الارتباط والانحدار

• إيجاد معامل ارتباط بيرسون بين مُتغيّرين، وتفسير دلالته.
• إيجاد معادلة خط انحدار المُربّعات الصغرى، واستعمالها للتنبُّؤ بقيمة المُتغيّر التابع.

كيف نرى العلاقة بين متغيّرين؟

اعتماداً على شكل الانتشار المجاور الذي يُمثّل أعمار 8 سيارات مُستعملة (بالسنوات) من الطراز نفسه، وأسعار بيعها (بالدينار) كما أُعلن في إحدى المنصّات الإلكترونية للإعلانات المُبّوبة:

• تتضمّن كثير من المواقف الحياتية وجود مُتغيّرين نرغب في تعرُّف العلاقة بينهما، وبيان نوعها ومدى قوّتها.
• أمثلة: العلاقة بين كتلة الإنسان وضغط دمه، وبين طول الإنسان وكتلته، وبين عدد سنوات خبرة الموظف وراتبه.
• لفهم هذه العلاقة، تُجمع البيانات اللازمة عن مُتغيّرين.

• بناءً على هذا الشكل، يُمكن تقرير وجود علاقة ⁦(correlation)⁩ خطية بين المُتغيّرين أو لا.

وكيف نصف اتجاه هذه العلاقة وقوّتها؟

اتجاه الارتباط وقوّته: موجب أم سالب، قوي أم ضعيف؟

• بعد ذلك، يتمُّ تحديد اتجاه هذه العلاقة، وتعرُّف إذا كان الارتباط قوياً، أو ضعيفاً، أو لا يوجد ارتباط بينهما.

مثال: بُعد الشقة عن المركز وإيجارها

رواتب: يُبيِّن الجدول الآتي عدد سنوات الخبرة لـ 10 موظفين في إحدى الشركات، والراتب الشهري لكل موظف منهم:

⁦a)⁩ أُحدِّد المُتغيّر المستقل والمُتغيّر التابع، ثمَّ أرسم شكل الانتشار لهذه البيانات.

⁦b)⁩ أَصِف الارتباط بين عدد سنوات الخبرة والراتب الشهري، ثمَّ أُفسِّره.

كيف نقيس قوّة الارتباط بعدد؟

• يُعدُّ شكل الانتشار وسيلة فعّالة للتحقُّق من وجود علاقة بين مجموعتين من البيانات، لكنَّ ذلك لا يُوفّر دائماً دلالة واضحة على طبيعة هذا الارتباط.

• يُعطى معامل ارتباط بيرسون بين $n$ من أزواج المشاهدات للمُتغيّر ⁦x⁩ والمُتغيّر ⁦y⁩ بالصيغة الآتية:

• تُحسب قيم المتغيرات المكونة للصيغة وفق المعادلات الآتية:

وماذا تقول قيمة ⁦r⁩ عن قوّة الارتباط؟

• عند وصف الارتباط، يجب ذكر قوة الارتباط.
• ويجب تحديد ما إذا كان الارتباط موجباً أو سالباً عند وصفه.

قراءة قيمة ⁦r⁩: من سالب واحد إلى موجب واحد

• تنحصر قيمة معامل ارتباط بيرسون ⁦r⁩ بين 1- و1
• يزداد الارتباط قوة كلما اقتربت قيمة ⁦r⁩ من هذين العددين، ويضعف بابتعاد قيمة ⁦r⁩ عنهما نحو الصفر.
• تُصنّف قوة الارتباط ونوعه بين المتغيرين وفق قيمة معامل ارتباط بيرسون كما في الشكل الآتي:

فكيف نحسب ⁦r⁩ لبيانات حقيقية؟

مثال: العمر وساعات التدريب

متى يكون ⁦0 = r⁩؟ ماذا يعني ذلك؟

تكلفة: يُبيِّن الجدول التالي المسافة ⁦(x)⁩ بالكيلومتر، والتكلفة ⁦(y)⁩ بالدينار لكل رحلة من 10 رحلات بسيّارة أجرة. أجد معامل ارتباط بيرسون بين المسافة والتكلفة، ثمَّ أُفسِّر دلالته.

المستقيم الأفضل مطابقة: أقرب خط إلى النقاط

• تُمثَّل العلاقة الخطّية بين مُتغيّرين بما يُعرف بـ المستقيم الأفضل مطابقة ⁦(line of best fit)⁩.
• يُستعمل هذا المستقيم أداةً للتنبُّؤ بقيم المُتغيّر التابع بناءً على قِيَم معلومة للمُتغيّر المستقل.

• تُمثّل المسافات $d_1, d_2, d_4, d_5$ الفروق بين القِيَم المُتنبّأ بها للمُتغيّر ⁦y⁩ من خلال المستقيم الأفضل مطابقة والقِيَم الفعلية للمُتغيّر ⁦y⁩.

فما معادلة هذا المستقيم؟

معادلة المستقيم: الميل والمقطع من البيانات

1. جدول الحساب: ارسم جدولاً لقيم المتغيّرين وحاصل ضربهما ومربّعاتهما، واجمع كل عمود.
2. الكميات الثلاث: احسب الكميات الثلاث من المجاميع بالصيغ المعطاة.
3. الميل: احسب الميل بالصيغة المعطاة.
4. المقطع: احسب الوسطين الحسابيين، ثم المقطع بالصيغة المعطاة.
5. المعادلة: اكتب المعادلة، ثم عوّض قيمة المتغيّر المستقل لتتنبّأ بالتابع.

• يُطلق على معادلة خط انحدار المُربّعات الصغرى اختصاراً اسم معادلة خط الانحدار.

مثال: الأنفاس ونبضات القلب

ما علاقة إشارة ⁦m⁩ باتجاه شكل انتشار البيانات؟

أُبرّر إجابتي.

مقهى: يعتقد مالك أحد المقاهي أنَّ زيادة مبيعات القهوة أسبوعيًّا تؤدّي إلى زيادة مبيعات الحلويات في الأسبوع نفسه. للتحقُّق من ذلك، جمع مالك المقهى بيانات 7 أسابيع مُتتالية عن قيمة مبيعات القهوة بالدينار ⁦(x)⁩، وقيمة مبيعات الحلويات بالدينار ⁦(y)⁩ كما هو مُبيَّن في الجدول الآتي:

⁦a)⁩ أجد معادلة خط انحدار ⁦y⁩ على ⁦x⁩.

⁦b)⁩ أستعمل معادلة خط الانحدار التي أوجدتها في الفرع السابق للتنبُّؤ بمبيعات الحلويات في الأسبوع الذي بلغت فيه مبيعات القهوة ⁦JD 310⁩.

⁦c)⁩ أُفسِّر دلالة كلٍّ من الميل ⁦(m)⁩ والمقطع ⁦(b)⁩ في معادلة خط الانحدار.

• من أهم أهداف الانحدار التنبُّؤ بقيم المُتغيّر التابع لبعض قِيَم المُتغيّر المستقل غير المُعطاة.

تدرّب: صِف الارتباط وأوجد الخط

مبيعات: يُبيّن الجدول الآتي عدد الجولات التي قام بها 10 مندوبي مبيعات، وعدد القطع المبيعة:

1. أُحدّد المُتغيّر المستقل والمُتغيّر التابع، ثمَّ أرسم شكل الانتشار لهذه البيانات.

2. أصف الارتباط بين عدد الجولات وعدد القطع المبيعة، ثمَّ أُفسّره.

بوظة: يُبيّن الجدول الآتي درجة الحرارة وقت الظهيرة، وعدد حبّات المُثلّجات التي يبيعها محمود في محلّه مُدّة أسبوعين:

3. أُحدّد المُتغيّر المستقل والمُتغيّر التابع، ثمَّ أرسم شكل الانتشار لهذه البيانات.

4. أصف الارتباط بين درجة الحرارة وقت الظهيرة وعدد حبّات المُثلّجات التي يبيعها محمود، ثمَّ أُفسّره.

كثافة سُكّانية: يُبيّن الجدول الآتي بُعد المنطقة عن مركز المدينة (بالكيلومتر)، والكثافة السُكّانية في تلك المنطقة (عدد السُكّان/ كيلومتر مُربّع) لعدد من الأماكن المختارة عشوائياً في إحدى المدن:

5. أُحدّد المُتغيّر المستقل والمُتغيّر التابع، ثمَّ أرسم شكل الانتشار لهذه البيانات.

6. أصف الارتباط بين البُعد عن مركز المدينة والكثافة السُكّانية، ثمَّ أُفسّره.

7. صيانة إلكترونيات: يُقدّر موظفو متجر إلكترونيات تكلفة صيانة الأجهزة مُسبقاً، ثمَّ يُدوّنون التكلفة الفعلية لاحقاً. لتقييم دِقّة هذه التقديرات، حلّلت الإدارة عيّنة عشوائية من 8 عمليات صيانة كما في الجدول أدناه. أجد معامل ارتباط بيرسون بين التكلفة التقديرية والتكلفة الفعلية، ثمَّ أُفسّر دلالته.

إنتاج حليب: أُعطيت عشر بقرات وحدات من مُكمّل غذائي يومياً مُدّة أسبوعين، وكانت كتلة كل وحدة منها ⁦25 g⁩؛ بُغية دراسة تأثير هذا المُكمّل في زيادة إنتاج الحليب، علماً بأنَّ مُعدّل الإنتاج اليومي لكل بقرة في بداية التجربة هو ⁦18 L⁩. يُبيّن الجدول الآتي عدد وحدات المُكمّل الغذائي التي تناولتها كل بقرة، إلى جانب كمية الحليب المُنتجة باللتر ⁦(L)⁩ في اليوم الأخير من الأسبوعين:

8. أُحدّد المُتغيّر المستقل والمُتغيّر التابع، ثمَّ أرسم شكل الانتشار لهذه البيانات.

9. أكتب أيّ استنتاجات يُمكن أن أتوصل إليها من شكل الانتشار.

10. أجد معامل ارتباط بيرسون لبيانات البقرات السبع الأولى، ثمَّ أُفسّر دلالته.

استهلاك وقود: تعكف إحدى شركات تصنيع السيارات على اختبار نوع جديد من المُحرّكات لبيان تأثير السرعة ⁦(km/h)⁩ في مُعدّل استهلاك الوقود ⁦(km/L)⁩، وقد أمكن لها الحصول على البيانات الآتية في ظلّ ظروف مَعْمَلية يُمكن فيها تشغيل المُحرّك بسرعة ثابتة:

11. أجد معادلة خط انحدار ⁦y⁩ على ⁦x⁩.

12. أستعمل معادلة خط الانحدار التي أوجدتها في السؤال السابق للتنبُّؤ بمُعدّل استهلاك الوقود إذا بلغت سرعة السيارة ⁦70 km/h⁩.

13. أُفسّر دلالة كلّ من الميل ⁦(m)⁩ والمقطع ⁦(b)⁩ في معادلة خط الانحدار.

جُمعت 10 أزواج من القِيَم المُتناظرة للمُتغيّر ⁦x⁩ والمُتغيّر ⁦y⁩، فتبيّن أنَّ:

$\sum x_i = 109$ $\sum y_i = 120$ $\sum x_i^2 = 1960$ $\sum y_i^2 = 2145$ وأنَّ معادلة خط انحدار ⁦y⁩ على ⁦x⁩ هي: $y = 0.7x + 4.4$

14. أجد $\sum x_i y_i$.

15. أجد معامل ارتباط بيرسون بين المُتغيّر ⁦x⁩ والمُتغيّر ⁦y⁩.

تُبيّن أشكال الانتشار الآتية درجات مختلفة من الارتباط بين مُتغيّرين:

أكتب بجانب معامل الارتباط رمز شكل الانتشار المناسب في كلّ ممّا يأتي:

16. 0.31- = r

17. 0.94- = r

18. 0.55 = r

19. 0.97 = r

20. إدارة أعمال: حَسَبت سامية معامل ارتباط بيرسون بين عمر الموظف وعدد الأخطاء التي يقع فيها أثناء إدخال البيانات المالية في النظام الحاسوبي للشركة، فوجدته 0.86-. ماذا تعني هذه القيمة لمعامل الارتباط؟

تفكير أعلى: برّر واكتشف الخطأ

21. تبرير: إذا كان الارتباط بين ⁦x⁩ و ⁦y⁩ موجباً، والارتباط بين ⁦y⁩ و ⁦z⁩ سالباً، والارتباط بين ⁦z⁩ و ⁦w⁩ موجباً، فما نوع الارتباط بين ⁦x⁩ و ⁦w⁩؟ أُبرّر إجابتي.

22. أكتشف الخطأ: يُمثّل شكل الانتشار المجاور أعمار عدد من الدجاجات بالأشهر ⁦(x)⁩، وعدد البيضات التي تضعها كلّ من هذه الدجاجات في الشهر ⁦(y)⁩. أوجدت ميسون معادلة خط انحدار ⁦y⁩ على ⁦x⁩، فكانت هذه المعادلة:

$y = 0.063x + 16.1$ أُبيّن من دون إجراء أيّ حسابات أنَّ المعادلة التي وضعتها ميسون غير صحيحة.

تبرير: جمعت سلمى بيانات من أحد المحالّ التجارية الكبرى عن 8 مُنتجات مختلفة من الشوكولاتة، كتلة كلّ منها ⁦100g⁩، وذلك بهدف دراسة العلاقة بين النسبة المئوية لمسحوق الكاكاو الخام وسعر البيع (بالقرش) كما هو مُبيّن في الجدول الآتي:

23. أرسم شكل الانتشار لهذه البيانات.

24. أجد معادلة خط انحدار ⁦y⁩ على ⁦x⁩.

25. أجد معامل ارتباط بيرسون بين نسبة مسحوق الكاكاو الخام وسعر قطعة الشوكولاتة، ثمَّ أُفسّر دلالته.

26. تعتقد سلمى أنَّ سعر قطعة الشوكولاتة من إحدى العلامات التجارية مُبالغ فيه. أستعمل شكل الانتشار لتحديد هذه العلامة التجارية، ثمَّ أقترح سعراً عادلاً لقطعة الشوكولاتة التي تحمل هذه العلامة، وأُبرّر إجابتي.