توزيع ذي الحدين

• تعرُّف التوزيع الاحتمالي والتوقُّع والتباين للمتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين.

ما احتمال فوز اللاعب بأربع نقاط إرسال؟

فما الذي يجعل التجربة «ذات حدَّين»؟

متى تكون التجربة «ذات حدَّين»؟

• الشروط الأربعة: إذا توافرت في تجربة عشوائية ما، فإنَّها تُعدُّ تجربة احتمالية ذات حدَّين.
• اشتمال التجربة على محاولات مستقلة ومُتكرِّرة.
• فرز النتائج الممكنة في كل محاولة إلى نجاح أو فشل.
• ثبات احتمال النجاح في كل محاولة.
• وجود عدد مُحدَّد من المحاولات في التجربة.

أُبيِّن إذا كانت التجربة العشوائية تُمثِّل تجربة احتمالية ذات حدَّين:

⁦a)⁩ إلقاء حجر نرد مُنتظم 20 مرَّة. كتابة عدد المرَّات التي ظهر فيها العدد 1 على الوجه العلوي لحجر النرد.

⁦b)⁩ اختيار 7 طلبة عشوائيًّا من صف روضة فيه 15 ولدًا و10 بنات لتشكيل فريق لإحدى الألعاب. كتابة عدد البنات اللاتي وقع عليهن الاختيار.

المتغيّر ذو الحدَّين: كم مرَّة سينجح؟

• حيث $n$ و $p$ معاملا المتغيِّر العشوائي.
• المتغيِّر $X$ يأخذ القيم الآتية: {0, 1, 2, ..., ⁦n}⁩.
• المتغيِّر العشوائي ذو الحدَّين يأخذ قيمًا معدودة؛ لذا، فإنَّه يُسمَّى متغيِّرًا عشوائيًّا مُنفصلًا.

• $n$: عدد المحاولات في التجربة.
• $p$: احتمال النجاح في كل محاولة.
• $r$: عدد المحاولات الناجحة من بين $n$ من المحاولات.

إذا كان: $X \sim B(5, 0.1)$، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

a) $P(X = 4)$

b) $P(X = 6)$

c) $P(X \le 2)$

d) $P(X > 2)$

من الصيانة إلى الاحتمال: كم زبونًا سيرضى؟

• يُمكن استعمال توزيع ذي الحدَّين في كثير من التطبيقات الحياتية.

تحتوي آلة حاسبة على 16 زرًّا للعمليات الأساسية، والمساواة، والفاصلة العشرية، والأعداد من 0 إلى 9.

إذا أغمض أحمد عينيه، ثمَّ ضغط على أزرار الآلة 20 مرَّة بصورة عشوائية، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

⁦a)⁩ احتمال أن يضغط أحمد على أزرار العمليات الأساسية 3 مرَّات فقط.

⁦b)⁩ احتمال أن يضغط أحمد على أزرار العمليات الأساسية مرَّة واحدة على الأقل.

التوقُّع: كم نجاحًا نتوقَّع؟

• إذا كان $X$ متغيِّرًا عشوائيًّا ذا حدَّين، فإنَّه يُمكن إيجاد توقُّعه باستعمال الصيغة الآتية.

• $n$: عدد المحاولات في التجربة.
• $p$: احتمال النجاح في كل محاولة.

سيارات: بعد إجراء مسح للسيارات التي صنعتها شركة ما، تبيَّن أنَّ في 5% منها عطلاً ميكانيكيًّا.

إذا استورد وكيل للشركة في إحدى الدول 1000 سيارة، فأجد عدد السيارات التي يُتوقَّع أن يظهر فيها هذا العطل.

التباين: كم تتشتَّت النتائج؟

إذا كان: $X \sim B(400, \frac{3}{8})$، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

⁦a)⁩ التوقُّع ⁦E(X)⁩.

⁦b)⁩ التباين ⁦Var(X)⁩.

تدريب: أيُّ التجارب ذات حدَّين؟

أُبيِّن إذا كانت التجربة العشوائية تُمثِّل تجربة احتمالية ذات حدَّين في كلٍّ ممَّا يأتي:

1. إلقاء قطعة نقد 80 مرَّة، ثمَّ تسجيل عدد مرَّات ظهور الكتابة.

2. إلقاء حجر نرد مُنتظم 20 مرَّة، ثمَّ كتابة عدد المرَّات التي ظهر فيها العدد 4 على الوجه العلوي لحجر النرد.

3. إطلاق أسهم بشكل مُتكرِّر نحو هدف، ثمَّ التوقُّف عند إصابته أوَّل مرَّة.

4. إذا كان ⁦X⁩ متغيِّرًا عشوائيًّا ذا حدَّين، وكان معاملاه: $n = 17, p = 0.64$، فأُعبِّر عن هذا المتغيِّر بالرموز.

تدريب: احسب احتمالات ذي الحدَّين

إذا كان: $X \sim B(10, 0.2)$، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي، وأُقرِّب إجابتي إلى أقرب 3 منازل عشرية:

5. $P(X = 2)$

6. $P(X = 5)$

7. $P(X < 3)$

8. $P(X \le 7)$

9. $P(X \ge 2)$

10. $P(2 < X \le 8)$

إذا كان: $X \sim B(3, \frac{2}{3})$، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

11. $P(X = 1)$

12. $P(X > 1)$

13. $P(0 \le X < 2)$

تدريب: مسائل من الحياة

طيران: يواجه الطيَّارون صعوبة في الرؤية باحتمال 0.25 عند الهبوط بالطائرات خلال فصل الشتاء بسبب سوء الأحوال الجوية.

إذا هبط طيَّار 20 مرَّة في هذا المطار شتاءً، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

14. احتمال أن يواجه الطيَّار صعوبة في الرؤية خلال عملية الهبوط في 3 مرَّات فقط.

15. احتمال أن يواجه الطيَّار صعوبة في الرؤية خلال عملية الهبوط في 3 مرَّات على الأقل.

17. العدد المُتوقَّع من المرَّات التي سيواجه فيها الطيَّار صعوبة في الرؤية خلال عملية الهبوط.

أجد التوقُّع والتباين لكل متغيِّر عشوائي ممَّا يأتي:

18. $X \sim B(5, 0.1)$

19. $X \sim B(20, \frac{3}{8})$

إذا كان احتمال إصابة شخص ما بأعراض جانبية بعد أخذه مطعومًا مُعيَّنًا هو 12%، وقرَّر طبيب إعطاء 50 شخصًا هذا المطعوم، ودلَّ المتغيِّر العشوائي ⁦X⁩ على عدد الأشخاص الذين ستظهر عليهم أعراض المطعوم الجانبية، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

20. احتمال ظهور الأعراض الجانبية على 3 أشخاص فقط ممَّن أخذوا المطعوم.

21. العدد المُتوقَّع للأشخاص الذين ستظهر عليهم أعراض المطعوم الجانبية.

22. التباين للمتغيِّر العشوائي ⁦X⁩.

23. اتصالات: بعد إجراء مسح لمشتركي إحدى شركات الاتصالات، تبيَّن أنَّ 30% من المشتركين هم من الإناث.

إذا اختير 400 مشترك عشوائيًّا لاستطلاع آرائهم حيال الخدمات التي تُقدِّمها الشركة، فأجد عدد الإناث المُتوقَّع في هذه العيِّنة.

تحدٍّ: ابحث عن المعاملين المجهولين

24. إذا كان: $X \sim B(n, p)$، وكان: $E(X) = 1.4, Var(X) = 1.12$، فأجد $P(X \ge 6)$.

25. تبرير: إذا كان: $X \sim B(3, p)$، وكان: $P(X \ge 1) = \frac{215}{216}$، فأجد $P(X = 2)$، وأُبرِّر إجابتي.

26. تبرير: إذا كان: $X \sim B(100, p)$، وكان التباين للمتغيِّر العشوائي ⁦X⁩ هو 24، فأجد قيمة ⁦p⁩، وأُبرِّر إجابتي.

27. تحدٍّ: يتألَّف اختبار لمبحث الجغرافيا من 25 سؤالًا، جميعها من نوع الاختيار من مُتعدِّد، ولكلٍّ منها 4 بدائل، واحد منها فقط صحيح، ولكل فقرة 4 علامات.

إذا أجاب رامي عن هذه الأسئلة جميعها بصورة عشوائية، فما احتمال أن يحصل على علامة 76 من 100؟