الاقترانات الأسية

• تعرُّف الاقتران الأسي.
• تمثيل الاقترانات الأسية باستعمال جدول قيم أو التحويلات الهندسية، وتحديد خصائصها من الرسم.

الاقتران الأسي: المتغيّر في الأسّ لا في الأساس

• ومن أمثلته:
• $f(x) = 3^x$
• $f(x) = 5(\frac{1}{4})^x$
• $f(x) = (0.6)^x + 12$

• قيمة الاقتران الأسي عند أي قيمة معطاة: أستعمل تعريف الأسس وخصائصها.

أجد قيمة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة $x$ المعطاة:

a) $f(x) = 3^x, x=4$

b) $f(x) = (\frac{1}{3})^x, x=-1$

وكيف يبدو منحنى الاقتران الأسي؟ نبدأ بجدول قيم.

الجدول ثم المنحنى: ماذا يخبرنا الرسم؟

يُمكن تمثيل الاقتران الأسي الرئيس الذي في صورة: $f(x) = b^x$، حيث $b > 0$ و $b \ne 1$ بإنشاء جدول قيم، ثم تعيين الأزواج المرتبة الناتجة من الجدول في المستوى الإحداثي، ثم توصيل النقاط ببعض عن طريق منحنى متصل.

• مجال الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
• مدى الاقتران هو الفترة $(0, \infty)$.
• الاقتران له خط تقارب أفقي هو المحور $x$.
• المقطع $y$ للاقتران هو 1 عندما $x=0$.
• لا يوجد مقطع مع المحور $x$؛ لأن $2^x$ موجبة دائمًا، فإنه لا يوجد للاقتران مقطع مع المحور $x$؛ لأن $y > 0$ دائمًا.
• الاقتران متزايد؛ لأنه كلما زادت قيم $x$ زادت قيم $y$.
• الاقتران واحد لواحد.

• مجال الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية $R$.
• مدى الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة $R^+$؛ أي الفترة $(0, \infty)$.
• الاقتران متزايد إذا كان $b > 1$.
• الاقتران متناقص إذا كان $0 < b < 1$.
• للاقتران خط تقارب أفقي هو المحور $x$.
• الاقتران الأسي يقطع المحور $y$ في نقطة واحدة هي $(0, 1)$، ولا يقطع المحور $x$.
• الاقتران واحد لواحد.

وماذا يحدث للمنحنى إذا أضفنا انسحابًا أو تمددًا؟

التحويلات الهندسية: نحرّك المنحنى الرئيس

• الطريقة: أبدأ برسم منحنى الاقتران الرئيس $f(x) = b^x$، ثم أُجري التحويلات على المنحنى؛ لينتج التمثيل البياني للاقتران $g(x)$.
• من الرسم يُمكن تحديد خط التقارب الأفقي لأي اقتران أسي في صورة $g(x) = ab^{x-h} + k$، ومجاله ومداه، وما إذا كان متزايدًا أم متناقصًا.

أمثل كلًا من الاقترانات الآتية، ثم أحدد مجاله ومداه وخط التقارب الأفقي، وأحدد إذا كان متزايدًا أم متناقصًا:

a) $g(x) = 4(2^x) + 12$

b) $h(x) = 6(\frac{1}{3})^{2-x}$

تطبيق: كم حشرة بعد أسابيع؟

بكتيريا: يمثل الاقتران: $f(x) = 500(2)^x$ عدد الخلايا البكتيرية في عينة مخبرية، حيث $x$ الزمن بالساعات:

⁦a)⁩ أجد عدد الخلايا البكتيرية في العينة بعد 5 ساعات.

⁦b)⁩ بعد كم ساعة يصبح عدد الخلايا البكتيرية في العينة 4000 خلية؟

تدريب: نحسب ونمثّل ونطبّق

أجد قيمة كل اقتران مما يأتي عند قيمة $x$ المعطاة:

1. $f(x) = (11)^x, x = 3$

2. $f(x) = -5(2)^x, x = 1$

3. $f(x) = 3(\frac{1}{7})^x, x = 2$

4. $f(x) = -(5)^x + 4, x = 4$

5. $f(x) = 3^x + 1, x = 5$

6. $f(x) = (\frac{1}{9})^x - 3, x = 2$

أمثّل كل اقتران مما يأتي بيانيًا، ثم أحدّد مجاله ومداه ومقطعيه من المحورين الإحداثيين وخطوط تقاربه، وأحدّد إذا كان متزايدًا أم متناقصًا:

7. $f(x) = 4^x$

8. $f(x) = 9^{-x}$

9. $f(x) = (\frac{1}{7})^x$

10. $f(x) = (6)^x$

أمثّل كلًا من الاقترانات الآتية، ثم أحدّد مجاله ومداه وخط التقارب الأفقي، وأحدّد إذا كان متزايدًا أم متناقصًا:

11. $f(x) = 5^{x-1} + 2$

12. $f(x) = (\frac{1}{4})^{x+2} - 5$

13. $f(x) = 3(\frac{1}{7})^{5-x} - 6$

14. $f(x) = 3(7)^{x-2} + 1$

بكتيريا: يمثّل الاقتران $f(x) = 7000(1.2)^x$ عدد الخلايا البكتيرية في تجربة مخبرية، حيث $x$ الزمن بالساعات:

15. أجد عدد الخلايا البكتيرية في بداية التجربة.

16. أجد عدد الخلايا البكتيرية بعد 12 ساعة.

17. بعد كم ساعةً يصبح عدد الخلايا البكتيرية 10080 خلية؟

ضوء: يمثّل الاقتران $f(x) = 100(0.97)^x$ النسبة المئوية للضوء المارّ خلال $x$ من الألواح الزجاجية المتوازية:

18. أجد النسبة المئوية للضوء المارّ خلال لوح زجاجي واحد.

19. أجد النسبة المئوية للضوء المارّ خلال 3 ألواح زجاجية.

سرطان البنكرياس: يُمثّل الاقتران: $P(t) = 100(0.3)^t$ النسبة المئوية للمتعافين من مرضى سرطان البنكرياس، ممّن هم في المرحلة المتقدّمة، حيث تعافوا بعد $t$ سنة من التشخيص الأوّلي للمرض:

20. أجد النسبة المئوية للمتعافين بعد سنة من التشخيص الأوّلي للمرض.

21. بعد كم سنةً تصبح النسبة المئوية للمتعافين $9\%$؟

تفكير عالٍ: نبرّر ونكتشف ونثبت