المحددات وقاعدة كريمر

• حساب مُحدّدات مصفوفات مُربّعة من الرتبة الثانية والرتبة الثالثة.
• حساب مساحة مُثلّث عُلِمت إحداثيات رؤوسه باستعمال المُحدّدات.
• استعمال قاعدة كريمر لحلّ أنظمة مُكوّنة من معادلتين خطيّتين بمتغيّرين.

المُحدّدة: عدد يرتبط بالمصفوفة المُربّعة

يُطلق اسم المُثلّث الذهبي على واحدة من أهمّ الوجهات السياحية في جنوب الأردن، وهي المنطقة التي تضمّ مدينة العقبة ومدينة البترا ووادي رم. إذا كانت إحداثيات المناطق الثلاث على خريطة للمملكة في مستوى إحداثي، وحدته ⁦1km⁩، هي: (0, 0) للعقبة، و(56, 116) للبترا، و(6, 50) لوادي رم، فأستعمل المُحدّدات لحساب مساحة المُثلّث الذي رؤوسه هذه المواقع الثلاثة.

• للقُطر الرئيس دور أساسي في إيجاد مُحدّدة مصفوفة من أيّ رتبة.
• وفي ما يأتي طريقة إيجاد مُحدّدة المصفوفة ذات الرتبة $2 \times 2$، أو ما يُسمّى مُحدّدة الدرجة الثانية ⁦(second order determinant)⁩.

محدّدة الدرجة الثانية: ناتج القُطر الرئيس ناقص ناتج القُطر الآخر

أجد قيمة كلّ من المُحدّدات الآتية:

a) $\begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}$

b) $\begin{vmatrix} 5 & 20 \\ 2 & 8 \end{vmatrix}$

c) $\begin{vmatrix} 9 & 5 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}$

محدّدة الدرجة الثالثة: طريقتان للحساب

وماذا لو كانت المصفوفة أكبر؟

• يُمكن حساب قيمتها بطريقتين كما هو مُبيّن أدناه.

الطريقة الأولى: قاعدة الأقطار

• الخطوة 1: أُعيد كتابة العمود الأوّل والعمود الثاني على يمين المُحدّدة.
• الخطوة 2: أجد ناتج ضرب عناصر القُطر الرئيس، وثلاثيات العناصر على المُوازيات الحمراء المُبيّنة، ثمّ أجد مجموعها الكلي.

• الخطوة 3: أجد ناتج ضرب عناصر القُطر الآخر، وثلاثيات العناصر على المُوازيات الزرقاء المُبيّنة، ثمّ أجد مجموعها الكلي.

• الخطوة 4: أجد قيمة المُحدّدة بطرح ناتج الخطوة 3 من ناتج الخطوة 2.

الطريقة الثانية: بدلالة محدّدات من الدرجة الثانية

مثال: محدّدة من الدرجة الثالثة بالطريقتين

أُعيد حلّ المسألة باستعمال مُحدّدة المصفوفة $2 \times 2$، وذلك باختيار عناصر الصفّ الثاني، ثمّ أُقارن بين الإجابتين.

أجد قيمة كلّ مُحدّدة ممّا يأتي باستعمال قاعدة الأقطار، ثمّ باستعمال مُحدّدة المصفوفة $2 \times 2$:

a) $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9 \\ -2 & 3 & 4 \\ -5 & 7 & 2 \end{vmatrix}$

b) $\begin{vmatrix} 0 & -5 & -1 \\ 4 & 1 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$

مساحة المُثلَّث من إحداثيات رؤوسه

كيف تخدمنا المُحدّدات في الهندسة؟

• يُمكن حساب مساحة مُثلَّث عُلِمت إحداثيات رؤوسه في المستوى الإحداثي باستعمال القاعدة الآتية.

• إرشاد: إذا كانت النقاط الثلاث على استقامة واحدة، فإنَّ $|A| = 0$.

خرائط: يظهر في المستوى الإحداثي المجاور إحداثيات كلّ من مدينة الزرقاء، ومدينة الرمثا، ومدينة المفرق. إذا كانت كل وحدة في المستوى الإحداثي تُمثّل $10 \text{ km}$، فأجد مساحة المنطقة التي رؤوسها هذه المدن الثلاث.

إحداثيات المدن في الشكل: الزرقاء $(1, 1)$، والرمثا $(0, 8)$، والمفرق $(2, 5)$.

قاعدة كريمر: حلّ نظام معادلتين بالمُحدّدات

وكيف نحلّ نظامًا من معادلتين بالمُحدّدات؟

• يُمكن استعمال المُحدِّدات لحل أنظمة معادلات خطيَّة بمتغيرين، كل منها مكتوب في صورة: $ax + by = c$.

• ثمَّ أحسب مُحدِّدتها؛ فإذا كانت المُحدِّدة لا تساوي صفراً، فإنَّه يوجد حل وحيد للنظام.
• أما إذا كانت المُحدِّدة تساوي صفراً، فإما ألا يكون للنظام حل، وإما أن يكون له عدد لانهائي من الحلول.
• وفي حال لم تكن قيمة مُحدِّدة مصفوفة المعاملات صفراً، فيمكن استعمال قاعدة كريمر ⁦(Cramer's rule)⁩ لإيجاد حل النظام كما هو مُبيَّن أدناه.

أحلُّ كلّ نظام معادلات ممّا يأتي باستعمال قاعدة كريمر (إنْ أمكن):

a) $-2x + 7y = 12$، $x + y = 3$

b) $4x - 3y = 29$، $2y + 5x = -5$

أتدرّب: قيمة المُحدّدة

أجد قيمة كل من المُحدّدات الآتية:

1. $\begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}$

2. $\begin{vmatrix} 0 & 5 \\ -4 & 1 \end{vmatrix}$

3. $\begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$

4. $\begin{vmatrix} -5 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$

أجد قيمة كل من المُحدّدات الآتية باستعمال قاعدة الأقطار، ثم باستعمال مُحدّدة المصفوفة $2 \times 2$:

5. $\begin{vmatrix} 0 & -3 & 1 \\ 5 & 8 & -2 \\ 4 & 7 & 3 \end{vmatrix}$

6. $\begin{vmatrix} -4 & 3 & 2 \\ 6 & 5 & 1 \\ -4 & 3 & 2 \end{vmatrix}$

7. $\begin{vmatrix} -6 & -1 & -2 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

8. $\begin{vmatrix} 6 & 0 & 4 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

أتدرّب: مساحة المُثلَّث

9. أجد مساحة المُثلّث $ABC$ المرسوم في المستوى الإحداثي أدناه.

إحداثيات رؤوس المثلث في شكل السؤال 9: $A(-5, 3)$، $B(6, 8)$، $C(2, 4)$.

10. خرائط: يقع منزل خولة عند النقطة $B(3, 5)$ على خريطة إحداثية للمدينة، ويقع منزل فدوى عند النقطة $C(7, 0)$، ويقع منزل نُهى عند النقطة $D(5, 9)$. أجد مساحة المُثلّث $BCD$، علمًا بأنّ الوحدة الواحدة على الخريطة تُمثّل $20 \text{ m}$ على الأرض.

أتدرّب: قاعدة كريمر وتطبيقاتها

أحلُّ كل نظام معادلات مما يأتي باستعمال قاعدة كريمر (إن أمكن):

11. $\begin{cases} x + 5y = -17 \\ 3x - 4y = 6 \end{cases}$

12. $\begin{cases} 2x - 3y = 29 \\ 6y - 4x = 12 \end{cases}$

13. $\begin{cases} 5x - 4y = 22 \\ 4x + 3y = -1 \end{cases}$

14. $\begin{cases} 6x - 7y = -11 \\ 5x + 4y = 40 \end{cases}$

15. ما قيمة $c$ التي تجعل مُحدّدة مصفوفة المعاملات للنظام الآتي تساوي صفرًا؟

$2x + y = 6$ $cy = 3 - x$

16. ميداليات: فازت إحدى الدول المشاركة في الألعاب الأولمبية في واحدة من دوراتها ب 47 ميدالية ذهبية وفضية. إذا علمت أنّ عدد الميداليات الذهبية التي فازت بها يقل عن مثلي عدد الميداليات الفضية بمقدار 7 ميداليات، فأكتب نظامًا من معادلتين خطيتين يمثل هذه المسألة، ثم أحلّه باستعمال قاعدة كريمر؛ لأجد عدد الميداليات الذهبية وعدد الميداليات الفضية التي فازت بها الدولة.

17. أحلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

مهارات التفكير العليا: مصفوفات وأنظمة

مسألة مفتوحة: أكتب مصفوفة مُربّعة من الرتبة $2 \times 2$ تُحقّق الشرط المُعطى في كلّ مما يأتي:

18. مُحدّدتها تساوي صفرًا.

19. مُحدّدتها تساوي $-1$.

20. جميع عناصرها أعداد موجبة، ومُحدّدتها $-12$.

21. تحدّ: عند حلّ نظام من معادلتين بمتغيّرين باستعمال قاعدة كريمر، فإنّ الحلّ هو: $x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}}{5}$، و $y = \frac{\begin{vmatrix} 7 & a \\ b & c \end{vmatrix}}{5}$. ما قيمة كلّ من $a$، و $b$، و $c$؟

اختبار نهاية الوحدة: محدّدات ومساحات وكريمر

إذا كان: $A = \begin{bmatrix} a-3 & -2 \\ 2 & a+2 \end{bmatrix}$، حيث $a$ عدد ثابت، فأُجيب عن الأسئلة الثلاثة الآتية تباعًا:

6. أجد مُحدّدة $A$ بدلالة $a$.

7. أجد قِيَم $a$ التي تجعل $|A| = 0$.

12. أجد: $\begin{vmatrix} 3 & -7 & 6 \\ 1 & 0 & 8 \\ -2 & 11 & 9 \end{vmatrix}$.

18. أجد مساحة المُثلّث الآتي باستعمال المُحدّدات.

إحداثيات رؤوس المثلث في شكل السؤال 18: $(-3, 1)$، $(1, 5)$، $(5, 2)$.

19. أحلُّ نظام المعادلات الآتي باستعمال قاعدة كريمر:

$3x - 2y = 8$ $5x + 3y = 7$

20. أوراق نقدية: مع سعاد مجموعة من الأوراق النقدية من فئة عشرة دنانير وعشرون دينارًا، تبلغ قيمتها الإجمالية $750 \text{ JD}$. إذا علمتُ أنّ عدد أوراق فئة العشرين دينارًا يقلُّ عن مِثلَي عدد أوراق فئة عشرة دنانير بمقدار 5 أوراق، فأكتب نظامًا من معادلتين خطيتين بمتغيّرين يمثّل هذه المسألة، ثم أحلّه باستعمال قاعدة كريمر؛ لأجد عدد أوراق النقد التي مع سعاد من كلتا الفئتين.