التوزيع الهندسي

• تعرُّف التوزيع الاحتمالي والتوقُّع للمتغيِّر العشوائي الهندسي.

تجربة بيرنولي: نجاح أو فشل فقط

في مصنع لإنتاج الأوعية البلاستيكية، تشير الإحصاءات إلى أنَّ واحدًا من كل 12 وعاءً يكون معيبًا.

إذا بدأ مدير الجودة بفحص الأوعية عشوائيًّا واحدًا تلو الآخر؛ على أن يتوقَّف عند العثور على أوَّل وعاء معيب، فما احتمال أن يتوقَّف عن عملية الفحص بعد فحصه 20 وعاءً؟

إذا كان: $X \sim Geo(0.4)$، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

a) $P(X = 2)$

b) $P(X \le 3)$

c) $P(X > 4)$

• تجربة إلقاء قطعة النقد مرَّة واحدة وملاحظة الوجه الظاهر تُمثِّل تجربة بيرنولي؛ لأنَّ لها أحد ناتجين: صورة، أو كتابة.
• تُعدُّ الصورة هي النجاح، والكتابة هي الفشل، أو العكس.
• يُمكن النظر إلى أيِّ تجربة عشوائية بوصفها تجربة بيرنولي، بافتراض أنَّ حدثًا مُعيَّنًا من الفضاء العيني للتجربة هو النجاح

التجربة الهندسية: كرِّر حتى أول نجاح

أُبيِّن إذا كانت التجربة العشوائية تُمثِّل تجربة احتمالية هندسية في كلٍّ ممَّا يأتي:

⁦a)⁩ إلقاء عبد العزيز قطعة نقد مُنتظمة 6 مرَّات، ثمَّ كتابة عدد مرَّات ظهور الصورة.

⁦b)⁩ إطلاق سامية أسهُمًا بشكل مُتكرِّر نحو هدف، ثمَّ التوقُّف عند إصابته أوَّل مرَّة، علمًا بأنَّ احتمال إصابتها الهدف في كل مرَّة هو 0.6

المتغيِّر الهندسي: عدّ المحاولات حتى أول نجاح

• يُمثِّل ⁦p⁩ احتمال النجاح الثابت في كل محاولة.
• يأخذ المتغيِّر ⁦X⁩ القيم الآتية: {1, 2, 3, ...}.

• x: عدد المحاولات وصولًا إلى أوَّل نجاح.
• p: احتمال النجاح في كل محاولة.

التوزيع الهندسي في الحياة: فرن لا يشتعل

• يُمكن استعمال التوزيع الهندسي في كثير من التطبيقات الحياتية.

في دراسة لقسم الجودة في مصنع للأواني الفخارية، تبيَّن أنَّ 10% من الأواني الفخارية التي يفحصها مُراقب الجودة عيبًا مصنعيًّا. إذا مثَّل ⁦X⁩ عدد الأواني الفخارية التي سيفحصها مُراقب الجودة حتى إيجاد أوَّل إناء معيب، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

⁦a)⁩ احتمال أن يكون الإناء العاشر هو أوَّل إناء معيب يجده مُراقب الجودة.

⁦b)⁩ احتمال أن يفحص مُراقب الجودة أكثر من 3 أوانٍ حتى إيجاد أوَّل إناء معيب.

التوقُّع الهندسي: كم محاولة نحتاج في المتوسط؟

• تعلَّمتُ سابقًا أنَّ التوقُّع ⁦E(X)⁩ للمتغيِّر العشوائي ⁦X⁩ هو الوسط الحسابي لقيمه الناتجة من تكرار التجربة نفسها عددًا كبيرًا من المرَّات (عند اقتراب العدد من $\infty$)
• وأنَّه يساوي مجموع حاصل ضرب كل قيمة للمتغيِّر ⁦X⁩ في احتمال وقوعها

• ⁦p⁩ احتمال النجاح في كل محاولة.

أعلنت إحدى شركات تصنيع حبوب الفطور للأطفال عن وجود لعبة مجانية في بعض عُلَب الحبوب الجديدة التي تُنتجها الشركة. إذا احتوت عُلبة من كل 4 عُلَب على لعبة، ودلَّ المتغيِّر العشوائي ⁦X⁩ على عدد العُلَب التي سيفتحها الطفل حتى يجد لعبة، فكم عُلبة يُتوقَّع أن يفتحها الطفل حتى يجد أوَّل لعبة؟

تدرَّب: أنواع التجارب والاحتمالات والتوقُّع

أُبيِّن إذا كانت التجربة العشوائية تُمثِّل تجربة احتمالية هندسية في كلٍّ ممَّا يأتي:

1. عدد الأسئلة التي ستجيب عنها أسماء إجابة صحيحة من بين 25 سؤالًا، جميعها من نوع الاختيار من مُتعدِّد، ولكلٍّ منها 5 بدائل، واحد منها فقط صحيح، في حال الإجابة عن الأسئلة جميعها بصورة عشوائية.

2. رمي لاعب كرة السلة الكرة نحو الهدف بشكل مُتكرِّر، والتوقُّف عند إحراز الهدف أوَّل مرَّة، علمًا بأنَّ احتمال إحرازه الهدف في كل مرَّة هو 0.3

إذا كان: $X \sim Geo(0.2)$، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي، وأُقرِّب إجابتي إلى أقرب 3 منازل عشرية:

3. $P(X = 2)$

4. $P(X \le 3)$

5. $P(X \ge 3)$

6. $P(3 \le X \le 5)$

7. $P(X < 4)$

8. $P(X > 4)$

9. $P(1 < X < 3)$

10. $P(4 < X \le 6)$

11. $P(X < 1)$

12. أُلقي حجر نرد مُنتظم ذو ثمانية أوجه مُرقَّمة بالأرقام من 1 إلى 8 بشكل مُتكرِّر حتى ظهور العدد 7. أجد احتمال إلقاء حجر النرد 6 مرَّات.

أجد التوقُّع لكلٍّ من المتغيِّرات العشوائية الآتية:

13. $X \sim Geo(0.3)$

14. $X \sim Geo(\frac{3}{7})$

15. $X \sim Geo(0.45)$

16. رياضة: تتدرَّب لينا على مسابقة رمي السهام. إذا كان احتمال إصابتها الهدف في كل رمية هو 0.2، فكم سهمًا يُتوقَّع أن تُطلق لينا حتى تصيب الهدف أوَّل مرَّة؟

17. إذا كان: $X \sim Geo(p)$، وكان: $P(X > 3) = 0.512$، فأجد توقُّع المتغيِّر العشوائي ⁦X⁩.

وجد مصنع لوحدات الإنارة المكتبية أنَّ احتمال أن تكون وحدة الإنارة معيبة هو 0.10. إذا مثَّل ⁦X⁩ عدد وحدات الإنارة التي سيفحصها مُراقب الجودة واحدة تلو الأخرى حتى إيجاد أوَّل وحدة إنارة معيبة، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

19. احتمال أن تكون وحدة الإنارة الخامسة هي أوَّل وحدة إنارة معيبة يجدها مُراقب الجودة.

20. احتمال أن يفحص مُراقب الجودة أكثر من 4 وحدات إنارة حتى إيجاد أوَّل وحدة إنارة معيبة.

21. العدد المُتوقَّع من وحدات الإنارة التي سيفحصها مُراقب الجودة حتى إيجاد أوَّل وحدة إنارة معيبة.

يُمثِّل الشكل المجاور قرصًا مُقسَّمًا إلى 4 قطاعات متطابقة. إذا دلَّ المتغيِّر العشوائي ⁦X⁩ على عدد مرَّات تدوير مُؤشِّر القرص حتى يقف عند اللون الأخضر أوَّل مرَّة، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

22. $P(X = 3)$

23. $P(X \le 4)$

24. احتمال تدوير مُؤشِّر القرص ثلاث مرَّات على الأقل حتى يقف عند اللون الأخضر أوَّل مرَّة.

اتفقت ليلى وزميلاتها على ألا تُشارك أيٌّ منهن في لعبة حتى ترمي حجر نرد مُنتظمًا، ويظهر الرقم 6. إذا أرادت ليلى المشاركة في اللعبة، وكان ⁦X⁩ يُمثِّل عدد مرَّات رميها حجر النرد حتى ظهور العدد 6، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

25. احتمال أن ترمي ليلى حجر النرد 3 مرَّات لكي تُشارك في اللعبة.

26. احتمال أن ترمي ليلى حجر النرد أكثر من 3 مرَّات لكي تُشارك في اللعبة.

تفكير أعمق: اكتشاف الخطأ والتبرير والتحدّي

27. أكتشف الخطأ: أرادت لانا حلَّ السؤال الآتي:

"عند إلقاء قطعة نقد غير مُنتظمة، كان احتمال ظهور الصورة هو $\frac{2}{5}$. إذا أُلقيت قطعة النقد بصورة مُتكرِّرة حتى ظهور الصورة أوَّل مرَّة، فما احتمال ظهور الصورة أوَّل مرَّة عند إلقاء قطعة النقد في المرَّة الثانية؟". وكان حلُّها على النحو الآتي:

$P(X = 2) = \frac{2}{5}(1 - \frac{2}{5})^2 = \frac{18}{125}$ أكتشف الخطأ في حلِّ لانا، ثمَّ أُصحِّحه، وأُبرِّر إجابتي.

28. تبرير: إذا كان: $X \sim Geo(p)$، وكان: $P(X \le 3) = \frac{819}{1331}$، فأجد $P(X > 3)$، وأُبرِّر إجابتي.

29. تحدٍّ: إذا كان: $X \sim Geo(p)$، وكان $p > 0.5$، وكان: $P(X = 2) = 0.21$، فأجد $P(X = 4)$.