٢ س - ١٢$ $٩ + (٢ س^٢ + ٢ س - ١٢) = ٢ س^٢ + ٢ س - ٣$ الناتج: $ت(س) = \begin{cases} س^٣ + ١ & \text{، } -١ \le س \le ٢ \\ ٢ س^٢ + ٢ س - ٣ & \text{، } ٢ < س \le ٤ \end{cases}$ لاحظ أن $ت(س)$ متصل ، $ت(-١) = ٠$ $ت(٢) = ٢^٣ + ١ = ٩$ $٢ (٢)^٢ + ٢ (٢) - ٣ = ٩$

لماذا $= ٩ + \int_٢^س (٤ ص + ٢) \, د ص = ٢ س^٢ + ٢ س - ٣$ ؟

مثال

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} ٣ س^٢ - ٧ & \text{، } س > ٢ \\ ٢ س & \text{، } س \le ٢ \end{cases}$ فإن $\int_{-٢}^٣ ق(س) \, د س = \int_{-٢}^٢ ٢ س \, د س$ إجابة مقترحة (ليست من الكتاب): $\int_{-٢}^٣ ق(س) \, د س = \int_{-٢}^٢ ٢ س \, د س + \int_٢^٣ (٣ س^٢ - ٧) \, د س$ $= [س^٢]_{-٢}^٢ + [س^٣ - ٧ س]_٢^٣$ $= (٤ - ٤) + ((٢٧ - ٢١) - (٨ - ١٤)) = ٠ + ١٢$ الناتج $١٢$ (الفراغ الأول $٣ س^٢ - ٧$ والثاني $١٢$ )

مثال ١٠ :

أضف وأطرح هـ^س ليظهر المشتق

مثال

المثال ١٠: جد $\int_١^٢ \frac{١}{١ + هـ^س} \, د س$ بإضافة وطرح $هـ^س$ للبسط يصبح $\int_١^٢ \frac{١ + هـ^س - هـ^س}{١ + هـ^س} \, د س$ $= \int_١^٢ (١ - \frac{هـ^س}{١ + هـ^س}) \, د س$ $= (س - \ln |١ + هـ^س|)_١^٢$ $= (٢ - \ln (١ + هـ^٢)) - (١ - \ln (١ + هـ))$ $= ١ + \ln (\frac{١ + هـ}{١ + هـ^٢})$

لماذا يساوي الناتج $١ + \ln (\frac{١ + هـ}{١ + هـ^٢})$ ؟

مثال ١١ :

تكامل بالأجزاء حين يحتوي التكامل مشتقاً

مثال

المثال ١١: إذا كان $\int_٠^٢ س ق(س) \, د س = ٨$ ، $ق(٢) = ٥$ ، فجد $\int_٠^٢ س^٢ ق'(س) \, د س$ الفرض: نفرض أن: $م = س^٢$ $\implies د م = ٢ س \, د س$ $د ع = ق'(س) \, د س$ $\implies ع = ق(س)$ التكامل بالأجزاء: ومنها ينتج أن: $\int_٠^٢ س^٢ ق'(س) \, د س = [س^٢ ق(س)]_٠^٢ - \int_٠^٢ ٢ س ق(س) \, د س$ $\int_٠^٢ س^٢ ق'(س) \, د س = [س^٢ ق(س)]_٠^٢ - ٢ \int_٠^٢ س ق(س) \, د س$ $= (٤ \times ق(٢) - ٠ \times ق(٠)) - ٢ \times ٨$ $٤ \times ق(٢) = ٤ \times ٥ = ٢٠$ $٢ \times ٨ = ١٦$ $= ٢٠ - ١٦ = ٤$

أوجد الثابت أ بالكسور الجزئية

وكيف نجد الثابت أ حين يكون ناتج التكامل معلوماً؟

مثال ١٢ :

مثال

المثال ١٢: إذا كان $\int_٢^أ \frac{٤}{س^٢ - ١} \, د س = ٢ \ln \frac{٣}{٢}$ فما قيمة الثابت أ حيث $أ > ١$ ؟ نجد $\int_٢^أ \frac{٤}{س^٢ - ١} \, د س$ بطريقة الكسور الجزئية نفرض أن $\frac{٤}{س^٢ - ١} = \frac{ل}{س - ١} + \frac{ب}{س + ١}$ فتكون $ل = ٢$ ، $ب = -٢$ (تحقق من ذلك) $٢ (س + ١) - ٢ (س - ١) = ٤$ $_٢^أ (٤)/(س^٢ - ١) د س = [٢ |س - ١| - ٢ |س + ١|]_٢^أ$ $= [٢ |(س - ١)/(س + ١)|]_٢^أ$ $= ٢ |(أ - ١)/(أ + ١)| - ٢ |(١ - ٢)/(١ + ٢)|$ ويكون $٢ |(أ - ١)/(أ + ١)| - ٢ |(١ - ٢)/(١ + ٢)|$ $= ٢ (٣)/(٢)$ وبحل المعادلة $(أ - ١)/(أ + ١) - (١)/(٣) = (٣)/(٢)$ وينتج أن $٣ \times (أ - ١)/(أ + ١) = (٣)/(٢)$ ومنها $أ = ٣$

ومنها $أ = ٣$ (لماذا؟)

تمارين ٥ - ٤

تدرّب بنفسك

جد قيمة التكاملات الآتية:

أ. $_٠^π جا^٢ س د س$

ب. $_٠^٢ (١ + هـ^س)^٢ د س$

جـ. $-\sqrt(٣)\sqrt(٣) (س + ١)(س^٢ + ٤) د س$

د. $-٢^١ (س^٣ - ٢٧)/(س^٢ + ٣ س + ٩) د س$

أثبت بدون حساب قيمة التكامل فيما يأتي:

أ. $_١^٢ (س^٢ + ٢) د س \geq _١^٢ (٢ س - ١) د س$

ب. $_٢^٣ (س^٢ + ٢) د س \geq ٠$

عبّر عن كل مما يأتي بتكامل واحد أ. $_٥^٧ س^٣ د س + _١^٥ س^٣ د س$

ب. $_١^٢ \sqrt(س + ٢) د س - _٤^٢ \sqrt(س + ٢) د س$

جـ. $_١^٣ س^٢ د س - _٣^١ ٤ د س + _٣^٥ (س^٢ + ٤) د س$

د. $_٢^٥ (س - ١) د س + _٧^٥ (١ - س^٢)/(س + ١) د س$

إذا كان $_١^٥ ق(س) د س = ٧$ أ. جد $_١^٥ (٢ ق(س) - ٣ س + ١) د س$

ب. احسب قيمة أ علماً بأن $_١^٥ ٢ أ ق(س) د س = ١$

إذا كان $_١^٥ ق(س) د س = ٨$ فما قيمة؟

أ. $_١^٥ (٣ ق(س) - ٢) د س$

ب. $_٣^٧ (٤ ق(س - ٢) - ٢ س) د س$

إذا كان $_٢^٧ ٣ ق(س) د س = ٩$ ، وكان $_٢^٤ ٥ ق(س) د س = ١٠$ ، فما قيمة $_٤^٧ ٢ ق(س) د س$ ؟

إذا كان $ق(س) = cases أ س + ١ & ، ١ ≤ س ≤ ٢ \ ٣ س^٢ & ، ٢ < س ≤ ٥ cases$ ، فجد قيمة الثابت أ علماً بأن $_١^٣ ق(س) د س = ١٨$

إذا كان $_١^ب (٤ س - -١^٢ ٣ ع^٢ د ع) د س = ١٢$ ، فما قيمة / قيم الثابت ب؟

إذا كان $ق(س) = |٢ - س|$ ، $س [٠ ، ٥]$ ، أوجد الاقتران المكامل $ت(س)$ .

تعريفات أساسية

خصائص التكامل المحدود: إذا كان $ق(س)$ ، $هـ(س)$ اقترانين قابلين للتكامل على $[أ ، ب]$ فإن:
$\int_أ^ب ق(س) \, د س = -\int_ب^أ ق(س) \, د س$
$\int_أ^أ ق(س) \, د س = ٠$
$\int_أ^ب ك \, د س = ك (ب - أ)$ حيث $ك \in \mathbb{R}$
خاصية المقارنة: إذا كان $ق(س)$ ، $هـ(س)$ اقترانين قابلين للتكامل في الفترة $[أ ، ب]$ ، وكان $ق(س) \le هـ(س)$ لكل $س \in [أ ، ب]$ ، فإن $\int_أ^ب ق(س) \, د س \le \int_أ^ب هـ(س) \, د س$
خاصية الإضافة: إذا كان $ق(س)$ اقتراناً قابلاً للتكامل في الفترة ف $\subseteq \mathbb{R}$ وكان أ ، ب ، جـ أي ثلاثة أعداد تنتمي للفترة ف فإن: $\int_أ^ب ق(س) \, د س = \int_أ^جـ ق(س) \, د س + \int_جـ^ب ق(س) \, د س$

معاينة موضوع «خصائص التكامل المحدود» من وحدة «التكامل المحدود وتطبيقاته» في مادة الرياضيات (الفرع العلمي). أقسام الشرح: ١٨، التعريفات: ٣، الأسئلة المحلولة: ٥.

المصدر: وزارة التربية والتعليم، خصائص التكامل المحدود (ص ١٨٥–١٩٢)

شرح الموضوع

خصائص التكامل المحدود

خمس خصائص تسهّل حساب التكامل المحدود

مثال ١ :

طبّق الخصائص قبل أن تُكامل

مثال ٢ :

الحدّان يحتويان الثابت أ: الخاصية تحلّها

حين يتساوى الحدّان أو ينعكسان

مثال ٣ :

نظرية:

اقتران غير سالب يعطي تكاملاً غير سالب

مثال ٤ :

خاصية المقارنة:

اقتران أصغر يعطي تكاملاً أصغر

مثال ٥ :

أي أن س^٢ - ٢ س - ٣ ≤ ٠

مثال ٦ :

خاصية الإضافة:

قسّم الفترة عند أي نقطة واجمع

مثال ٧ :

مثال ٨ :

الاقتران المكامل لاقتران متشعّب

مثال ٩ :

مثال ١٠ :

أضف وأطرح هـ^س ليظهر المشتق

مثال ١١ :

تكامل بالأجزاء حين يحتوي التكامل مشتقاً

أوجد الثابت أ بالكسور الجزئية

مثال ١٢ :

تمارين ٥ - ٤

تدرّب بنفسك

تعريفات أساسية

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة

أي أن $س^٢ - ٢ س - ٣ \leq ٠$