التباين في السلاسل الزمنية

• إيجاد الأوساط المُتحرّكة في سلسلة زمنية، واستعمالها لوصف اتجاه السلسلة العام
• تعرّف التباين الموسمي في السلاسل الزمنية، وتفسيره
• حساب التباين الموسمي عند نقطة ما، واستعمال وسطه الحسابي وخط الاتجاه العام للتنبُّؤ ببيانات مستقبلية

مبيعات صاعدة، لكن كل ربع له حكاية

يُمثّل الشكل المجاور منحنى السلسلة الزمنية للبيانات الرُّبعية لعدد أجهزة الهاتف المحمول المبيعة (بالمئات) في محل هواتف على مدار 3 أعوام متتالية، وخط الاتجاه العام لهذه السلسلة

لماذا تختلف المبيعات من ربع لآخر؟

• يُمثّل الشكل الآتي منحنى السلسلة الزمنية للمبيعات الرُّبعية (بعشرات آلاف الدنانير) من أجهزة تكييف الهواء

• الاتجاه العام لمبيعات التكييف يُظهر زيادة تدريجية على المدى الطويل
• الرُّبعان الأوّل والرابع: تكون المبيعات أقلّ من المُتوقّع مقارنة بخط الاتجاه العام
• الرُّبعان الثاني والثالث: ترتفع المبيعات، وتكون أكثر ممّا يتوقّعه خط الاتجاه العام
• السبب: تأثير الفصول؛ يزداد الطلب على المُكيّفات خلال أشهر الصيف بسبب ارتفاع درجات الحرارة، ويقلّ شتاءً

فكيف نرى الاتجاه الحقيقي حين تكثر القمم والقيعان؟

الأوساط المتحركة: وسط حسابي يخفّف التذبذب

• في بعض السلاسل الزمنية، قد تظهر تباينات واختلافات كبيرة نتيجة لوجود العديد من القِيَم العظمى والقِيَم الصغرى
• ما يصعُب رسم خط الاتجاه، وتحديد الاتجاه العام بدقّة

• الشرط: أن تشمل المُشاهدات المُستعملة دورة فصلية كاملة؛ أي أن تشمل مُشاهدة واحدة من كل فصل

• إذا كانت المُشاهدات (القِيَم) بالترتيب هي: $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$
• فإنّ الأوساط المُتحرّكة ذات النقاط الأربع $M_1, M_2, ..., M_n$ تُعطى على النحو الآتي

• $M_1 = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}$
• $M_2 = \frac{x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{4}$
• $M_3 = \frac{x_3 + x_4 + x_5 + x_6}{4}$

• وهكذا إلى آخر الأوساط المُتحرّكة

من نقاط الأوساط إلى خط الاتجاه

• تعلّمتُ في الدرس السابق كيفية رسم خط الاتجاه العام بالنظر، لكنّ هذا الأسلوب ليس دقيقاً بما فيه الكفاية
• يُمكن رسم خط الاتجاه العام للسلسلة الزمنية بطريقة أكثر موثوقية، وذلك باستعمال نقاط الأوساط المُتحرّكة

وكيف تُرسم هذه النقاط خطوة بعد خطوة؟

• الخطوة 1: تمثيل السلسلة بيانياً
• الخطوة 2: إيجاد منتصفات الفترات الزمنية التي ستُقابل الأوساط المُتحرّكة ذات النقاط الأربع، ثمّ إيجاد تلك الأوساط
• الخطوة 3: تعيين نقطة لكل وسط حسابي مُتحرّك، مُقابل منتصف الفترة الزمنية التي استُعملت لحساب ذلك الوسط
• الخطوة 4: رسم المستقيم الأفضل مطابقة لنقاط الأوساط المُتحرّكة، الذي يُمكن به رؤية الاتجاه العام للسلسلة الزمنية بوضوح وسهولة

• يزيد منتصف الفترة المُقابل للوسط المُتحرّك ذي النقاط الأربع بمقدار 0.5 على رقم ثاني رُبع من الأرباع الأربعة المُستعملة لحساب ذلك الوسط المُتحرّك
• يُمكن ترقيم الأرباع في صورة: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... لحساب نقطة منتصف الفترة التي يلزم تعيين نقطة الوسط المُتحرّك مقابلها

التباين الموسمي: كم يبعد الربع عن الخط؟

• فإذا كانت القيمة الفعلية أعلى من القيمة المُقدّرة من خط الاتجاه العام، فإنّ التباين الموسمي يكون موجبا
• وإذا كانت هذه القيمة أقلّ، فإنّ التباين الموسمي يكون سالبا

• هذه التباينات الموسمية تتكرّر بنمط دوري مُنتظم كل عام
• نظراً إلى تكرار الأرباع ضمن السلسلة الزمنية؛ فإنّ هذا التباين يُصبح قِيَم عِدّة مرتبطة بكل رُبع
• يُمكن تقدير الوسط الحسابي للتباينات الموسمية الخاصة بكل رُبع؛ ما يُفضي إلى تقدير أكثر استقراراً للتأثير الموسمي المُرتبط به

لنقدّر هذا الوسط لربع واحد في سلسلة المبيعات.

التنبّؤ: الخط زائد أثر الموسم

• يُمكن استعمال خط الاتجاه العام والوسط الحسابي للتباينات الموسمية عند أيّ نقطة في سلسلة زمنية للتنبُّؤ بقِيَم تُقابل هذه النقطة في السنوات اللاحقة

تمارين: أوساط، اتجاه، تباين، تنبّؤ

أعمال خيرية: يُبيّن الجدول الآتي البيانات الرُّبعية لعدد الطرود الخيرية التي وزّعتها جمعية خيرية على الأُسَر المحتاجة خلال 3 أعوام متتالية

أجد الأوساط المُتحرّكة ذات النقاط الأربع لهذه السلسلة الزمنية

أرسم خط الاتجاه العام للسلسلة الزمنية باستعمال الأوساط المُتحرّكة ذات النقاط الأربع

أُحدّد نوع اتجاه البيانات، ثمّ أُفسّره

مناخ: يُبيّن الجدول الآتي البيانات الرُّبعية لعدد الساعات المُشمسة في إحدى المدن على مدار 3 أعوام

كاميرات: يُبيّن الشكل الآتي السلسلة الزمنية لعدد الكاميرات الاحترافية المبيعة في أحد المحالّ التجارية، وقد رُسمت عليها الأوساط المُتحرّكة ذات النقاط الأربع

أُقدّر الوسط الحسابي للتباينات الموسمية للرُّبع الأوّل

أتنبّأ بعدد الكاميرات المبيعة في الرُّبع الأوّل من عام 2015م

دواجن: يُبيّن الشكل الآتي السلسلة الزمنية لعدد الدواجن (بالآلاف) التي أنتجتها شركة مُتخصّصة، وقد رُسم عليها خط الاتجاه العام باستعمال الأوساط المُتحرّكة ذات النقاط الأربع

أصف اتجاه السلسلة العام، ثمّ أُفسّره

أُقدّر الوسط الحسابي للتباينات الموسمية للرُّبع الثاني

أتنبّأ بعدد الدواجن التي أُنتجت في الرُّبع الثاني من عام 2021م

جامعات: يُبيّن الجدول الآتي عدد الطلبة المُسجّلين في أحد المساقات الجامعية في الفصل الأوّل والفصل الثاني والفصل الصيفي بإحدى الجامعات على مدار 3 أعوام

أجد الأوساط المُتحرّكة ذات النقاط الثلاث لهذه السلسلة

أرسم خط الاتجاه العام للسلسلة الزمنية باستعمال الأوساط المُتحرّكة ذات النقاط الثلاث

أُقدّر الوسط الحسابي للتباينات الموسمية للفصل الأوّل

أتنبّأ بعدد الطلبة الذين سيُسجّلون في هذا المساق للفصل الأوّل من عام 2024م

طاقة شمسية: يُبيّن الجدول الآتي القِيَم الفعلية والقِيَم المُقدّرة باستعمال خط الاتجاه العام لأعداد الموافقات التي منحتها إحدى البلديات لمشروعات الطاقة الشمسية المنزلية خلال عامين متتاليين

أملأ الفراغ بما مُناسب في عمود التباين الموسمي لكل رُبع

أُقدّر الوسط الحسابي للتباين الموسمي لكل رُبع من الأرباع الأربعة

مهارات التفكير العليا: أكتشف الخطأ وأبرّر

أكتشف الخطأ: عيّنت أريج الأوساط الحسابية المُتحرّكة ذات النقاط الأربع على منحنى السلسلة الزمنية المُبيّن في الشكل المجاور، لكنّها نسيت تعيين بعضها

أكتشف الأوساط المُتحرّكة المفقودة من الرسم، ثمّ أُعيّنها عليه

تبرير: يُبيّن الجدول الآتي مبيعات أحد المحالّ التجارية لكل أربعة أشهر متتالية على مدار 3 أعوام

لماذا لا تُحسب الأوساط الحسابية المُتحرّكة ذات النقاط الأربع في هذه الحالة؟ أُبرّر إجابتي

أجد الأوساط الحسابية المُتحرّكة التي يُمكن حسابها في هذه المسألة

تبرير: رصدت إدارة أحد المسارح عدد الحضور (بالمئات) في كل يوم تُعرض فيه مسرحية على مدار 3 أسابيع

هل تُحسب لهذه البيانات أوساط حسابية مُتحرّكة ذات نقاط ثلاث أم أوساط حسابية مُتحرّكة ذات نقاط أربع؟ أُبرّر إجابتي

الحاسوب يوفّر الجهد: أوساط وتنبّؤ بنقرات

• يُمكن استعمال برمجة ⁦Excel⁩ لتمثيل سلسلة زمنية رُبعية، ورسم خط الاتجاه العام لهذه السلسلة باستعمال الأوساط المُتحرّكة، والتنبُّؤ ببيانات مستقبلية

• نشاط: أستعمل برمجية ⁦Excel⁩ لرسم خطّ الاتجاه العام للسلسلة الزمنية الواردة في المثال 2، باستعمال الأوساط المُتحرّكة ذات النقاط الأربع
• الخطوة 1: إدخال البيانات: أُدخِل البيانات في جدول مُنظَّم من عمودين، أُسمّي أوّلهما الرُّبع وتدخل فيه الأرباع مُتسلسلة من 1 إلى 12، وأُسمّي ثانيهما عدد المدافئ المبيعة

• الخطوة 2: التمثيل البياني: أحدّد الخلايا التي تحتوي على البيانات بما في ذلك العناوين، ثم أختار ⁦Scatter⁩ من علامة التبويب ⁦Insert⁩
• الخطوة 3: أنسّق التمثيل البياني بإعادة تسميته، وتسمية المحاور، وتخصيص الألوان والخطوط لجعل التمثيل أكثر وضوحاً

• الخطوة 4: الأوساط المتحركة: أسمّي عموداً جديداً باسم الأوساط المتحركة، وأستعمل الدالة ⁦AVERAGE⁩ لإيجاد الوسط المتحرك الأول

• تظهر النتيجة 305 في الخلية

• الخطوة 5: منتصف الفترة: أسمّي عموداً جديداً باسم منتصف الفترة، وأستعمل الدالة ⁦AVERAGE⁩

• تظهر النتيجة 2.5 في الخلية

• الخطوة 6: تمثيل الأوساط: أضغط بالزر الأيمن لاختيار ⁦Select Data⁩، ثم ⁦Add⁩، وأحدّد ⁦Series X-values⁩ من عمود منتصف الفترة و⁦Series Y-values⁩ من عمود الأوساط المتحركة
• الخطوة 7: خط الاتجاه: أختار + ثم ⁦Trendline⁩ ليظهر خط الاتجاه العام الممثل باستعمال الأوساط المتحركة ذات النقاط الأربع

أجد الأوساط المُتحرّكة ذات النقاط الأربع للسلسلة الزمنية الآتية التي تُبيّن نسبة الإشغال في أحد الفنادق خلال عامين ونصف

كتب: يُبيّن الجدول الآتي البيانات الرُّبعية لعدد الكتب المستعارة من مكتبة عامة في كل يوم تفتح فيه المكتبة أبوابها على مدار 3 أسابيع أرسم خط الاتجاه العام للسلسلة الزمنية باستعمال الأوساط ذات النقاط الأربع أُحدّد نوع اتجاه البيانات، ثمّ أُفسّره

أجد التباينات الموسمية لكلّ من الرُّبع الثالث والرُّبع الرابع الواردة في المثال 3، ثمّ أُقدّر الوسط الحسابي لكلّ منهما

أتنبّأ بعدد الزُّوّار في الرُّبع الرابع من عام 2024م، بناءً على معطيات المثال

أستعمل برمجة ⁦Excel⁩ لرسم خط الاتجاه العام للسلسلة الزمنية باستعمال الأوساط ذات النقاط الأربع

أستعمل برمجة ⁦Excel⁩ للتنبُّؤ بعدد المسافرين إلى الخارج في الرُّبع الثاني من عام 2012م