النهايات والاتصال

• إيجاد نهاية اقتران عند نقطة بيانياً وعددياً وجبرياً.
• البحث في اتصال اقتران عند نقطة.

النهاية: إلى أي قيمة يقترب الاقتران؟

وسأتعلّم في هذا الدرس تحليل سلوك اقتران معطى، وتحديد إذا كانت قيم الاقتران (المخرجات) تقترب أكثر فأكثر من عدد ما.

• النهاية ⁦(limit)⁩: العدد الذي تقترب منه قيم الاقتران عندما تقترب قيم $x$ (المدخلات) أكثر فأكثر من عدد محدّد مثل ($c$).
• مثال: نختار قيمًا للمتغيّر $x$ تقترب أكثر فأكثر من العدد 2.

• من جهة اليسار: تقترب قيم $f(x)$ من العدد (3).
• ومن جهة اليمين: تقترب قيم الاقتران من العدد (3) أيضًا.
• النتيجة: نهاية الاقتران هي 3 عندما تقترب $x$ من العدد 2 من جهتي اليمين واليسار، وتُكتب على الصورة:

• جهة اليسار

• جهة اليمين

• نهاية الاقتران $f(x)$ عندما تقترب $x$ من $c$ هي $L$.

متى توجد النهاية؟ اليمين واليسار يتفقان

• عند كتابة $\lim_{x \to c} f(x)$، فهذا يُشير إلى أنّ $x$ تقترب من $c$ من جهتي اليمين واليسار،
• وإذا أردت تحديد الجهة التي تقترب منها قيم $x$ من القيمة $c$، فإنّني أستعمل التعبيرين الآتيين:

• وتكون نهاية الاقتران $f(x)$ عندما تقترب $x$ من $c$ موجودة؛ إذا كانت النهايتان من اليمين واليسار موجودتين ومتساويتين.

نهاية موجودة ونهاية غير موجودة: مثالان

• الطريقة الثانية: عددياً. أُنشئ جدول قيم باختيار قيم $x$ القريبة من العدد (1-) من كلا الجهتين.

• ألاحظ أنّه كلما اقتربت قيم $x$ من العدد (1-) من الجهتين؛ فإنّ قيمة $f(x)$ المقابلة لها تقترب من العدد (2-)، وهذا يعني أنّ:
• ألاحظ مما سبق، أنّ قيمة النهاية متساوية في كلا الطريقتين.

حين تزداد قيم الاقتران بلا حدود

• في بعض الأحيان، تكون النهاية من اليمين أو اليسار (أو كليهما) غير موجودة عند قيمة ما؛ لأنّ الاقتران يزداد أو ينقص بصورة غير محدودة قرب تلك القيمة.
• وفي هذه الحالة، نصف سلوك الاقتران بأنّه يقترب من (المالانهاية) الموجبة ($\infty$) أو السالبة ($- \infty$).

النهايات جبرياً: قواعد جاهزة

تعلّمتُ في الأمثلة السابقة كيفية إيجاد النهايات بيانيًا وعددياً، وسأتعلم الآن طرائق جبرية لإيجاد النهايات.

• وتُعدّ الخصائص الآتية أدوات أساسية لإيجاد النهايات جبريًا:
• إذا كان $c, k$ عددين حقيقيين، و $n$ عدداً صحيحاً موجباً، وكانت النهايتان $\lim_{x \to c} f(x), \lim_{x \to c} g(x)$ موجودتين؛ فإنّ كلاً من الخصائص الآتية صحيحة:

1. $\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)$ (خاصية المجموع)

2. $\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)$ (خاصية الفرق)

3. $\lim_{x \to c} (k f(x)) = k \lim_{x \to c} f(x)$ (خاصية الضرب في ثابت)

4. $\lim_{x \to c} (f(x) \times g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) \times \lim_{x \to c} g(x)$ (خاصية الضرب)

5. $\lim_{x \to c} (\frac{f(x)}{g(x)}) = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}, \lim_{x \to c} g(x) \neq 0$ (خاصية القسمة)

6. $\lim_{x \to c} (f(x))^n = (\lim_{x \to c} f(x))^n$ (خاصية القوّة)

7. $\lim_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to c} f(x)}$ (خاصية الجذر النوني)

• شريطة أن تكون $\lim_{x \to c} f(x) > 0$ عندما يكون $n$ عدداً زوجياً.

تطبيق الخصائص على نهاية خطوة بخطوة

التعويض المباشر: متى ينفع؟

في المثال السابق، ألاحظ أنّ نهاية كلّ اقتران عندما تقترب $x$ من $c$ تساوي $f(c)$؛ لذا، أستنتج أنّه يُمكن إيجاد هذه النهايات بالتعويض المباشر، ولكن هذا لا ينطبق على الاقترانات جميعها، إلا أنّه ينطبق على اقترانات كثيرات الحدود، والاقترانات النسبية ما دامت قيمة مقام الاقتران النسبي عند $c$ لا تساوي صفراً.

حين يعطي التعويض صفراً على صفر

• فالتمثيل البياني المجاور للاقتران $f(x) = \frac{x^2 - x - 12}{x + 3}$ يُظهر أنّ النهاية موجودة عند $x = -3$ وتساوي 7-.

الاقتران المتصل: منحنى بلا قفزة ولا فجوة

• متصل عند $x = 1$ | غير متصل عند $x = 1$ | غير متصل عند $x = 1$ | غير متصل عند $x = 1$
• ألاحظ أنّ منحني الاقترانين $p(x)$ و $h(x)$ أعلاه غير متصلين عند ($x = 1$)؛
• لأنّ كلاً من الاقترانين غير معرّف عند ($x = 1$) على الرغم من أنّ نهاية الاقتران $h(x)$ موجودة عندما ($x = 1$).
• أما الاقتران $g(x)$ فإنّه غير متصل عند ($x = 1$) بسبب وجود قفزة (ما يعني أنّ النهاية غير موجودة).

ثلاثة شروط للاتصال عند نقطة

• يكون الاقتران $f(x)$ متصلاً عند النقطة $c = x$ إذا حقق الشروط الآتية جميعها:
• $f(c)$ مُعرّف عند $c$.
• $\lim_{x \to c} f(x)$ موجودة.
• $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$

تدرّب على كل أنواع النهايات

أجد كلاً من النهايات الآتية بيانيًا وعددياً:

1. $\lim_{x \to 5} \frac{1}{x - 5}$

2. $\lim_{x \to 3} (x + 7)$

3. $\lim_{x \to 0} |x|$

4. $\lim_{x \to -1} (x^2 - 5)$

5. $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$

6. $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2}$

7. $\lim_{x \to 3} f(x), f(x) = \begin{cases} -1, x \neq 3 \\ 1, x = 3 \end{cases}$

8. $\lim_{x \to -2} p(x), p(x) = \begin{cases} x + 6, x < -2 \\ -\frac{1}{2}x + 1, x > -2 \end{cases}$

أجد كلّ نهاية مما يأتي:

9. $\lim_{x \to 3} (x^2 - 4x + 7)$

10. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$

11. $\lim_{x \to 9} (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2$

12. $\lim_{x \to 2\pi} (x^3 + \pi x - 5\pi^3)$

13. $\lim_{x \to -3} \sqrt{\frac{x - 3}{2x + 4}}$

14. $\lim_{x \to 4} \sqrt[3]{x^2 + 11}$

15. $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3}$

16. $\lim_{x \to -1} \frac{2x^2 + 5x + 3}{x + 1}$

17. $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x - 2}{|x - 2|}$

18. $\lim_{x \to 3} f(x), f(x) = \begin{cases} x - 1, x < 3 \\ 3x - 7, x > 3 \end{cases}$

19. $\lim_{t \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{t}} - \frac{1}{2}}{t - 4}$

20. $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}$

إذا كان $f(x) = ax^2 + bx + c$ حيث $a \neq 0$:

$f(0) = 0$ $\lim_{x \to 1} f(x) = 5$ $\lim_{x \to -2} f(x) = 8$ فأجد قيم الثوابت $a$ و $b$ و $c$.

أُحدّد إذا كان كلّ اقتران مما يأتي متصلاً عند قيمة $x$ المعطاة، وأبرّر إجابتي:

30. $f(x) = \pi x^2 + 4.2x + 7, x = -5$

31. $g(x) = \frac{16}{x^2 + 25}, x = -5$

32. $h(x) = \begin{cases} x^2, x < 0 \\ 3, x \ge 0 \end{cases}, x = 0$

33. إذا كان $f(x) = \begin{cases} x + 3, x \neq 3 \\ 2 + \sqrt{k}, x = 3 \end{cases}$، متصلاً عند $x = 3$؛ فأجد قيمة الثابت $k$.

أجد النهايات الآتية بيانيًا وعددياً:

a) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

b) $\lim_{x \to 0} f(x), f(x) = \begin{cases} x, x \le 0 \\ 1, x > 0 \end{cases}$

لماذا مجال $f(x)$ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا 1-؟

• ألاحظ من المثال السابق، أنّ نهاية $f(x)$ عندما تقترب $x$ من العدد $c$ لا علاقة لها بقيمة $f(c)$،
• $\lim_{x \to c} f(x) = L, f(c) = L$
• $\lim_{x \to c} f(x) = L, f(c) = N$
• $\lim_{x \to c} f(x) = L, f(c)$ غير معرّفة

أجد النهايات الآتية بيانيًا:

a) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$

b) $\lim_{x \to -3} \frac{1}{(x+3)^2}$

لماذا لم نستطع وصف سلوك الاقتران باستعمال النهاية في الفرع 2 من المثال 2، كما جرى وصفه في الفرع 1؟

أستعمل خصائص النهايات لحساب النهايات:

a) $\lim_{x \to 1} (2x^3 + 3x^2 - 4)$

b) $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{1 + 3x^2}}{3x - 2}$

أجد كل نهاية بالتعويض المباشر إن أمكن، وإلا أذكر السبب:

a) $\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 4)$

b) $\lim_{x \to -1} \sqrt{1 + 4x^2}$

c) $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 5x - 6}{x^2 - 2}$

d) $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ إنّ ناتج التعويض المباشر في الفرع 3 من المثال السابق ($\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - x - 12}{x + 3}$) يُعطي الناتج $\frac{0}{0}$، وتُسمّى هذه النتيجة الصيغة غير المحددة ⁦(indeterminate form)⁩، ولكن هذا لا يعني أنّ النهاية غير موجودة، فالتمثيل البياني المجاور للاقتران $f(x) = \frac{x^2 - x - 12}{x + 3}$ يُظهر أنّ النهاية موجودة عند $x = -3$ وتساوي 7-.

a) $\lim_{x \to 0} \frac{7x - x^2}{x}$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{x + 4}}{x}$

c) $\lim_{x \to 5} \frac{|x - 5|}{x - 5}$

لماذا لم توضع إشارة المساواة في أيٍّ من المتباينتين عند إعادة تعريف الاقتران؟

أحدّد إن كان كل اقتران متصلاً عند قيمة $x$ المعطاة، وأبرّر إجابتي:

a) $f(x) = x^5 + 2x^3 - x, x = 1$

b) $g(x) = \frac{x^2 + 16}{x - 5}, x = 5$

c) $h(x) = \begin{cases} x - 1, x < 3 \\ 5 - x, x \ge 3 \end{cases}, x = 3$

d) $p(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 25}{x - 5}, x \neq 5 \\ 10, x = 5 \end{cases}$

34. تحدّ: أجد $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + |x - 1| - 1}{|x - 1|}$ بيانيًا وجبرياً.

35. تبرير: أجد قيمتي الثابتين $m$ و $b$ اللتين تجعلان $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{mx + b} - 3}{x} = 1$، وأبرّر إجابتي.

36. تبرير: أجد قيمة الثابت $a$ التي تجعل $\lim_{x \to 1} (\frac{1}{x - 1} - \frac{a}{x^2 - 1})$ موجودة، وأبرّر إجابتي.