نظريتا الباقي والعوامل

كيف تقسم كثير حدود على آخر دون قسمة طويلة مرهقة، وتضمن ألا يضيع منك حدٌّ أو باقٍ؟ طريقة الجدول تفعل ذلك بترتيب بسيط: تبني شبكة، تملؤها حدًّا حدًّا، وتقرأ منها الناتج والباقي مباشرة.

كثير الحدود: كثير الحدود بمتغير واحد يُكتب بالصورة $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$، حيث $n$ عدد صحيح غير سالب والمعامل الرئيس $a_n\ne0$.

تعتمد طريقة الجدول على أن الضرب عملية عكسية للقسمة. اكتب المقسوم والمقسوم عليه بالصورة القياسية، ثم أنشئ جدولًا فيه منطقة عمل وخانة للباقي، واملأه بحيث يساوي مجموع حدود منطقة العمل المقسوم. توقّف عندما تصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.

الحد المفقود: إذا خلا المقسوم من حدٍّ مثل $x^2$، فاكتبه $0x^2$ قبل البدء. بدون هذا الحد المكاني ينزاح الجدول فتخطئ في كل حدٍّ بعده.

درجة الناتج: درجة الناتج تساوي الفرق بين درجتي المقسوم والمقسوم عليه؛ فمقسومٌ من الدرجة $3$ على مقسوم عليه من الدرجة $1$ يعطي ناتجًا من الدرجة $2$ وباقيًا ثابتًا.

تحقّق من فهمك: لماذا نكتب $0x^2$ قبل القسمة؟ · ما ناتج وباقي $(2x^3-x^2+3)\div(x-3)$؟ · كيف تتأكد من صحة ناتجك دون إعادة القسمة؟

أحيانًا لا تريد ناتج القسمة كله، بل الباقي وحده — فهل تقسم كل مرة؟ لا. الباقي عند القسمة على $x-c$ يساوي قيمة الاقتران عند $c$: تعويض واحد بدل قسمة كاملة.

نظرية الباقي: باقي قسمة $P(x)$ على $x-c$ هو $P(c)$. وبوجه عام، باقي قسمته على $ax-b$ هو $P\!\left(\dfrac{b}{a}\right)$، حيث $a\ne0$.

1. من أين تأتي هذه القاعدة؟ أي قسمة تُكتب $P(x)=(x-c)\,Q(x)+R$، والباقي $R$ ثابت لأن درجته أقل من درجة $x-c$.
2. عوّض $x=c$ فيصير الحد الأول صفرًا، ويبقى $P(c)=R$. إذن الباقي هو $P(c)$ تمامًا.

فكرة مقرّبة: مثلما تعرف باقي قسمة عددٍ بتعويض سريع بدل إتمام القسمة، تعوّض قيمة واحدة في كثير الحدود لتقرأ الباقي فورًا.

طبّق القاعدة حسب شكل المقسوم عليه: على $x-3$ عوّض $x=3$؛ وعلى $x+2$ اكتبه $x-(-2)$ فعوّض $x=-2$؛ وعلى $2x-1$ ساوِ $2x-1=0$ فتحصل على $x=\tfrac12$ ثم عوّض في $P(x)$.

إشارة التعويض: على $x+2$ لا تعوّض $2$؛ الصحيح $-2$. وعلى $2x-1$ لا تعوّض $1$؛ الصحيح $\tfrac12$.

تحقّق: اكتب صيغة الباقي للحالتين $x-c$ و$ax-b$. · لماذا يكون $R=P(c)$؟ · ما باقي قسمة $P(x)=x^3+7x^2-6x+2$ على $x-3$؟

متى يكون الباقي صفرًا؟ عندما لا تترك القسمة شيئًا — أي عندما يكون المقسوم عليه عاملًا. هذه الحالة الخاصة من نظرية الباقي هي بوابة التحليل الكامل.

نظرية العوامل: $x-c$ عامل من عوامل $P(x)$ إذا وفقط إذا كان $P(c)=0$. وبوجه عام، $ax-b$ عامل إذا وفقط إذا كان $P\!\left(\dfrac{b}{a}\right)=0$.

لتحليل كثير حدود تحليلًا كاملًا: جد عاملًا خطيًّا بتعويضٍ يجعل $P=0$، ثم اقسم عليه لتخفض الدرجة، ثم حلّل الناتج التربيعي إن أمكن. هكذا تتفكك كثير الحدود إلى عوامل خطية. مثال محلول بالكامل في «مثال ٣».

«أثبت أن» مقابل «حلّل»: في سؤال «أبيّن أنّ … عامل» يكفي الوصول إلى $P(c)=0$. أما في «حلّل تحليلًا كاملًا» فيجب إكمال القسمة ثم تحليل الناتج.

تحقّق: ما الفرق بين الصفر والعامل؟ · أثبت أن $x+7$ عامل من $x^3-37x+84$. · بعد إثبات العامل، ما خطوتك التالية نحو التحليل الكامل؟

عند حل معادلة من الدرجة الثالثة أو أعلى، من أين تبدأ دون تخمين عشوائي؟ نظرية الأصفار النسبية تعطيك قائمة قصيرة من المرشّحين تختبرها، بدل أن تجرّب كل عدد.

أصفار كثير الحدود هي قيم $x$ التي تجعل $P(x)=0$، وهي بيانيًّا إحداثيات $x$ لنقاط تقاطع المنحنى مع محور $x$؛ فعدد نقاط التقاطع يلمّح إلى عدد الأصفار الحقيقية.

نظرية الأصفار النسبية: إذا كانت معاملات $P(x)$ أعدادًا صحيحة، فكل صفر نسبي له على الصورة $\dfrac{p}{q}$، حيث $p$ عامل للحد الثابت و$q$ عامل للمعامل الرئيس.

اكتب عوامل الحد الثابت وعوامل المعامل الرئيس، وكوّن كل النسب $\dfrac{p}{q}$ الممكنة، ثم اختبرها بالتعويض حتى تجد صفرًا. عند أول صفر، اقسم لتخفض الدرجة وتابع مع الناتج.

قائمة المشتبه بهم: الأصفار النسبية المحتملة كقائمة مشتبه بهم قصيرة: تختصر البحث كثيرًا، لكن ليس كل مرشّح فيها هو الصفر المطلوب.

قائمة اختبار لا قائمة نهائية: غياب الأصفار النسبية لا يعني غياب الأصفار مطلقًا؛ فقد تكون غير نسبية. القائمة للاختبار فقط، لا حصرٌ نهائيٌّ للأصفار.

تحقّق: استخرج الأصفار المحتملة لـ $2x^3+x^2-13x+6$. · لماذا نقسم مباشرة بعد أول صفر؟ · هل يضمن خلوّ القائمة من صفرٍ نسبيّ عدم وجود أيّ صفر؟

الأدوات نفسها تحل معادلات كثيرات الحدود، وكذلك مسائل الحجم والمساحة التي تقود إليها. الحيلة: حوّل المسألة إلى معادلة $P(x)=0$، ثم فكّكها بعاملٍ خطيّ.

خطوات الحل: أثبت عاملًا أولًا بالتعويض، ثم اقسم لتخفض الدرجة، ثم حلّ العامل التربيعي أو حلّله. لا تُكمل التخمين العشوائي بعد العثور على أول صفر.

في مسائل الهندسة، اجعل البُعد المجهول $x$، واكتب العلاقة من قانون الحجم أو المساحة، ثم حلّها كمعادلة كثيرة حدود. فهرمٌ قاعدته مربعة ضلعها $x$ وارتفاعه $x-2$ وحجمه $25\,\text{dm}^3$ يقود إلى $x^3-2x^2-75=0$ ومنه $x=5$ (الحل الكامل في «مثال ٦»).

الأبعاد السالبة: قد تعطي المعادلة جذورًا سالبة؛ يُرفض الجذر الذي يجعل طولًا أو ارتفاعًا سالبًا أو صفرًا، لأنه غير مقبول فيزيائيًّا.

تحقّق: حل $x^3-x^2-14x+24=0$ من الذاكرة. · لماذا نرفض الجذر السالب في مسألة الأبعاد؟ · رتّب خطوات حل معادلة تكعيبية من البداية.