التقعر ونقط الانعطاف

التقعر: هل يقع المنحنى فوق مماساته أم تحتها؟

تزخر فلسطين بالأماكن الترفيهية وتحتوي بعض هذه الأماكن ألعاباً مرعبة، مثل القطار الموجود في الصورة المجاورة.

• الشكل المجاور يمثل منحنى الاقتران $ق(س)$.
• الأعلى: مماسا الاقتران عند جـ، د يقعان فوق منحناه.
• الأسفل: مماسا الاقتران عند هـ، و يقعان تحت منحناه.

حدد مستعيناً بالرموز المدرجة على الصورة المناطق التي يشعر فيها راكب القطار بالرعب والخطر، والمناطق التي تكون أكثر أماناً. فسر إجابتك.

ما إشارة ميل المماس لمنحنى الاقتران $ق(س)$ عند كل من جـ، د؟ (لاحظ أن مماسي الاقتران $ق(س)$ عند جـ، د يقعان فوق منحناه)

اختبار التقعر: إشارة المشتقة الثانية تحدد الاتجاه

1. المشتقة الثانية: اشتق الاقتران مرتين.
2. الأصفار: ضع المشتقة الثانية تساوي صفراً، وحدد قيم س التي لا توجد عندها.
3. الإشارة: ادرس إشارة المشتقة الثانية على كل فترة.
4. التقعر: موجبة: للأعلى. سالبة: للأسفل.

فكيف يطبّق الكتاب هذا الاختبار على اقتران محدد؟

تطبيق الاختبار: ثلاثة أمثلة على مجالات التقعر

يكون منحنى $ق(س)$ مقعراً للأعلى في الفترة $]٠، \infty[$ (لماذا؟)

$ق(س)$ متصل في $]٠، \frac{\pi}{٣}[$ (لماذا؟)

نقطة الانعطاف: حيث يتبدل اتجاه التقعر

البحث عن نقاط الانعطاف: مثالان

هل النقطة $(\frac{\pi}{٢}، ٠)$ نقطة انعطاف أفقي؟ فسر إجابتك.

نقط الانعطاف وزواياها لاقتران كثير حدود

النقطتان $(٠، ٠)، (١، -١)$ هما نقطتا انعطاف (لماذا؟)

اقتران متشعب: التقعر على كل فرع

$٦س = ٠$ ومنها $س = ٠$ ترفض (لماذا؟)

عندما $٢ < س < ٤$ فإن $ق''(س) \ne ٠$ (لماذا؟)

من منحنى ق' إلى كل ما يخص الاقتران ق

نقاط الانعطاف تكون عند $س = -١، س = ١$ (لماذا؟)

اقتران كثير حدود: المشتقة الثانية صفر عند نقطة الانعطاف

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود من الدرجة الثالثة، وكان منحناه يمر بالنقطة $(٠، ٥)$ وله نقطة انعطاف أفقي عند النقطة $(٢، ١)$، جد قاعدة الاقتران $ق(س)$ نفرض أن $ق(س) = أ س^{٣} + ب س^{٢} + جـ س + د$، حيث $أ، ب، جـ، د \in ح$، $أ \ne ٠$

اختبار المشتقة الثانية: متى يحدد القيمة القصوى ومتى يفشل؟

من الشكل المجاور لا يوجد قيمة قصوى محلية عند $س = ١$ (لماذا؟)

تمارين: طبّق اختبار التقعر واختبار المشتقة الثانية

عين فترات التقعر للأعلى وللأسفل لمنحنى الاقتران $ق(س)$ في الحالات الآتية:

أ. $ق''(س) = (س^٢ - ٣س - ٤)(س + ٢)$، $س \in ح$ ب. $ق'(س) = \text{جا}س - س$، $س \in ]\frac{-\pi}{٢}، \frac{\pi}{٢}[$ ج. $ق(س) = ٤س^٣ - س^٤ + س$، $س \in ]٠، ٤[$ د. $ق(س) = (س - ٣)^{\frac{٣}{٢}}$، $س > ٣$ هـ. $ق(س) = \text{جا}\frac{س}{٢}$، $س \in ]٠، \pi[$ و. $ق(س) = ه^س \text{جتا}س$، $س \in ]٠، ٢\pi[$ ز. $ق(س) = \begin{cases} [\frac{١}{٣}س - ١] & ١ < س \leq ٣ \\ س^٣ & ٣ < س < ٥ \end{cases}$

حدد نقاط الانعطاف لمنحنى الاقتران $ق(س)$ في الحالات الآتية (إن وجدت):

أ. $ق(س) = س^٣ + س$ ب. $ق(س) = \text{جتا}س$، $س \in ]٠، ٢\pi[$ ج. $ق(س) = \sqrt[٣]{٥ - س}$

جد القيم القصوى المحلية لكل من الاقترانات الآتية، وحدد نوع كل منها باستخدام اختبار المشتقة الثانية (إن أمكن تطبيقها)، وفي حالة عدم إمكانية تطبيقها استخدم اختبار المشتقة الأولى:

أ. $ق(س) = س^٣ + ٦س^٢$ ب. $ق(س) = |س + ٦|$

إذا كان للاقتران $ق(س) = أ س^٢ + س^٣$ نقطة انعطاف عند $س = -١$، فجد قيمة/ قيم الثابت أ.

الشكل المجاور يمثل منحنى الاقتران $ق''(س)$ إذا علمت أن $ق'(٠) = ق'(٦) = ٠$، جد كلاً مما يأتي:

أ. فترات التقعر ونقاط الانعطاف لمنحنى الاقتران $ق(س)$ ب. القيم القصوى المحلية للاقتران $ق(س)$ ج. فترات التزايد والتناقص لمنحنى الاقتران $ق(س)$

إذا كان $ق(س)$ اقتران كثير حدود من الدرجة الثالثة، يمر منحناه بالنقطة $(١، ٥)$ وله نقطة انعطاف عند $س = ٢$ بحيث إن معادلة المماس عند نقطة الانعطاف هي: $٣س + ص = ٧$، جد قاعدة الاقتران $ق(س)$.

إذا كان للاقتران كثير الحدود $ق(س) = س^{٤} - ٤س^{٣} + ك(س)$ نقطة انعطاف أفقي هي $(١، ٢)$، وكان $ع(س) = ك^{٢}(س)$، احسب $ع''(١)$.

إذا كان $ق(س)$ اقتراناً متصلاً في الفترة $[-٣، ٢]$ ويحقق الشروط الآتية:

$ق(٠) = ٠$، $ق'(١) = ٠$، $ق'(-٢) = ٠$ $ق''(س) > ٠$ عندما $س < ٠$، $ق''(س) < ٠$ عندما $س > ٠$ أ. حدد فترات التزايد والتناقص لمنحنى الاقتران $ق(س)$.

ب. ما قيمة/ قيم س التي يكون للاقتران $ق(س)$ عندها قيم قصوى؟ وما نوع كل منها؟

ج. ما قيمة/ قيم س التي يكون للاقتران $ق(س)$ عندها نقط انعطاف؟