التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين

تبدأ دراسة الاحتمالات المتقدمة بفهم تجربة بيرنولي، وهي أي موقف بسيط ينتهي بنتيجتين فقط، مثل فوز أو خسارة، أو ظهور صورة أو كتابة. يتناول هذا الدرس نوعين أساسيين من التوزيعات الاحتمالية للمتغيرات العشوائية المنف

تجربة بيرنولي: هي تجربة عشوائية لها أحد ناتجين فقط، يسمى أحدهما نجاحاً والآخر فشلاً.

عندما نكرر هذه التجربة عدة مرات حتى نحقق أول نجاح، ننتقل إلى ما يسمى بالتجربة الهندسية. ولكي نعتبر التجربة هندسية، يجب توفر أربعة شروط:

1. محاوالت مستقلة ومكررة.
2. ناتجان فقط (نجاح/فشل) لكل محاولة.
3. ثبات احتمال النجاح ($p$) في كل محاولة.
4. التوقف عند أول نجاح.

عند تحديد نوع التجربة، ابحث دائماً عن شرط التوقف؛ إذا كان التوقف مرتبطاً بظهور أول نجاح فهي هندسية، أما إذا كان عدد المحاولات ثابتاً مسبقاً فهي ذي حدين.

يرمز للمتغير العشوائي الهندسي بالرمز $X \sim Geo(p)$، حيث $x$ يمثل عدد المحاولات حتى الوصول للنجاح الأول.

توزيع المتغير الهندسي: يعطى بالصيغة: $P(X = x) = p(1-p)^{x-1}$ حيث $x \in \{1, 2, 3, ...\}$.

خصائص هامة:

• المتغير $X$ لا يمكن أن يأخذ القيمة صفر ($x=0$) لأن النجاح يتطلب محاولة واحدة على الأقل.
• لحساب الاحتمال التراكمي العكسي (احتمال وقوع النجاح بعد المحاولة $x$):

يخطئ الطلاب أحياناً في استخدام الأس؛ تذكر أن الأس في القانون هو $(x-1)$ وليس $x$.

التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين — يتناول هذا الدرس مفهوم تجربة بيرنولي كأساس لبناء التوزيعين الهندسي وذي الحدين، مع شرح القوانين الرياضية لحساب الاحتمالات، التوقع، والتباين لكل منهما.

تذكير: في الامتحان: اكتب القانون ثم عوّض بالأرقام مع الوحدات.

التوقع هو الوسط الحسابي للقيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي عند تكرار التجربة عدداً كبيراً من المرات.

التوقع للهندسي: يساوي مقلوب احتمال النجاح الثابت: $E(X) = \frac{1}{p}$.

مثال سريع: إذا كان احتمال تسجيل هدف هو $0.2$، فإن عدد الركلات المتوقع لتسجيل أول هدف هو $1/0.2 = 5$ ركلات.

لا يتضمن المنهج قانوناً للتباين في التوزيع الهندسي، لذا نكتفي بحساب التوقع فقط.

يختلف توزيع ذي الحدين عن الهندسي في أن عدد المحاولات ($n$) محدد وثابت قبل البدء بالتجربة. يرمز له بالرمز $X \sim B(n, p)$.

توزيع ذي الحدين: يعطى بالصيغة: $P(X = r) = \binom{n}{r} p^r (1-p)^{n-r}$ حيث $r$ هو عدد النجاحات المطلوبة.

شروط تجربة ذي الحدين:

1. اشتمال التجربة على $n$ من المحاولات المستقلة.
2. ناتجان فقط لكل محاولة.
3. ثبات احتمال النجاح $p$.
4. وجود عدد محدد $n$ للمحاولات.

توزيع ذي الحدين يشبه اختيار فريق من الطلاب؛ أنت تعرف مسبقاً عدد الطلاب الذين ستختارهم ($n$) وتبحث عن احتمال أن يكون بينهم عدد معين من المتفوقين ($r$).

يتميز توزيع ذي الحدين بوجود قوانين مباشرة لحساب التوقع والتباين بناءً على المعاملات $n$ و $p$.

يمكن التعبير عن التباين بدلالة التوقع كالتالي: $Var(X) = (1-p)E(X)$.

• التوقع ($E(X)$): هو حاصل ضرب عدد المحاولات في احتمال النجاح.

في المسائل الكلامية، إذا أعطاك 'الاحتمال التجريبي' (مثل 140 نجاح من أصل 200)، استخدمه كقيمة لـ $p$ لحساب التوقعات المستقبلية.

• التباين ($Var(X)$): يقيس تشتت القيم عن الوسط الحسابي.

تدريب مهم: بعد هذا القسم، راجع أمثلة 1–7 وأسئلة نهاية الدرس في آخر بطاقة.

• سؤال: إذا كان $X \sim Geo(0.2)$، فما قيمة $P(X=2)$؟

• سؤال: ألقي حجر نرد منتظم 6 مرات، ما احتمال ظهور العدد 7؟

• سؤال: أطلق رامي رصاصة نحو هدف، إذا كان احتمال الإصابة $0.7$، فما احتمال أن يصيب الهدف لأول مرة في المحاولة العاشرة؟

• سؤال: في دراسة طبية، إذا كان 10% من الأطفال تظهر عليهم أعراض جانبية، فما التوقع لعدد الأطفال المصابين في عينة من 50 طفلاً؟

• سؤال: إذا كان $X \sim B(21, p)$ وكان $P(X=10) = P(X=9)$، فما قيمة $p$؟