شرح تطبيقات القيم القصوى – رياضيات توجيهي جيل 2010

آخر تحديث: ٢ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (١٥)

شرح الموضوع

الدرس 5: تطبيقات القِيَم القصوى

حلُّ مسائل حياتية باستعمال القِيَم القصوى.

المصطلحات

مسألة اليوم

حوض الأسماك الزجاجي بأبعاد x وx وy — حوض الأسماك الزجاجي بأبعاد ⁦x⁩ و⁦x⁩ و⁦y⁩

تطبيقات القِيَم القصوى

مسألة اليوم: كيف نصنع حوضًا بأقل زجاج؟

يُعَدُّ تحديد القيمة الصغرى المحلية والقيمة العظمى المحلية أحد أكثر موضوعات التفاضل الفرعية استعمالًا في التطبيقات الحياتية والعلمية، مثل: تحديد أكبر مساحة مُمكِنة، وأكبر ربح مُمكِن، وأقل تكلفة مُمكِنة.

أربع خطوات تحلّ أي مسألة قيم قصوى

يمكن اتِّباع الخطوات الآتية لحَلِّ العديد من مسائل تطبيقات القِيَم القصوى:
أفهم المسألة: أقرأ المسألة جيدًا، ثم أُحدِّد المعلومات اللازمة لحَلِّها.
أرسم مُخطَّطًا: أُدوِّن عليه المعلومات المُهِمَّة، وأختار مُتغيِّرًا للكمّيّة المطلوبة، ثم أكتب اقترانًا قيمته القصوى هي المطلوبة.
أجد القِيَم الحرجة للاقتران: أجد القِيَم التي تكون عندها مشتقّة الاقتران صفرًا.
أجد القيمة القصوى المطلوبة: أجد القيمة الصغرى أو القيمة العظمى المطلوبة.

فلنجرّب الخطوات على أول مسألة: أكبر حقل بسياج معلوم.

إيجاد أكبر مساحة مُمكِنة

حقل المزارع: أكبر مساحة بسياج معلوم

من التطبيقات الحياتية المُهمَّة على القِيَم القصوى: إيجاد أكبر مساحة يُمكِن إحاطتها بسياج طوله معلوم.

مثال 1 : من الحياة

مثال

المثال 1: من الحياة: اشترى مُزارِعٌ سياجًا طوله $800\ \text{m}$ لتسييج حقل مستطيل الشكل من مزرعته، وكان هذا الحقل مُقابِلًا لطريق زراعي يوجد بمحاذاته سياج من قبلُ. أجد أكبر مساحة مُمكِنة للحقل يُمكِن للمُزارِع أن يحيطها بالسياج. الخطوة 1: أرسم مُخطَّطًا. أفترض أنَّ $y$ هو طول الحقل، وأنَّ $x$ هو عرضه كما في المُخطَّط المجاور. الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أُريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة مُتغيِّر واحد. أجد اقتران مساحة الحقل: مساحة المستطيل $A = xy$ أكتب $y$ بدلالة $x$ باستعمال المحيط: محيط الحقل $P = 2x + y$ بتعويض $P = 800$ $800 = 2x + y$ بكتابة المعادلة بدلالة $y$ $y = 800 - 2x$ أُعوِّض $y$ في اقتران مساحة الحقل: اقتران مساحة الحقل $A = xy$ بتعويض $y = 800 - 2x$ $A(x) = x(800 - 2x)$ بالتبسيط $= 800x - 2x^2$ إذن، الاقتران الذي يُمثِّل مساحة الحقل هو: $A(x) = 800x - 2x^2$ . الخطوة 3: أجد القِيَم الحرجة للاقتران، وأحدّد نوعها. المشتقّة الأولى لاقتران مساحة الحقل $A'(x) = 800 - 4x$ بمساواة المشتقّة الأولى للاقتران بالصفر $800 - 4x = 0$ بحلّ المعادلة ل $x$ $x = 200$ إذن، توجد قيمة حرجة واحدة، هي: $x = 200$ . أستعمل اختبار المشتقّة الثانية لتحديد نوع القيمة الحرجة عندما $x = 200$ : المشتقّة الثانية لاقتران مساحة الحقل $A''(x) = -4$ بما أنَّ المشتقّة الثانية للاقتران سالبة لقِيَم $x$ جميعها، فإنَّه توجد قيمة عظمى محلية عندما $x = 200$ هذا يعني أنَّ مساحة الحقل تكون أكبر ما يُمكِن إذا كان عرضه $200\ \text{m}$ . إذن، أكبر مساحة مُمكِنة للحقل يُمكِن للمُزارِع أنْ يحيطها بالسياج هي: $A(200) = 800(200) - 2(200)^2 = 80000 \text{ m}^2$

طريق

يريد نجّار بناء سقف خشبي لحظيرة حيوانات على شكل مستطيل محيطه $54\ \text{m}$ .

أجد أكبر مساحة مُمكِنة لسطح الحظيرة.

إيجاد أقل كمّية مُمكِنة

علبة الكرتون: أقل مادة لحجم معلوم

من التطبيقات الاقتصادية المهمة على القِيَم القصوى، إيجاد أقل كمِّية مُمكِنة من المواد اللازمة لصنع الأشياء.

مثال 2

علبة الكرتون: القاعدة x والارتفاع h — علبة الكرتون: القاعدة ⁦x⁩ والارتفاع ⁦h⁩

مثال

المثال 2: أراد مصنع إنتاج عُلَبٍ من الكرتون على شكل متوازي مستطيلات مغلق، بحيث يكون حجم كلٍّ منها $1000 \text{ cm}^3$ ، وقاعدته مربعة الشكل. أجد أبعاد العُلْبة الواحدة التي تجعل كمِّية الكرتون المُستعمَلة لصنعها أقل ما يُمكِن. الخطوة 1: أرسم مُخطَّطًا. أفتَرض أنَّ $x$ هو طول قاعدة العلبة، وأنَّ $h$ هو ارتفاعها كما في المُخطَّط المجاور. الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أُريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة مُتغيِّر واحد. أجد اقتران المساحة الكلية لسطح العُلْبة: اقتران المساحة الكلية لسطح العُلْبة $S = 4xh + 2x^2$ أكتب $h$ بدلالة $x$ باستعمال حجم متوازي المستطيلات المعطى: حجم العُلْبة $V = x^2 h$ بتعويض $V = 1000$ $1000 = x^2 h$ بكتابة المعادلة بدلالة $h$ $h = \frac{1000}{x^2}$ أُعوِّض $h$ في اقتران المساحة الكلية لسطح العُلْبة: اقتران المساحة الكلية لسطح العُلْبة $S = 4xh + 2x^2$ بتعويض $h = \frac{1000}{x^2}$ $S(x) = 4x\left(\frac{1000}{x^2}\right) + 2x^2$ بالتبسيط $= \frac{4000}{x} + 2x^2$ إذن، الاقتران الذي يُمثِّل المساحة الكلية لسطح العُلْبة هو: $S(x) = \frac{4000}{x} + 2x^2$ . الخطوة 3: أجد القِيَم الحرجة للاقتران، وأحدّد نوعها. المشتقّة الأولى لاقتران مساحة السطح $S'(x) = -\frac{4000}{x^2} + 4x$ بمساواة المشتقّة الأولى بالصفر $-\frac{4000}{x^2} + 4x = 0$ بضرب طرفي المعادلة في $x^2$ $4x^3 = 4000$ بقسمة طرفي المعادلة على 4 $x^3 = 1000$ بأخذ الجذر التكعيبي للطرفين $x = 10$ إذن، توجد قيمة حرجة واحدة، هي: $x = 10$ . أستعمل اختبار المشتقّة الثانية لتحديد نوع القيمة الحرجة عندما $x = 10$ : المشتقّة الثانية لاقتران مساحة السطح $S''(x) = \frac{8000}{x^3} + 4$ بتعويض $x = 10$ $S''(10) = \frac{8000}{(10)^3} + 4 = 12 > 0$ أُلاحِظ وجود قيمة صغرى محلية عندما $x = 10$ هذا يعني أنَّ كمِّية الكرتون المُستعمَلة تكون أقل ما يُمكِن إذا كان طول القاعدة $10\ \text{cm}$ . إذن، أبعاد العُلْبة الواحدة هي: $l = x = 10\ \text{cm}$ $w = x = 10\ \text{cm}$ $h = \frac{1000}{x^2} = 10\ \text{cm}$

أرادت إحدى الشركات أنْ تصنع خزّانات معدنية على شكل متوازي مستطيلات مغلق، بحيث يكون حجم كلٍّ منها $2 \text{ m}^3$ ، وقاعدته مربعة الشكل.

أجد أبعاد الخزّان الواحد التي تجعل كمِّية المعدن المُستعمَلة لصنعه أقل ما يُمكِن.

إيجاد أكبر حجم مُمكِن

الخزّان: أكبر حجم من صفيحة معلومة

يُعَدُّ إيجاد أكبر حجم مُمكِن للخزّانات أحد التطبيقات الحياتية المُهمَّة على القِيَم القصوى
فهو يساعد على تحديد الأبعاد والتصاميم التي تنتج أكبر حجم ممكن باستعمال الكمية نفسها من مواد التصنيع.

مثال 3

الخزّان: القاعدة x والارتفاع h — الخزّان: القاعدة ⁦x⁩ والارتفاع ⁦h⁩

مثال

المثال 3: لدى حدّاد صفيحةٌ معدنية مساحتها $36 \text{ m}^2$ . أراد أنْ يصنع منها خزّان ماء على شكل متوازي مستطيلات مغلق، على أن تكون قاعدة الخزّان مربعة الشكل. أجد أبعاد الخزّان التي تجعل حجمه أكبر ما يُمكِن. الخطوة 1: أرسم مُخطَّطًا. أفترض أنَّ $x$ هو طول قاعدة الخزّان، وأنَّ $h$ هو ارتفاعه كما في المُخطَّط المجاور. الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أُريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة مُتغيِّر واحد. أجد اقتران حجم الخزّان: صيغة حجم متوازي المستطيلات $V = l \times w \times h$ بتعويض $l = x, w = x$ $V = x \times x \times h = x^2 h$ أكتب $h$ بدلالة $x$ باستعمال المساحة الكلية لسطح الخزّان المعطاة في السؤال: المساحة الكلية لسطح الخزّان $S = 4xh + 2x^2$ بتعويض $S = 36$ $36 = 4xh + 2x^2$ بكتابة المعادلة بدلالة $h$ $h = \frac{36 - 2x^2}{4x}$ بالتبسيط $= \frac{18 - x^2}{2x}$ أُعوِّض $h$ في اقتران حجم الخزّان: اقتران حجم الخزّان $V = x^2 h$ بتعويض $h = \frac{18 - x^2}{2x}$ $V(x) = x^2\left(\frac{18 - x^2}{2x}\right)$ بالتبسيط $= 9x - \frac{1}{2}x^3$ إذن، الاقتران الذي يُمثِّل حجم الخزّان هو: $V(x) = 9x - \frac{1}{2}x^3$ . الخطوة 3: أجد القِيَم الحرجة للاقتران، وأحدّد نوعها. بإيجاد مشتقّة اقتران الحجم $V'(x) = 9 - \frac{3}{2}x^2$ بمساواة المشتقّة بالصفر $9 - \frac{3}{2}x^2 = 0$ بحَلِّ المعادلة ل $x^2$ $x^2 = 6$ بأخذ الجذر التربيعي للطرفين $x = \pm\sqrt{6}$ بما أنَّ الطول لا يُمكِن أنْ يكون سالبًا، فإنَّه توجد قيمة حرجة واحدة، هي: $x = \sqrt{6}$ . أستعمل اختبار المشتقّة الثانية لتحديد نوع القيمة الحرجة عندما $x = \sqrt{6}$ : بإيجاد المشتقّة الثانية لاقتران الحجم $V''(x) = -3x$ بتعويض $x = \sqrt{6}$ $V''(\sqrt{6}) = -3(\sqrt{6}) < 0$ أُلاحِظ وجود قيمة عظمى محلية عندما $x = \sqrt{6}$ هذا يعني أنَّ حجم الخزّان يكون أكبر ما يُمكِن إذا كان طول القاعدة $\sqrt{6}\ \text{m}$ . إذن، أبعاد الخزّان هي: $l = x = \sqrt{6}\ \text{m}$ $w = x = \sqrt{6}\ \text{m}$ $h = \frac{18 - x^2}{2x}$ $h = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}\ \text{m}$

لدى حدّاد صفيحةٌ معدنية مساحتها $54 \text{ m}^2$ .

أراد أنْ يصنع منها خزّان ماء على شكل متوازي مستطيلات، على أن يكون الخزّان مفتوحًا من الأعلى، وقاعدته مربعة الشكل.

أجد أبعاد الخزّان التي تجعل حجمه أكبر ما يُمكِن.

تطبيقات اقتصادية

التكلفة والإيراد والربح: كيف نربطها بالمشتقة؟

من التطبيقات الاقتصادية المُهمَّة على القِيَم القصوى: إيجاد أكبر ربح لمُنتَج مُعيَّن، أو إيجاد أعلى إيراد من بيعه، أو إيجاد أقل تكلفة لصنعه.

بناءً على ما سبق، فإنَّ ربح بيع $x$ قطعة من مُنتَج مُعيَّن يعطى بالاقتران الآتي:

P(x) = R(x) - C(x)

مثال 4 : من الحياة

حاسوب جديد: كم جهازًا نبيع لأكبر ربح؟

مثال

المثال 4: من الحياة: وجد خبير تسويق أنَّه لبيع $x$ حاسوبًا من نوع جديد، فإنَّ سعر الحاسوب الواحد (بالدينار) يجب أنْ يكون: $\mathrm{s}(x) = 1000 - x$ ، حيث $x$ عدد الأجهزة المَبيعة. إذا كانت تكلفة إنتاج $x$ من هذه الأجهزة تعطى بالاقتران: $C(x) = 3000 + 20x$ ، فأجد عدد الأجهزة التي يجب إنتاجها وبيعها لتحقيق أكبر ربح مُمكِن. الخطوة 1: أجد اقتران الإيراد. اقتران الإيراد $R(x) = (\text{عدد الأجهزة المَبيعة})(\text{سعر الحاسوب الواحد})$ بالتعويض $= x(1000 - x)$ باستعمال خاصية التوزيع $= 1000x - x^2$ إذن، اقتران الإيراد هو: $R(x) = 1000x - x^2$ . الخطوة 2: أجد اقتران الربح. اقتران الربح $P(x) = R(x) - C(x)$ بالتعويض $= (1000x - x^2) - (3000 + 20x)$ بالتبسيط $= -x^2 + 980x - 3000$ إذن، اقتران الربح هو: $P(x) = -x^2 + 980x - 3000$ . الخطوة 3: أجد الربح الحدِّي، ثم أجد القيمة الحرجة، وأحدّد نوعها. الربح الحدِّي $P'(x) = -2x + 980$ بمساواة المشتقّة بالصفر $-2x + 980 = 0$ بحَلِّ المعادلة ل $x$ $x = 490$ إذن، توجد قيمة حرجة واحدة، هي: $x = 490$ . أستعمل اختبار المشتقّة الثانية لتحديد نوع القيمة الحرجة عندما $x = 490$ : بإيجاد المشتقّة الثانية لاقتران الربح $P''(x) = -2$ بما أنَّ المشتقّة الثانية للاقتران سالبة لقِيَم $x$ الموجبة جميعها، فإنَّه توجد قيمة عظمى محلية عندما $x = 490$ . إذن، تُحقِّق الشركة أكبر ربح مُمكِن عند إنتاجها 490 جهاز حاسوب وبيعها.

وجدت خبيرة تسويق أنَّه لبيع $x$ ثلّاجة من نوع جديد، فإنَّ سعر الثلّاجة الواحدة (بالدينار) يجب أنْ يكون: $\mathrm{s}(x) = 1750 - 2x$ ، حيث $x$ عدد الثلّاجات المَبيعة.

إذا كانت تكلفة إنتاج $x$ من هذه الثلّاجات تعطى بالاقتران: $C(x) = 2250 + 18x$ ، فأجد عدد الثلّاجات التي يجب إنتاجها وبيعها لتحقيق أكبر ربح مُمكِن.

أتدرّب وأحلّ المسائل

تدرّب: من حديقة المنزل إلى القطاع الدائري

مخطط الحديقة المنزلية بجانب الجدار الحجري

يُمثّل الشكل الآتي مخطّطًا لحديقة منزلية يراد بناؤها مقابل جدار حجري، إذا كان محيط الحديقة دون الجدار يساوي $300\ \text{m}$ ؛ فأُجيب عمّا يأتي:

1) أجد المقدار الجبري الذي يُمثّل طول الضلع $AB$ بدلالة $x$ .

2) أجد اقتران مساحة الحديقة بدلالة $x$ .

3) أجد أبعاد الحديقة بحيث تكون مِساحة الحديقة أكبر ما يُمكِن.

4) نافذة على شكل مستطيل يعلوه نصف دائرة، محيطها $8\ \text{m}$ كما في الشكل المجاور.

أجد قيمتَي $x$ و $y$ اللازمتين لمرور أكبر كمية من الضوء خلال النافذة.

5) خطَّط مُزارِع لتسييج حظيرة مستطيلة الشكل قرب نهر كما في الشكل التالي، وحدَّد مساحة الحظيرة بـ $245000\ \text{m}^2$ ؛ لتوفير كمِّية عشب كافية لأغنامه.

أجد أبعاد الحظيرة التي تجعل طول السياج أقل ما يُمكِن، علمًا بأنَّ الجزء المقابل للنهر لا يحتاج إلى تسييج.

يُمثِّل الاقتران: $\mathrm{s}(x) = 150 - 0.035x$ سعر القطعة الواحدة من مُنتَج بالدينار لإحدى الشركات، حيث $x$ عدد القطع المُنتَجة.

ويُمثِّل الاقتران: $C(x) = 16000 + 10x + 0.09x^2$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة بالدينار، أجد كلًّا ممّا يأتي:

6) اقتران الإيراد.

7) عدد القطع $x$ الذي يتساوى عنده الإيراد الحدِّي مع التكلفة الحدِّية.

8) اقتران الربح.

9) عدد القطع اللازم بيعها من المُنتَج لتحقيق أكبر ربح مُمكِن، ثم أجد أكبر ربح مُمكِن.

10) سعر الوحدة الواحدة من المُنتَج الذي يُحقِّق أكبر ربح مُمكِن.

القطاع الدائري: نصف القطر r والزاوية θ — القطاع الدائري: نصف القطر ⁦r⁩ والزاوية ⁦θ⁩

يُبيّن الشكل المجاور قطاعًا دائريًّا محيطه $200\ \text{cm}$ ، أجد كلًّا ممّا يأتي:

11) الاقتران الذي يُمثّل مِساحة القطاع الدائري بدلالة $r$ .

12) أكبر مِساحة ممكنة للقطاع الدائري.

مهارات التفكير العليا

فكّر أعمق: ورقة الإعلان وقالب الكعك

13) تبرير: يُراد طباعة إعلان على ورقة مستطيلة محيطها $160\ \text{cm}$ ، بحيث يُترَك هامش في أعلى وأسفل الورقة عرضه $5\ \text{cm}$ ، وهامش في جانبي الورقة عرضه $3\ \text{cm}$ .

أجد أبعاد الورقة التي تجعل مساحة الإعلان أكبر ما يمكن، مُبرِّرًا إجابتي.

14) تحدٍّ: قالَب لصنع الكعك على شكل منشور ثلاثي مفتوح من الأعلى، قاعدته على شكل مثلث قائم الزاوية كما في الشكل المجاور.

إذا كان حجم القالَب $864 \text{ cm}^3$ ، فأجد أبعاده التي تجعل المواد المُستعمَلة لصنعه أقل ما يُمكِن.

تعريفات أساسية

اقتران التكلفة: الاقتران الذي يُمثِّل تكلفة إنتاج $x$ قطعة من مُنتَج مُعيَّن
التكلفة الحدّية: مُعدَّل تغيُّر $C$ بالنسبة إلى $x$ اسم التكلفة الحدِّية ⁦(marginal cost)⁩؛ ما يعني أنَّ اقتران التكلفة الحدِّية هو مشتقّة اقتران التكلفة أيْ $C'(x)$
اقتران الإيراد: الاقتران الذي يُمثِّل إيراد بيع $x$ وحدة من مُنتَج مُعيَّن
الإيراد الحدّي: مشتقّة اقتران الإيراد $R'(x)$ فتُسمّى الإيراد الحدِّي ⁦(marginal revenue)⁩، وهو يُمثِّل مُعدَّل تغيُّر الإيراد بالنسبة إلى عدد القطع المَبيعة
اقتران الربح: ربح بيع $x$ قطعة من مُنتَج مُعيَّن يعطى بالاقتران الآتي: $P(x) = R(x) - C(x)$ حيث $P(x)$ هو اقتران الربح
الربح الحدّي: الربح الحدِّي ⁦(marginal profit)⁩ هو مشتقّة اقتران الربح أيْ $P'(x)$

معاينة موضوع «تطبيقات القيم القصوى» من وحدة «النهايات والمشتقات» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ١٥، التعريفات: ٦، الأسئلة المحلولة: ٥.

المصدر: المركز الوطني لتطوير المناهج، تطبيقات القيم القصوى (ص ١٣٧–١٤٧)

شرح الموضوع

الدرس 5: تطبيقات القِيَم القصوى

المصطلحات

مسألة اليوم

تطبيقات القِيَم القصوى

مسألة اليوم: كيف نصنع حوضًا بأقل زجاج؟

أربع خطوات تحلّ أي مسألة قيم قصوى

إيجاد أكبر مساحة مُمكِنة

حقل المزارع: أكبر مساحة بسياج معلوم

مثال 1 : من الحياة

طريق

إيجاد أقل كمّية مُمكِنة

علبة الكرتون: أقل مادة لحجم معلوم

مثال 2

إيجاد أكبر حجم مُمكِن

الخزّان: أكبر حجم من صفيحة معلومة

مثال 3

تطبيقات اقتصادية

التكلفة والإيراد والربح: كيف نربطها بالمشتقة؟

مثال 4 : من الحياة

حاسوب جديد: كم جهازًا نبيع لأكبر ربح؟

أتدرّب وأحلّ المسائل

تدرّب: من حديقة المنزل إلى القطاع الدائري

مهارات التفكير العليا

فكّر أعمق: ورقة الإعلان وقالب الكعك

تعريفات أساسية

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة