شرح تطبيقات هندسية وفيزيائية – الرياضيات (الفرع العلمي)

آخر تحديث: ٣ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (٤)

شرح الموضوع

إذا كان $ق(س)$ اقتراناً قابلاً للاشتقاق عند النقطة $أ(س_{١}، ق(س_{١}))$ ، فإن ميل المنحني عند النقطة أ هو ميل المماس المرسوم لمنحني $ق(س)$ ، ويساوي $ق'(س_{١})$ .

تطبيقات هندسية وفيزيائية

أولاً: تطبيقات هندسية

من الطريق المنحني إلى المماس

مثال

نشاط ١: والذي تمثله النقطة $(١، ٨)$ في مستوى إحداثي متعامد $ص = ٤س^{٢} + ٤س$ جد معادلة الطريق م علماً بأن الطريقين متماسان عند النقطة ن. إذا كانت النقطة ل $(٢، و)$ تمثل موقع إشارة ضوئية في مستوى الطريقين، فما قيمة $(و)$ بحيث تقع الإشارة الضوئية على الطريق م؟ إجابة مقترحة (ليست من الكتاب): ميل الطريق ع عند ن = ق'(١): $ق'(س) = ٨س + ٤$ فيكون $ق'(١) = ١٢$ . معادلة الطريق م (مماس عند $(١، ٨)$ ): $ص - ٨ = ١٢(س - ١)$ أي $ص = ١٢س - ٤$ . الإشارة عند $س = ٢$ : $و = ١٢ × ٢ - ٤ = ٢٠$ .

نلاحظ في الشكل المجاور أن معدل التغير للاقتران $ق(س)$ (ميل المنحني) عند $س_{١}$ ، هو ميل المماس المرسوم للمنحني وتساوي $ق'(س_{١})$ ، ونسمي النقطة $(س_{١}، ق(س_{١}))$ نقطة التماس.

تعريف:

مثال

المثال ١: جد ميل منحنى الاقتران $ق(س) = س^{٣} + ٥س$ عند $س = ١$ ، ثم جد معادلتي المماس والعمودي على المماس عند تلك النقطة. ميل المنحني عند $س = ١$ يساوي $ق'(١)$ $ق'(س) = ٣س^{٢} + ٥$ ومنها $ق'(١) = ٨$ = ميل المماس $ق(١) = ١ + ٥ = ٦$ لكن نقطة التماس هي $(١، ق(١))$ = $(١، ٦)$ معادلة المماس هي: $ص - ص_{١} = م(س - س_{١})$ أي: $ص - ٦ = ٨(س - ١)$ ومنها $ص = ٨س - ٢$ ميل العمودي على المماس = $\frac{-١}{ميل المماس} = \frac{-١}{٨}$ $ص - ٦ = \frac{-١}{٨}(س - ١)$ $٨ص - ٤٨ = -س + ١$ $٨ص + س - ٤٩ = ٠$ (تحقق من ذلك)

في المثال التالي الزاوية معطاة بدل نقطة التماس.

مثال

المثال ٢: إذا كان المماس لمنحنى $ق(س) = \frac{٤}{س}$ ، $س > ٠$ ، يصنع زاوية قياسها $١٣٥°$ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات، أثبت أن العمودي على المماس عند نقطة التماس لمنحنى $ق(س)$ يمر بالنقطة $(٠، ٠)$ . نفرض نقطة التماس $(س_{١}، ص_{١})$ ميل المماس = $ظا ١٣٥ = -١$ $ق'(س_{١}) = \frac{-٤}{س_{١}^{٢}}$ ومنها $-١ = \frac{-٤}{س_{١}^{٢}}$ $س_{١}^{٢} = ٤$ إذن $س_{١} = ٢$ لأن $س > ٠$ $ص_{١} = \frac{٤}{٢} = ٢$ نقطة التماس هي $(٢، ٢)$ ومنها ميل العمودي = $\frac{-١}{-١} = ١$ معادلة العمودي هي $ص - ٢ = ١(س - ٢)$ ومنها $ص = س$ النقطة $(٠، ٠)$ تقع على العمودي على المماس.

مماس عند نقطة معلومة

نطبّق الفكرة نفسها على اقتران أُسّي نسبي.

مثال

المثال ٣: جد معادلة المماس لمنحنى الاقتران $ق(س) = \frac{س^{٢}}{هـ^{س}}$ عند النقطة التي إحداثيها السيني = $١$ $ق'(س) = \frac{٢س هـ^{س} - س^{٢} هـ^{س}}{(هـ^{س})^{٢}}$ $ق'(١) = \frac{٢هـ - هـ}{هـ^{٢}} = \frac{١}{هـ}$ ومنها يكون ميل المماس = $ق'(١) = \frac{١}{هـ}$ عندما $س_{١} = ١$ ، فإن $ص_{١} = \frac{١}{هـ}$ فتكون معادلة المماس هي: $ص - \frac{١}{هـ} = \frac{١}{هـ}(س - ١)$ ومنها $هـ ص = س$

ميل المماس يساوي ميل المنحنى

نبحث الآن عن نقطة التماس من مستقيم معلوم.

في المثال التالي نقطة التماس معلومة، والمجاهيل أكثر من واحد.

مثال

المثال ٥: إذا كان المستقيم $ص = ج س + ٥$ يمس منحنى الاقتران $ق(س) = أ س^{٣} + ب س^{٢}$ عند النقطة $(-١، -٣)$ جد قيم $أ، ب، ج$ النقطة $(-١، -٣)$ تحقق معادلة المستقيم، ومنها $-٣ = ج(-١) + ٥$ $-٨ = -ج$ أي أن $ج = ٨$ ومنها $ص = ٨س + ٥$ لكن النقطة $(-١، -٣)$ تحقق معادلة المنحني -٣ = $أ(-١)^{٣} + ب(-١)^{٢}$ أي أن $-٣ = -أ + ب$ ... (١) كما أن ميل المماس = ميل المنحني عند النقطة $(-١، -٣)$ ومنها $٣أ(-١)^{٢} + ٢ب(-١) = ٨$ ومنها $٣أ - ٢ب = ٨$ ... (٢) $ب = أ - ٣$ $٣أ - ٢(أ - ٣) = ٨$ $أ + ٦ = ٨$ وبحل المعادلتين ينتج أن: $أ = ٢$ ، $ب = -١$

السرعة والتسارع: مشتقة بعد مشتقة

السرعة المتوسطة في الفترة $[ن_{١}، ن_{٢}]$ تساوي $\frac{Δف}{Δن}$ = $\frac{ف(ن_{٢}) - ف(ن_{١})}{ن_{٢} - ن_{١}}$

ومنها يكون ميل المماس = $ق'(١) = \frac{١}{هـ}$ (لماذا؟)

(ماذا تعني السرعة السالبة؟)

يرتطم الجسم بالأرض عندما تكون $ف(ن) = -١٣٥$ م (فسّر).

أي أن المسافة المقطوعة = $١٢٥$ م (لماذا؟)

تعريف:

مثال

المثال ٦: تحرك جسم على خط مستقيم، بحيث إن بعده عن نقطة ثابتة (و) يتحدد بالعلاقة $ف = ن^{٣} - ٩ن^{٢} + ٧$ حيث ف بعده بالأمتار، ن الزمن بالثواني السرعة المتوسطة للجسم في الفترة $[١، ٣]$ تسارع الجسم عندما يعكس الجسم اتجاه حركته. $ف(٣) = ٢٧ - ٨١ + ٧ = -٤٧$ $ف(١) = ١ - ٩ + ٧ = -١$ السرعة المتوسطة = $\frac{Δف}{Δن}$ $\frac{ف(٣) - ف(١)}{٣ - ١}$ $\frac{-٤٧ - -١}{٢} = -٢٣$ م/ث $ف'(ن) = ع(ن) = ٣ن^{٢} - ١٨ن$ يعكس الجسم اتجاه حركته في اللحظة التي تتغير فيها إشارة ع أي عندما $ع(ن) = ٠$ ، ومنها $٣ن^{٢} - ١٨ن = ٠ \Rightarrow ٣ن(ن - ٦) = ٠$ $ن = ٠$ ، $ن = ٦$ ثوان يعكس الجسم اتجاه حركته بعد $٦$ ثوان $ت(ن) = ٦ن - ١٨$ $ت(٦) = ٦ × ٦ - ١٨ = ١٨$ م/ث $^{٢}$

أقصى ارتفاع حيث السرعة صفر

نطبّق السرعة والتسارع على جسم مقذوف رأسياً.

مثال

المثال ٧: قذف جسم رأسياً إلى أعلى من نقطة على سطح الأرض، بحيث يتحدد بعده عن سطح الأرض بالعلاقة $ف(ن) = ٢٠ن - ٥ن^{٢}$ أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم. سرعة الجسم وهو على ارتفاع $١٥$ م من سطح الأرض. المسافة التي قطعها الجسم خلال الثواني الأربعة الأولى. عندما يصل الجسم أقصى ارتفاع فإن $ع(ن) = ٠$ $ع(ن) = ٢٠ - ١٠ن = ٠$ أي أن $ن = ٢$ ثانية أقصى ارتفاع = $ف(٢)$ $ف(٢) = ٢٠ \times ٢ - ٥ \times ٤ = ٢٠$ م عندما يكون الجسم على ارتفاع $١٥$ م فإن $ف(ن) = ١٥$ $٢٠ن - ٥ن^{٢} = ١٥$ $٥ن^{٢} - ٢٠ن + ١٥ = ٠$ $ن^{٢} - ٤ن + ٣ = ٠$ $(ن - ١)(ن - ٣) = ٠$ ومنها $ن = ١$ ، $ن = ٣$ $ن = ١$ $ع(١) = ٢٠ - ١٠ \times ١ = ١٠$ م/ث، الجسم صاعد. $ن = ٣$ $ع(٣) = ٢٠ - ١٠ \times ٣ = -١٠$ م/ث عندما $ن = ٤$ ثانية يكون الجسم على ارتفاع: $ف(٤) = ٢٠ \times ٤ - ٥ \times ١٦ = ٠$ م، أي يكون الجسم قد وصل سطح الأرض، وتكون المسافة المقطوعة = $٢ \times$ أقصى ارتفاع - $ف(٤) = ٤٠$ م

المثال التالي يبدأ القذف من قمة برج لا من الأرض.

مثال

المثال ٨: قذف جسم رأسياً إلى أعلى من قمة برج بحيث إن ارتفاعه عن البرج بالأمتار بعد ن ثانية يعطى بالعلاقة $ف(ن) = ٣٠ن - ٥ن^{٢}$ ارتفاع البرج علماً بأن أقصى ارتفاع للجسم عن سطح الأرض = $١٨٠$ م سرعة ارتطام الجسم بسطح الأرض. المسافة الكلية المقطوعة خلال الثواني السبعة الأولى. عند أقصى ارتفاع عن قمة البرج تكون $ع(ن) = ٠$ $ع(ن) = ف'(ن) = ٣٠ - ١٠ن$ $٣٠ - ١٠ن = ٠$ ومنها $ن = ٣$ $ف(٣) = ٣٠(٣) - ٥(٩) = ٤٥$ أقصى ارتفاع عن قمة البرج = $ف(٣) = ٤٥$ م لكن أقصى ارتفاع عن سطح الأرض = $١٨٠$ م ارتفاع البرج = $١٨٠ - ٤٥ = ١٣٥$ م يرتطم الجسم بالأرض عندما تكون $ف(ن) = -١٣٥$ م $٣٠ن - ٥ن^{٢} = -١٣٥$ $ن^{٢} - ٦ن - ٢٧ = ٠$ بحل المعادلة ينتج أن $ن = ٩$ ومنها السرعة = $٣٠ - ١٠ \times ٩ = -٦٠$ م/ث $ف(٧) = ٢١٠ - ٢٤٥ = -٣٥$ عندما $ن = ٧$ الإزاحة = $-٣٥$ أي أن المسافة المقطوعة = $١٢٥$ م

تمارين ١-٥

أطبّق على المماس والحركة

جد النقطة/النقط على منحنى $ق(س) = س^{٢} - ٢س + ١$ التي يكون عندها المماس للمنحني عمودياً على المستقيم $س + ٢ص - ٤ = ٠$

جد معادلة المماس لمنحنى $ق(س) = ٣ - ظا^{٢} س$ عندما $س = \frac{\pi}{٤}$

إذا كان المماس لمنحنى $ق(س) = لو_هـ \frac{س}{٢}$ عندما $س = ٢$ يقطع محوري السينات والصادات في النقطتين $ب$ ، $جـ$ على الترتيب، جد مساحة المثلث $م ب جـ$ ، حيث $م$ نقطة الأصل.

إذا كان المستقيم $س = أ - ٦ص$ يمس منحنى الاقتران $ق(س) = \frac{٣س}{س - ٢}$ ، $س \ne ٢$ ، جد قيم $أ$ .

قذف جسم رأسياً إلى أعلى وفق العلاقة $ف = ٤٠ن - ٥ن^{٢}$ ، حيث ف ارتفاعه بالأمتار، ن بالثواني. جد سرعة الجسم عندما تكون المسافة الكلية المقطوعة $١٠٠$ م.

من نقطة على سطح الأرض قذف جسم رأسياً إلى أعلى، وكان ارتفاعه $ف$ بالأمتار بعد $ن$ من الثواني يعطى بالعلاقة $ف = ٣٠ن - ٥ن^{٢}$ ، جد:

أ. أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم.

ب. سرعة الجسم وهو نازل عندما يكون على مستوى سطح العمارة التي ترتفع $٤٠$ م.

تعريفات أساسية

ميل المنحني: إذا كان $ق(س)$ اقتراناً قابلاً للاشتقاق عند النقطة $أ(س_{١}، ق(س_{١}))$ ، فإن ميل المنحني عند النقطة $أ$ هو ميل المماس المرسوم لمنحني $ق(س)$ ، ويساوي $ق'(س_{١})$
العمودي على منحنى الاقتران: ويعرف العمودي على منحنى الاقتران، بأنه العمودي على المماس للمنحني عند نقطة التماس
السرعة اللحظية: السرعة اللحظية (ع) عند الزمن ن هي ع(ن) = $\frac{دف}{دن} = ف'(ن)$
التسارع اللحظي: التسارع اللحظي ( $ت$ ) عند الزمن $ن$ هو $ت$ = $\frac{دع}{دن}$ = $\frac{د^{٢}ف}{دن^{٢}}$ = $ف''(ن)$

معاينة موضوع «تطبيقات هندسية وفيزيائية» من وحدة «حساب التفاضل» في مادة الرياضيات (الفرع العلمي). أقسام الشرح: ٤، التعريفات: ٤، الأسئلة المحلولة: ٥.

المصدر: وزارة التربية والتعليم، تطبيقات هندسية وفيزيائية (ص ٣٤–٤٠)

تطبيقات هندسية وفيزيائية

شرح الموضوع

تطبيقات هندسية وفيزيائية

من الطريق المنحني إلى المماس

تعريف:

مماس عند نقطة معلومة

ميل المماس يساوي ميل المنحنى

السرعة والتسارع: مشتقة بعد مشتقة

تعريف:

أقصى ارتفاع حيث السرعة صفر

تمارين ١-٥

أطبّق على المماس والحركة

تعريفات أساسية

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد