قواعد الاشتقاق

من متوسط التغير إلى معدل التغير: المشتقة

تعلمت في الدرس السابق مفهوم متوسط التغير للاقتران $ص = ق(س)$ عندما تتغير $س$ من $س_{١}$ إلى $س_{١} + Δس$ وكان $\frac{Δص}{Δس} = \frac{ق(س_{١} + Δس) - ق(س_{١})}{Δس}$، $Δس \ne ٠$.

• ونقول إن $ق(س)$ قابل للاشتقاق عند $س_{١}$
• أي كلما اقتربت $س$ من $س_{١}$ فإن متوسط تغير الاقتران (ميل القاطع) يؤول إلى معدل تغير الاقتران $ق(س)$ (ميل المماس) عند $س = س_{١}$

تعريف المشتقة من اليمين ومن اليسار

ويمكن كتابتها على النحو $ق'(س_{١}) =$ نها $\frac{ق(س) - ق(س_{١})}{س - س_{١}}$ عندما س تقترب من $س_{١}$

• وعندما $ق'(س_{١})^{+} = ق'(س_{١})^{-} = ل$، فإن $ق(س)$ قابل للاشتقاق عند $س_{١}$، وتكون $ق'(س_{١}) = ل$

• إذا كان الاقتران ق(س) معرفاً على [أ، ب] فإن ق(س) غير قابل للاشتقاق عند أطراف الفترة [أ، ب].

يطبع الكتاب الرمز معكوساً هنا؛ المقصود أن مجال المشتقة جزء من مجال الاقتران نفسه.

مشتقة الثابت ومشتقة س

مشتقة المضاعف والمجموع والفرق

وماذا لو انقطع الاقتران عند نقطة؟

لماذا $ق'(٢)$ غير موجودة؟

لماذا $ق'(١)$ غير موجودة؟

لماذا $ق'(٠)$ و $ق'(٢)$ غير موجودتين؟

الاتصال أولًا: مشتقة الاقتران المتشعب

مشتقة حاصل ضرب اقترانين

وكيف نشتق إن لم تُعطَ قاعدة الاقتران كاملة؟

مشتقة القوة: نقص الأس واحدًا

شرط قابلية الاشتقاق: الاتصال وتساوي المشتقتين

نعلم أن $ق(س)$ متصل عند $س = ١$ (لماذا؟)

مشتقة القسمة والأس السالب

وكيف نجد قيمة س من قيمة المشتقة؟

المشتقات العليا: نشتق مرة بعد مرة

إذا كان $ق(س) = س^{٤} + ٣س^{٢} - ٢$، جد $ق'(س)$.

ونعبر عن المشتقة من الرتبة ن بإحدى الصور الآتية: $ص^{(ن)}$ أو $\frac{د^{ن}ص}{دس^{ن}}$ أو $ق^{(ن)}(س)$، حيث $ن \in ص^{+}$، $ن > ٢$

هل يمكنك تكرار عملية الاشتقاق بالنسبة لـ س؟ ولماذا؟

هل يوجد اختلاف بين كل من $\frac{د^٢ص}{دس^٢}$ و $(\frac{دص}{دس})^٢$؟

تمارين: طبّق القواعد كلها

جد $ق'(س)$ في كل مما يأتي عند قيم $س$ إزاء كل منها:

أ. $ق(س) = س^{٥} - س^{٢} + جـ$، حيث $جـ$ ثابت، عندما $س = -١$ ب. $ق(س) = (س^{٣} - ١)(س + ١٢)$، عندما $س = ٣$ ج. $ق(س) = \frac{س^{٢}}{٥ - س^{٢}}$، عندما $س = -٢$

بالاعتماد على المعطيات في الجدول المجاور، جد ما يأتي:

أ. $(ق + هـ^{٢})'(١)$ ب. $(س^{٢} ق - \frac{٣}{هـ})'(١)$

إذا كان $ق(س) = \frac{س}{س^{٢} + ١}$ وكان الشكل المجاور يمثل منحنى الاقتران $هـ(س)$، فجد $(\frac{ق}{هـ})'(١)$

إذا كانت $ص = \frac{س}{س + ١}$، $س \ne -١$، أثبت أن: $٢ص ص' + س ص'' = ٠$ ب. إذا كانت $ص = أس^{٥} + \frac{٥}{س^{٤}}$، $س \ne ٠$، أثبت أن: $ص'' = \frac{٢٠ص}{س^{٢}}$

إذا كان $ق(س) = (١ - س)(١ + س)(١ + س^{٢})(١ + س^{٤})(١ + س^{٨})$، جد $ق'(١)$.

إذا كان $ق(س) = س^{٢}$ ، $هـ(س) = [٢س]$ أولاً: جد: أ. $ق'(٠)$

• ب. $هـ'(٠)$

• جـ. $(ق \times هـ)(س)$

• د. $(ق \times هـ)'(٠)$ ثانياً: هل هذا يتناقض مع قاعدة مشتقة حاصل ضرب اقترانين؟ فسر إجابتك.

إذا كان $ق(س) = س^{٤} + أس^{٣} - ٣$، جد قيمة أ، حيث $ق^{(٣)}(٢) = ١٨$

إذا كان $ق(س) = س^{ن}$، $ن \in ص$، وكان $ق^{(٣)}(س) = أس$، جد قيمة أ