الكسور الجزئية

يبدأ الدرس من عملية تعرفها: عند جمع مقدارين نسبيين مختلفي المقام نوحد المقامات أولا. التجزئة تعمل بالعكس؛ فهي تأخذ المقدار النسبي الناتج وتكتبه في صورة مجموع كسور جزئية أبسط، ولذلك فهي ليست حيلة حفظ بل إعادة بناء لما حدث عند التوحيد.

تجزئة المقادير النسبية: هي كتابة المقدار النسبي في صورة مجموع مقادير جبرية نسبية، كل منها يسمى كسرا جزئيا، بشرط أن تكون درجة البسط أقل من درجة المقام في الكسر المراد تجزئته.

للتجزئة ثلاث حالات رئيسة بحسب تحليل المقام: عوامل خطية مختلفة، عامل خطي مكرر، وعامل تربيعي غير مكرر لا يمكن تحليله لأن مميزه سالب. وإذا كانت درجة البسط مساوية لدرجة المقام أو أكبر، فلا تبدأ بالتجزئة مباشرة؛ بل تقسم البسط على المقام أولا.

قبل التجزئة: اسأل نفسك سؤالين: هل الكسر فعلي؟ وهل حللت المقام كاملا؟ أغلب أخطاء هذا الدرس تبدأ قبل إيجاد الثوابت.

إذا كان المقام يتحلل إلى عوامل خطية مختلفة، فإن كل عامل يعطي كسرا جزئيا مقامه ذلك العامل وبسطه ثابت. مثلا إذا كان المقام $(x-2)(x+1)$، نكتب الصورة $A/(x-2)+B/(x+1)$ ثم نضرب في المقام المشترك لإزالة الكسور.

الصورة العامة: لكل عامل خطي مختلف $ax+b$ نكتب كسرا جزئيا من الصورة $A/(ax+b)$، حيث $A$ ثابت يحدد بالتعويض أو مقارنة المعاملات.

في مثال 1، بعد تحليل $x^2-x-2$ إلى $(x-2)(x+1)$ تصبح المعادلة بعد الضرب: $2x-13=A(x+1)+B(x-2)$. نعوض $x=2$ لحذف $B$ فنجد $A=-3$، ونعوض $x=-1$ لحذف $A$ فنجد $B=5$.

إشارة العامل: العامل $x+1$ يحذف عند $x=-1$، وليس عند $x=1$. اختر قيمة تجعل العامل صفرا.

إذا تكرر عامل خطي في المقام، فلا يكفي أن تكتب كسرا واحدا لذلك العامل. يجب كتابة سلسلة الكسور حتى القوة المكررة؛ فالعامل $(x-2)^2$ يعطي $B/(x-2)+C/(x-2)^2$، وإذا وجد عامل آخر مثل $x$ نضيف له $A/x$. يركز هذا الدرس على عملية تجزئة المقادير النسبية، وهي العملية العكسية لتوحيد المق

المكرر: إذا رأيت $(ax+b)^n$ فاكتب كل المقامات: $ax+b$، ثم $(ax+b)^2$، حتى $(ax+b)^n$.

في مثال 2 يتحلل المقام إلى $x(x-2)^2$، لذلك الصورة الصحيحة هي $A/x+B/(x-2)+C/(x-2)^2$. بالتعويض $x=0$ نحصل على $A=1$، وبالتعويض $x=2$ نحصل على $C=2$، ثم نستخدم قيمة أخرى مثل $x=1$ لنجد $B=-2$.

حذف الحد المكرر: كتابة $A/x+B/(x-2)+C/(x-2)$ خطأ؛ لأن الحدين الأخيرين لهما المقام نفسه ولن يمثلا تكرار العامل.

إذا احتوى المقام على عامل تربيعي غير مكرر ولا يمكن تحليله، يكون بسط الكسر الجزئي المقابل له خطيا لا ثابتا. لذلك في مثال 3 للصورة $(x+1)(x^2+9)$ نكتب $A/(x+1)+(Bx+C)/(x^2+9)$.

عامل تربيعي غير قابل للتحليل: هو عامل من الدرجة الثانية مميزه سالب، لذلك لا يتحلل إلى عوامل خطية حقيقية، ويقابله في التجزئة بسط من الصورة $Ax+B$.

إذا كانت درجة البسط مساوية لدرجة المقام أو أكبر، يجهز المقدار بالقسمة الطويلة. في مثال 4 نقسم $2x^2+13x+6$ على $x^2+6x-16$، فنحصل على ناتج $2$ وباق $x+38$، ثم نجزئ الباقي على $(x+8)(x-2)$.

عدسة الامتحان: لإيجاد الثوابت بسرعة: عوض أصفار العوامل الخطية أولا، ثم استخدم قيمة سهلة مثل $x=0$ أو $x=1$، أو قارن المعاملات عند الحاجة.

بسط العامل التربيعي: لا تكتب $A/(x^2+9)$ للعامل التربيعي؛ الصحيح هو $(Ax+B)/(x^2+9)$ لأن البسط يجب أن تكون درجته أقل بدرجة واحدة من المقام.

مراجعة الدرس

• 1. أجزئ $\frac{2x-5}{(x+2)(x+3)}$؟
• 2. أجزئ $\frac{2x+22}{x^2+2x}$؟
• 3. أجزئ $\frac{4x-30}{x^2-8x+15}$؟
• 4. أجزئ $\frac{6x^2-7x+10}{(x-2)(x^2+1)}$؟
• 5. أجزئ $\frac{2-3x-4x^2}{x(x-1)(1-2x)}$؟
• 6. أجزئ $\frac{x}{8x^2-10x+3}$؟
• 7. أجزئ $\frac1{2x^3-3x^2-32x-15}$؟