التوزيع الطبيعي

• تعرُّف منحنى التوزيع الطبيعي، وخصائصه.
• إيجاد احتمالات المتغيِّر العشوائي الطبيعي باستعمال القاعدة التجريبية.

من المدرج التكراري إلى منحنى الجرس

إذا كان الزمن الذي يستغرقه شحن سماعة لاسلكية شحنًا كاملًا يتبع توزيعًا طبيعيًّا، وسطه الحسابي 90 دقيقة، وانحرافه المعياري 10 دقائق، فما احتمال أن تكتمل عملية الشحن في أقل من 80 دقيقة؟

• أمثلة المنفصلة: عدد الإخوة وعدد الكتب.
• أمثلة المتصلة: الطول والكتلة.

• تُبيِّن المدرجات التكرارية الآتية كتل مجموعة من الأشخاص الذين اختيروا عشوائيًّا من مدينة ما:
• $n = 100$
• $n = 1000$
• $n = 10000$
• زيادة حجم العيِّنة وتقليص أطوال الفئات يجعلان المدرج التكراري أكثر تناسقًا وقربًا من المنحنى المرسوم باللون الأحمر.

• يُستعمل المنحنى الطبيعي لنمذجة البيانات العددية المتصلة التي تُختار عشوائيًّا في كثير من المواقف الحياتية.
• للمنحنى الطبيعي خصائص تُميِّزه عن غيره من المنحنيات، وهي تُفسِّر كثرة استعماله في التطبيقات الحياتية والعلمية.

ما الخصائص التي تميّز هذا المنحنى؟

خمس خصائص تميّز منحنى الجرس

• المنحنى الطبيعي منحنى متصل له شكل الجرس.
• تتطابق قيم الوسط الحسابي والوسيط والمنوال، وتتوسطها البيانات.
• تتماثل البيانات حول الوسط الحسابي.
• يقترب المنحنى عند طرفيه من المحور $x$ من دون أن يمسَّه.
• المساحة الكلية أسفل المنحنى هي 1.

• يعتمد شكل المنحنى الطبيعي وموقعه على الوسط الحسابي $\mu$، والانحراف المعياري $\sigma$ للبيانات.
• يُمكن ملاحظة أنَّ التغيُّر في الوسط الحسابي يؤدِّي إلى انسحاب أفقي للمنحنى الطبيعي في الشكل ⁦(a)⁩.
• الشكل ⁦(a)⁩: منحنيان بانحراف معياري $\sigma = 1$، وسط الأول $\mu = 0$ ووسط الثاني $\mu = 3$.
• يُلاحظ أنَّ زيادة الانحراف المعياري تجعل المنحنى الطبيعي أكثر انتشارًا وتوسُّعًا في الشكل ⁦(b)⁩.
• الشكل ⁦(b)⁩: منحنيان بوسط $\mu = 0$، انحراف الأول $\sigma = 1$ وانحراف الثاني $\sigma = 2$.

القاعدة التجريبية: أين تقع معظم البيانات؟

• تُمثِّل المساحة التي تقع بين قيمتين من البيانات أسفل المنحنى الطبيعي النسبة المئوية للبيانات الواقعة بين هاتين القيمتين.

وكيف نقيس النسبة المئوية للبيانات تحت هذا المنحنى؟

• مجموعة بيانات على شكل المنحنى الطبيعي، وسطها الحسابي $\mu$، وانحرافها المعياري $\sigma$:

• 68% من البيانات تقريبًا تقع بين $\mu - \sigma$ و $\mu + \sigma$.
• أي: لا يزيد بُعدها عن الوسط الحسابي على قيمة الانحراف المعياري.
• 95% من البيانات تقريبًا تقع بين $\mu - 2\sigma$ و $\mu + 2\sigma$.
• أي: لا يزيد بُعدها عن الوسط الحسابي على مثلي قيمة الانحراف المعياري.
• 99.7% من البيانات تقريبًا تقع بين $\mu - 3\sigma$ و $\mu + 3\sigma$.
• أي: لا يزيد بُعدها عن الوسط الحسابي على ثلاثة أمثال قيمة الانحراف المعياري.

فكيف نقرأ هذه النسب في مثال؟

نقرأ النسب من منحنى علامات الطلبة

إذا اتُّخذ التمثيل البياني لأطوال مجموعة من طلبة الصف السابع شكل المنحنى الطبيعي، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

⁦a)⁩ النسبة المئوية للطلبة الذين تقع أطوالهم فوق الوسط الحسابي.

⁦b)⁩ النسبة المئوية للطلبة الذين لا يزيد البُعد بين أطوالهم والوسط الحسابي على انحراف معياري واحد.

⁦c)⁩ النسبة المئوية للطلبة الذين تقلُّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين.

⁦d)⁩ النسبة المئوية للطلبة الذين تقلُّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على ثلاثة انحرافات معيارية، أو تزيد عليه بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين.

من البيانات إلى المتغير العشوائي الطبيعي

• نوعان من المتغيِّرات العشوائية: المنفصل ⁦(discrete random variable)⁩، والمتصل ⁦(continuous random variable)⁩.

• مثال: عدد السيارات التي ستمر أمام إحدى المدارس خلال الساعة القادمة.

• مثال: سرعة أول سيارة ستمر أمام إحدى المدارس خلال الساعة القادمة.
• الهندسي وذو الحدين متغيران عشوائيان منفصلان؛ لأنَّ كلاً منهما يأخذ قيماً معدودة، مثل: عدد مرات إصابة الهدف، وعدد السيارات.

• $\mu$: الوسط الحسابي.
• $\sigma$: الانحراف المعياري.

• بما أنَّ المساحة أسفل المنحنى الطبيعي هي 1، يُمكن إيجاد احتمال قِيَم المتغير العشوائي الطبيعي باستعمال القاعدة التجريبية.
• المساحة أسفل المنحنى كاملة تُمثل احتمال الحادث الأكيد.

فكيف نحسب احتمالًا بالقاعدة التجريبية؟

نحوّل الاحتمال إلى مساحة تحت المنحنى

إذا كان: $X \sim N(55, 121)$، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

a) $P(X < 55)$

b) $P(55 < X < 66)$

c) $P(X > 77)$

المنحنى الطبيعي يصف قُطر برغي في مصنع

صناعة: إذا دلَّ المتغيِّر العشوائي $X$ على طول قُطر رأس مثقب (بالمِلِّيمتر) تُنتجه آلة في مصنع، حيث: $X \sim N(30, 0.4^2)$، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

a) $P(X > 30)$

b) $P(29.6 < X < 30.4)$

c) $P(29.2 < X < 30)$

d) $P(29.2 < X < 30.4)$

تدرّب: نسب ومساحات واحتمالات

إذا اتُّخذت علامات الطلبة في اختبار لمبحث التاريخ شكل المنحنى الطبيعي، فأجد كُلاً مما يأتي:

1. النسبة المئوية للعلامات التي تقع فوق الوسط الحسابي.

2. النسبة المئوية للعلامات التي لا يزيد البُعد بينها وبين الوسط الحسابي على انحراف معياري واحد.

3. النسبة المئوية للعلامات التي تزيد على الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين.

4. النسبة المئوية للعلامات التي تزيد على الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحراف معياري واحد، أو تقلُّ عنه بمقدار لا يزيد على ثلاثة انحرافات معيارية.

• أُحدّد النسبة المئوية لمساحة المنطقة المُظلّلة أسفل كل توزيع طبيعي مما يأتي:

أُحدّد النسبة المئوية لمساحة المنطقة المُظلّلة في الشكل الثالث.

إذا كان: $X \sim N(79, 144)$، فأجد كُلاً مما يأتي:

10. $P(X < 79)$

11. $P(67 < X < 91)$

12. $P(X > 91)$

13. $P(X > 103)$

14. $P(43 < X < 115)$

15. $P(X < 43)$

أطوال: توصّلت دراسة إلى أنَّ أطوال النساء في إحدى المدن تتبع توزيعاً طبيعياً، وسطه الحسابي ⁦167 cm⁩، وانحرافه المعياري ⁦8 cm⁩. إذا اختيرت امرأة عشوائياً، فأجد كُلاً مما يأتي:

16. احتمال أن يكون طول المرأة أقل من ⁦167 cm⁩

17. احتمال أن يتراوح طول المرأة بين ⁦159 cm⁩ و ⁦167 cm⁩

18. احتمال أن يتراوح طول المرأة بين ⁦151 cm⁩ و ⁦175 cm⁩

صناعة: يُنتج مصنع أكياس أسمنت تتبع كتلتها توزيعاً طبيعياً، وسطه الحسابي $50\ \text{kg}$، وانحرافه المعياري $2\ \text{kg}$. إذا اختير كيس أسمنت عشوائياً، فأجد كُلاً مما يأتي:

19. احتمال أن تكون كتلة الكيس أكثر من $54\ \text{kg}$

20. احتمال أن تتراوح كتلة الكيس بين $44\ \text{kg}$ و $52\ \text{kg}$

اكتشف الخطأ، وبرّر، وتحدَّ نفسك

21. أكتشف الخطأ: قال يوسف: "إنَّ $X \sim N(4^2, t^2)$ متغير عشوائي طبيعي، وسطه الحسابي 4، وانحرافه المعياري $t^2$". أكتشف الخطأ في قول يوسف، ثمَّ أُصحّحه.

22. تبرير: يدلُّ المتغير العشوائي $X \sim N(100, \sigma^2)$ على أطوال الأفاعي (بالسنتيمتر) في أحد مجتمعاتها. إذا كانت أطوال 68% منها تتراوح بين ⁦93 cm⁩ و ⁦107 cm⁩، فأجد $\sigma^2$، وأُبرّر إجابتي.

23. تبرير: إذا كان $X$ متغيراً عشوائياً طبيعياً، وسطه الحسابي $\mu$، وانحرافه المعياري $\sigma$، وكان: $P(X \le \mu + a) = 0.23$، فما قيمة $P(\mu - a \le X \le \mu + a)$؟

24. تحدّ: تتبع العلامات في أحد الاختبارات توزيعاً طبيعياً، وسطه الحسابي 68، وانحرافه المعياري 15. إذا لم ينجح في الاختبار 16% من الطلبة، فأجد علامة النجاح.