التوزيع الطبيعي المعياري

• تعرُّف التوزيع الطبيعي المعياري، وخصائصه.
• إيجاد احتمالات المتغير العشوائي الطبيعي المعياري باستعمال الجدول.

التوزيع الطبيعي المعياري: وسطه صفر وانحرافه واحد

• يُبيّن الشكل المجاور منحنى التوزيع الطبيعي المعياري المتماثل حول الوسط الحسابي 0.

• تُمثّل مساحة المنطقة المُظلّلة احتمال قِيَم المتغير العشوائي الطبيعي المعياري $Z$ التي تقلُّ (أو تساوي) القيمة المعيارية $z$، أو $P(Z \le z)$.

كيف نحصل على قيمة هذه المساحة؟ من الجدول.

الجدول: من ⁦z⁩ إلى المساحة التي على يسارها

• $P(Z < z)$ تساوي المساحة إلى يسار القيمة المعيارية $z$
• وهي المساحة التي يُمكن إيجادها باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري.

• يُبيِّن الشكل التالي جزءاً من جدول التوزيع الطبيعي المعياري الذي يحتوي فيه العمود الأوّل من جهة اليسار على منزلة أجزاء العشرة في قيمة $z$ المعيارية
• ويحتوي فيه الصف الأوّل على منزلة أجزاء المئة في قيمة $z$ المعيارية
• وتُمثّل القيمة المُقابِلة لكلٍّ من هاتين القيمتين في الجدول المساحة أسفل المنحنى الطبيعي المعياري التي تقع يسار قيمة $z$ المعيارية، أو $P(Z < z)$.

• فمثلاً، لإيجاد المساحة أسفل المنحنى الطبيعي المعياري التي تقع يسار $z = 0.35$، أجد القيمة المُقابِلة لكلٍّ من 0.3 في العمود الأوّل، و 0.05 في الصف الأوّل
• وهذه القيمة تساوي $P(Z < 0.35)$
• توجد نسخة كاملة من جدول التوزيع الطبيعي المعياري في الملحق المُرفَق بنهاية الكتاب.

⁦z⁩ السالبة: التماثل يحوّلها إلى موجبة

• ويُمكِن أيضاً إيجاد احتمال القيمة التي تزيد على (أو تساوي) القيمة المعيارية $(-z)$ من الجدول مباشرة
• لأنَّ مساحة المنطقة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي التي تقع يمين القيمة المعيارية $(-z)$ مُساوِية لمساحة المنطقة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي التي تقع يسار القيمة المعيارية $(z)$.

والقيم السالبة؟ الجدول لا يحتوي إلا القيم الموجبة.

أجد كُلاً مما يأتي باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

a) $P(Z < 0.69)$

b) $P(Z < 3.05)$

c) $P(Z > -1.67)$

d) $P(Z > -2.88)$

وماذا عن القيم الأكبر من ⁦z⁩، أي الذيل الأيمن؟

الذيل الأيمن والذيل الأيسر: نطرح من الواحد

• يُمكن استعمال الخصائص الأساسية للتوزيع الطبيعي، إضافةً إلى الجدول، لإيجاد احتمال القِيَم التي تزيد على (أو تساوي) القيمة المعيارية $z$.
• وكذلك احتمال القِيَم التي تقلُّ عن (أو تساوي) القيمة المعيارية $-z$، وذلك باستعمال مُتمّمة الحادث.

a) $P(Z > 2.56)$

b) $P(Z > 1.01)$

c) $P(Z < -0.09)$

d) $P(Z < -1.52)$

وإذا كان المطلوب بين قيمتين معياريتين؟

بين قيمتين: الكبرى ناقص الصغرى

• يُمكن استعمال الخصائص الأساسية للتوزيع الطبيعي لإيجاد احتمال القِيَم التي تقع بين قيمتين معياريتين، وذلك بطرح احتمال القيمة المعيارية الصغرى من احتمال القيمة المعيارية الكبرى.

a) $P(0 < Z < 0.33)$

b) $P(-1 < Z < 1.25)$

والآن نعكس السؤال: الاحتمال معلوم، فما ⁦z⁩؟

نعكس الجدول: من الاحتمال إلى ⁦z⁩

• تعلمتُ في الأمثلة السابقة إيجاد احتمال المتغير العشوائي المعياري، لكنَّ الاحتمال قد يكون معلوماً في بعض الأحيان، وتكون قِيَم المتغير العشوائي $Z$ هي المجهولة.
• وفي هذه الحالة، يُمكن استعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري بطريقة عكسية، وذلك بإيجاد قيمة $z$ التي تُحقّق الاحتمال.

1. أحدّد الإشارة: أنظر موضع المساحة، يسار القيمة أو يمينها، وأقارن الاحتمال بالنصف لأعرف إن كانت القيمة موجبة أم سالبة.
2. أحوّل بالخصائص: أستعمل متمّمة الحادث أو التماثل لأصل إلى احتمال مساحة اليسار لقيمة موجبة.
3. أبحث في الجدول: أجد الاحتمال داخل الجدول وأقرأ القيمة من العمود الأول والصف الأول؛ وإن غاب فأقرب قيمة أقل منه.
4. أكتب القيمة المطلوبة: أضع الإشارة التي حدّدتها في الخطوة الأولى.

أجد قيمة $a$ التي تُحقّق الاحتمال المُعطى في كلٍّ مما يأتي:

a) $P(Z < a) = 0.9788$

b) $P(Z < a) = 0.25$

c) $P(Z > a) = 0.9738$

d) $P(Z > a) = 0.2$

فهل صرتَ تستطيع حلّ مسألة اليوم؟

1. $P(Z < 0.68)$

2. $P(Z < 1.54)$

3. $P(Z > 0.27)$

4. $P(0.49 < Z < 2.9)$

5. $P(-0.08 < Z < 0.8)$

6. $P(0 < Z < 1.07)$

7. $P(Z < -1.25)$

8. $P(Z > -1.99)$

9. $P(-0.5 < Z < 0)$

10. $P(Z < 0.43)$

11. $P(Z > 3.08)$

12. $P(Z < -2.03)$

13. $P(Z > 2.2)$

14. $P(-0.72 < Z < 3.26)$

15. $P(1.5 < Z < 2.5)$

أجد مساحة المنطقة المُظلّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري في كُلٍّ مما يأتي:

16.

17.

أجد قيمة $a$ التي تُحقّق الاحتمال في كُلٍّ مما يأتي:

18. $P(Z < a) = 0.7642$

19. $P(Z < a) = 0.13$

20. $P(Z > a) = 0.8531$

21. $P(Z > a) = 0.372$

أتدرّب: من ⁦z⁩ إلى الاحتمال ومن الاحتمال إلى ⁦z⁩

أفكّر: أكتشف الخطأ وأبرهن وأبرّر

22. أكتشف الخطأ: عبَّرت روان عن المتغير العشوائي الطبيعي المعياري على النحو الآتي:

$\mathrm{N} \sim Z(1, 0^2)$ أكتشف جميع الأخطاء التي وقعت فيها روان، ثمَّ أُصحّحها.

23. تحدّ: إذا كان $a > 0$، فأثبت أنَّ: $P(-a < Z < a) = 2P(Z < a) - 1$.

تبرير: أجد قيمة $a$ الموجبة التي تُحقّق الاحتمال المُعطى في كُلٍّ مما يأتي، وأُبرّر إجابتي:

24. $P(0 < Z < a) = 0.45$

25. $P(-a < Z < a) = 0.1272$