التجزئة ومجموع ريمان

التجزئة: كيف نقسم فترة إلى فترات جزئية؟

للحفاظ على جودة البيئة، وتجميل شوارع مدينة غزة، قررت البلدية تزيين شارع صلاح الدين بزراعة أشجار النخيل على امتداد الشارع بطول ١ كم، فكم شجرة نخيل يلزم لزراعة شجرة كل ٥٠ م؟

• طول الفترة الكلية = مجموع أطوال جميع الفترات الجزئية

• شروط أي تجزئة $\sigma_ن$ لفترة ما:
• ١ الفترة مغلقة.
• ٢ تبدأ التجزئة من بداية الفترة، وتنتهي بنهايتها.
• ٣ عناصر التجزئة مرتبة ترتيباً تصاعدياً.

والآن: كيف نكتب تجزئة بأنفسنا لفترة معطاة؟

إذا كانت $\sigma_٤ = \{٢ ، ٤ ، ٦ ، ٨ ، ١٠\}$ تجزئة رباعية للفترة $[٢ ، ١٠]$ ١ الفترات الجزئية الناتجة عن $\sigma_٤$ هي $[٢ ، ٤]$ ، $[٤ ، ٦]$ ، $[٦ ، ٨]$ ، $[٨ ، ١٠]$

2. ما العلاقة بين أطوال الفترات الجزئية الناتجة عن $\sigma_٤$؟

3. كم عدد الفترات الجزئية؟

4. كم عدد عناصر التجزئة؟ ماذا تلاحظ؟

التجزئة المنتظمة: كل الفترات الجزئية متساوية الطول

• قيمة أي عنصر في التجزئة المنتظمة $\sigma_ن$:
• العنصر الأول $س_٠ = أ$
• العنصر الثاني $س_١ = أ + \frac{ب - أ}{ن}$
• والعنصر الثالث $س_٢ = س_١ + \frac{ب - أ}{ن} = أ + ٢ (\frac{ب - أ}{ن})$ (لماذا؟)
• العنصر الرائي $س_{ر-١} = أ + (ر - ١) \frac{ب - أ}{ن}$

• حيث $ر = ٠ ، ١ ، ٢ ، \dots ، ن$
• وتكون الفترة الجزئية الرائية هي $[س_{ر-١} ، س_ر]$

الشكل المجاور يبين التجزئة $\sigma_ن$ للفترة $[٢ ، ٨]$، لاحظ أن التجزئة $\sigma_ن$ منتظمة وطول الفترة الجزئية فيها = $\frac{٦}{ن}$

1. ما طول الفترة الكلية؟

2. كم عدد عناصر التجزئة $\sigma_ن$؟

3. $س_٧ =$ ؟

4. ما العنصر السابع؟

5. ما الفترة الجزئية السابعة؟

مجموع ريمان: نجمع قيم الاقتران في أطوال الفترات

• إذا كانت التجزئة منتظمة فإن:

• لاحظ من الشكل المجاور أن مجموع مساحات المستطيلات تساوي $م(\sigma_٣ ، ق) = ٦$

1. اكتب التجزئة: حدّد طول الفترة الجزئية، ثم أضفه إلى أول الفترة خطوة بعد خطوة.
2. اختر النقاط: خذ من كل فترة جزئية النقطة التي يطلبها السؤال: بدايتها أو نهايتها.
3. احسب قيم الاقتران: عوّض كل نقطة مختارة في قاعدة الاقتران.
4. اضرب ثم اجمع: اضرب كل قيمة في طول فترتها الجزئية، ثم اجمع النواتج.

وماذا لو كان في الاقتران معامل مجهول، كيف نجده من قيمة المجموع؟

تمارين التجزئة ومجموع ريمان

إذا كانت $\sigma_٦$ تجزئة منتظمة للفترة $[-١ ، ٢]$، فجد:

أ العنصر الثالث في التجزئة ب الفترة الجزئية الرابعة

إذا كان العنصر الخامس في التجزئة المنتظمة $\sigma_{١٠}$ للفترة $[جـ ، ٧]$ يساوي ٤، جد قيمة $جـ$.

إذا كان $ق(س) = ٦ - س^٢$ معرفاً في الفترة $[١ ، ٥]$، وكانت $\sigma_٤$ تجزئة منتظمة للفترة نفسها، فجد $م(\sigma_٤ ، ق)$ معتبراً $س_ر^* = س_ر$

إذا كان $ق(س) = \frac{أ س}{س + ٢}$ معرفاً على $[-١ ، ٨]$، وكانت $\sigma_٥ = \{-١ ، ٠ ، ٢ ، ٣ ، ٦ ، ٨\}$ تجزئة للفترة $[-١ ، ٨]$، فاحسب قيمة $أ$ علماً بأن $م(\sigma_٥ ، ق) = ٥٫٦$ ، اعتبر $س_ر^* = س_{ر-١}$

إذا كانت $\sigma_٨$ تجزئة منتظمة للفترة $[أ ، ب]$ والعنصر الثالث فيها يساوي ٢ ، وكانت $\sigma_{١٢}$ تجزئة منتظمة للفترة $[أ ، ب]$ والعنصر الخامس فيها يساوي ٤ ، جد قيم $أ$ ، $ب$.

إذا كان $ق(س) = جا س$ ، $س \in [٠ ، \frac{\pi}{٢}]$ ، وكانت $\sigma_٤ = \{٠ ، \frac{\pi}{٦} ، \frac{\pi}{٤} ، \frac{\pi}{٣} ، \frac{\pi}{٢}\}$ أوجد $م(\sigma_٤ ، ق)$ معتبراً $س_ر^* = س_{ر-١}$

إذا كان $ق(س)$ اقتراناً معرفاً ومحدوداً في الفترة $[٠ ، ١]$ وكانت $\sigma_ن$ تجزئة نونية منتظمة للفترة نفسها، وكانت $م(\sigma_ن ، ق) = ل$ ، عندما $س_ر^* = س_ر$ و $م(\sigma_ن ، ق) = ك$ ، عندما $س_ر^* = س_{ر-١}$ أثبت أن: $ل - ك = \frac{١}{ن} (ق(١) - ق(٠))$