تجاوز إلى المحتوى الرئيسي
تابعنا على تيليجرامانضم

العمليات على المصفوفات

المصفوفات · رياضيات الأعمال

آخر تحديث:

محتويات الموضوع (١٢)

شرح الموضوع

يُمكن جمع مصفوفتين أو طرحهما إذا وفقط إذا كانت لهما الرتبة نفسها، وذلك بجمع العناصر المتناظرة في المصفوفتين في حالة الجمع، وطرح هذه العناصر في حالة…

العمليات على المصفوفات

  • جمع المصفوفات، وطرحها، وضربها في عدد ثابت.
  • تعرُّف خصائص العمليات على المصفوفات

جمع المصفوفات وطرحها: متى يُمكن؟

جمع المصفوفات وطرحها

مفهوم أساسي: جمع المصفوفات وطرحها

  • الجمع: إذا كان A,BA, B مصفوفتين من الرتبة m×nm \times n، فإنَّ A+BA + B مصفوفة من الرتبة m×nm \times n، وكل عنصر فيها هو مجموع العنصرين اللذين يُناظرانه.
  • الطرح: A−BA - B مصفوفة من الرتبة m×nm \times n، وكل عنصر فيها يساوي ناتج طرح العنصرين المُناظرين له في المصفوفة AA والمصفوفة BB.
  • بالرموز: إذا كان:
A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn],B=[b11b12⋯b1nb21b22⋯b2n⋮⋮⋱⋮bm1bm2⋯bmn]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix}

مثال 1

أستعمل المصفوفات الواردة في المثال 1 لإيجاد ناتج كلٍّ ممَّا يأتي (إن أمكن):

C−AC - A
D+BD + B
C+DC + D

أجد ناتج كُلٍّ ممّا يأتي (إن أمكن):

[7−346100]+[−48504−5]\begin{bmatrix} 7 & -3 \\ 4 & 6 \\ 10 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 8 \\ 5 & 0 \\ 4 & -5 \end{bmatrix}

وماذا لو أردنا تغيير كل العناصر بنسبة واحدة؟

ضرب المصفوفة في عدد ثابت

الضرب في ثابت: كل عنصر يُضرب

مفهوم أساسي: ضرب المصفوفة في عدد ثابت

  • بالكلمات: إذا كان AA مصفوفة رتبتها m×nm \times n، وكان kk عددًا ثابتًا، فإنَّ kAkA مصفوفة رتبتها m×nm \times n.
  • كل عنصر في kAkA يساوي العنصر المناظر له في المصفوفة AA مضروبًا في kk.
kA=[ka11ka12⋯ka1nka21ka22⋯ka2n⋮⋮⋱⋮kam1kam2⋯kamn]kA = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix}

مثال 2

D=[04−37−218106]D = \begin{bmatrix} 0 & 4 & -3 \\ 7 & -2 & 1 \\ 8 & 10 & 6 \end{bmatrix} فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

a) 3Da)\ 3D
b) −2Db)\ -2D
c) 1.5Dc)\ 1.5D
3[9−2416−3]3 \begin{bmatrix} 9 & -2 \\ 4 & 1 \\ 6 & -3 \end{bmatrix}
23[15−2195]\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 15 & -21 \\ 9 & 5 \end{bmatrix}
−12[412−3296−3]-\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & 12 & -32 \\ 9 & 6 & -3 \end{bmatrix}

فماذا يحدث عندما نجمع ونضرب معًا في مسألة واحدة؟

خصائص العمليات على المصفوفات

خصائص العمليات: التبديل والتجميع والتوزيع

إنَّ أغلب خصائص العمليات على الأعداد الحقيقية تكون أيضًا صحيحة على المصفوفات.

مفهوم أساسي

  • إذا كان A,B,CA, B, C ثلاث مصفوفات لها الرتبة نفسها، وكان k,hk, h عددين حقيقيين، فإنَّ:
  • الخاصية التبديلية لجمع المصفوفات: A+B=B+AA + B = B + A
  • الخاصية التجميعية لجمع المصفوفات: (A+B)+C=A+(B+C)(A + B) + C = A + (B + C)
  • خاصية توزيع الضرب في ثابت: k(A+B)=kA+kBk(A + B) = kA + kB
  • يُمكن إجراء عمليات مُتعدِّدة الخطوات على المصفوفات، ويكون ترتيب هذه العمليات مُشابهًا لترتيب العمليات على الأعداد الحقيقية.

مثال 3

E=[5−39]E = \begin{bmatrix} 5 \\ -3 \\ 9 \end{bmatrix} F=[6812]F = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \\ 12 \end{bmatrix} G=[307]G = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 7 \end{bmatrix} H=[6−49]H = \begin{bmatrix} 6 & -4 & 9 \end{bmatrix} فأجد كُلًّا ممَّا يأتي (إن أمكن):

a) 4E−3Fa)\ 4E - 3F
b) 2G+6Fb)\ 2G + 6F
c) 5(G+H)c)\ 5(G + H)
2[1−529]+3[423−5]2 \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 9 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}
−4([016−274635]−[96105−418−17])-4 \left( \begin{bmatrix} 0 & 1 & 6 \\ -2 & 7 & 4 \\ 6 & 3 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 & 6 & 10 \\ 5 & -4 & 1 \\ 8 & -1 & 7 \end{bmatrix} \right)

إذا كان:

A=[4−2−310]A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 10 \end{bmatrix} B=[4−1−5328]B = \begin{bmatrix} 4 & -1 & -5 \\ 3 & 2 & 8 \end{bmatrix} C=[320−9]C = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -9 \end{bmatrix} فأجد كُلًّا ممّا يأتي (إن أمكن):

4A+3B4A + 3B
2C−3A2C - 3A
B+1.5BB + 1.5B
3B+2C3B + 2C
2A−C2A - C
4A+3C4A + 3C

وأين نستعمل هذه العمليات في الحياة؟

مسائل حياتية: المبيعات والإنتاج

  • يُمكن استعمال العمليات على المصفوفات لحلِّ مسائل حياتية.

المبيعات، الأرباح (عنوانا العمودين في المصفوفتين)

زراعة: يملك كلٌّ من راشد وحمد مزرعة في الأغوار، ومزرعة أُخرى في المفرق.

إذا مثَّلت المصفوفة AA مُعدَّل الإنتاج اليومي (بالكيلوغرام) لمزرعتيهما في الأغوار من البندورة والباذنجان والفلفل، ومثَّلت المصفوفة BB مُعدَّل الإنتاج اليومي (بالكيلوغرام) لمزرعتيهما في المفرق من الأصناف نفسها، فأجد المصفوفة CC التي تُمثِّل مُعدَّل الإنتاج الأسبوعي (بالكيلوغرام) لمزرعتي راشد وحمد في الموقعين معًا.

بندورة، باذنجان، فلفل (عناوين الأعمدة في المصفوفتين) A=[200500100260430245]راشدحمدA = \begin{bmatrix} 200 & 500 & 100 \\ 260 & 430 & 245 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{راشد} \\ \text{حمد} \end{matrix} B=[130100300240300175]راشدحمدB = \begin{bmatrix} 130 & 100 & 300 \\ 240 & 300 & 175 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{راشد} \\ \text{حمد} \end{matrix}

رياضة: لدى مَحَلّ تجهيزات رياضية فرع في مدينة الكرك، وفرع آخر في مدينة الطفيلة.

إذا مثّلت المصفوفة AA عدد البدلات الرياضية التي باعها الفرعان من جميع المقاسات (صغيرة، متوسّطة، كبيرة) في شهر نيسان عام 2024 م، ومثّلت المصفوفة BB عدد البدلات التي باعها الفرعان من المقاسات الثلاثة في شهر نيسان عام 2023 م، فأجد المصفوفة التي تُمثّل ما باعه كلّ من الفرعين في الشهرين معًا.

A=[201510123017]الكركالطفيلةA = \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 12 & 30 & 17 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{الكرك} \\ \text{الطفيلة} \end{matrix} B=[184223202521]الكركالطفيلةB = \begin{bmatrix} 18 & 42 & 23 \\ 20 & 25 & 21 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{الكرك} \\ \text{الطفيلة} \end{matrix} صغير، متوسِّط، كبير (عناوين الأعمدة في المصفوفتين)

مدارس: يُبيّن الجدول المجاور محتويات مختبري الحاسوب في إحدى المدارس عام 2024 م.

تُخطّط إدارة المدرسة لزيادة هذه المحتويات بما نسبته 40%.

المختبر ⁦A⁩: مقاعد 30، طاولات 20، أجهزة حاسوب 15 المختبر ⁦B⁩: مقاعد 40، طاولات 25، أجهزة حاسوب 20 أكتب مصفوفة تُمثّل ما يجب شراؤه للمختبرين، ومصفوفة أخرى تُمثّل محتويات المختبرين بعد عملية الشراء.

أجد قيمة كلّ من xx، وyy، وzz التي تُحقّق المعادلة الآتية:

2[x36y]=3[x6z−2]−4[z30x]2 \begin{bmatrix} x & 3 \\ 6 & y \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} x & 6 \\ z & -2 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} z & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix}

أحلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا: تبرير واكتشاف الخطأ

تبرير: أحدّد إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أحيانًا، أو صحيحة دائمًا، أو غير صحيحة أبدًا، ثمّ أُبرّر إجابتي:

إذا كان عدد عناصر المصفوفة AA مساويًا لعدد عناصر المصفوفة BB، فإنّه يُمكن إيجاد A+BA + B.

أكتشف الخطأ: ما الخطأ في الحلّ الآتي:

[2847]+[630419]=[8110889]\begin{bmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 11 & 0 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}

مسألة مفتوحة: أكتب المصفوفتين AA، BB، بحيث يكون:

3A+2B=[128106−511]3A + 2B = \begin{bmatrix} 12 & 8 & 10 \\ 6 & -5 & 11 \end{bmatrix}

تحدّ: أجد المصفوفتين XX، YY اللتين تُحقّقان المعادلتين الآتيتين:

X−2Y=[15−29]X - 2Y = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 9 \end{bmatrix} 3X+4Y=[85−3112]3X + 4Y = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -31 & 12 \end{bmatrix}

فهل صرتَ تستطيع حلّ مسألة اليوم؟

تعريفات أساسية

جمع مصفوفتين

يُمكن جمع مصفوفتين ⁦(adding two matrices)⁩ أو طرحهما ⁦(subtracting two matrices)⁩ إذا وفقط إذا كانت لهما الرتبة نفسها، وذلك بجمع العناصر المتناظرة في المصفوفتين في حالة الجمع، وطرح هذه العناصر في حالة الطرح

ضرب المصفوفة في عدد ثابت

عند ضرب المصفوفة في عدد ثابت ⁦(scalar multiplication)⁩، فإنَّ ذلك يعني ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في هذا العدد الثابت

المسألة المُتعدِّدة الخطوات

مسألة أحتاج إلى أكثر من عملية رياضية لحلِّها، مثل: الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة

عمليات مُتعدِّدة الخطوات على المصفوفات

يُمكن إجراء عمليات مُتعدِّدة الخطوات على المصفوفات، ويكون ترتيب هذه العمليات مُشابهًا لترتيب العمليات على الأعداد الحقيقية

معاينة موضوع «العمليات على المصفوفات» من وحدة «المصفوفات» في مادة رياضيات الأعمال. أقسام الشرح: ١٢، التعريفات: ٤.

المصدر: المركز الوطني لتطوير المناهج، العمليات على المصفوفات (ص ١٦–٢٣)

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة