قاعدة لوبيتال، ومشتقة الاقتران الأسي واللوغاريتمي

النقطة الذهبية وسؤال النهاية غير المعينة

اتفقت أنا وزملائي بأن نسمي النقطة (أ، ٠) بالنقطة الذهبية

• لأنه إذا كان ق(س)، هـ(س) اقترانين كثيري حدود يمران بالنقطة (أ، ٠) فإن:
• $\lim_{س \to أ} (ق(س) \pm هـ(س)) = ٠$
• $\lim_{س \to أ} (ق(س) \times هـ(س)) = ٠$

$\lim_{س \to أ} \frac{ق(س)}{هـ(س)}$ بالتعويض المباشر = $\frac{٠}{٠}$

• تعلمت في الصف الحادي عشر كيفية إيجاد النهايات التي تكون على الصورة غير المعينة
• وهنا سوف نتعلم طريقة جديدة لحساب قيمة بعض هذه النهايات.

ما الطريقة الجديدة التي تختصر الخطوات؟

قاعدة لوبيتال: نشتق البسط والمقام

• سوف لا نتعرض لحالات لوبيتال الأخرى.

كيف تبدو القاعدة في مثال؟

أمثلة على النهاية غير المعينة

وماذا لو بقي الناتج غير معين بعد الاشتقاق؟

تكرار القاعدة وتغيير المتغير

• نفرض $٢ - ٥هـ = و$، ومنها $هـ = \frac{٢ - و}{٥}$
• وعندما $هـ \to ٠$، فإن $و \to ٢$

والآن إلى الاقترانات التي يظهر فيها العدد النيبيري.

من البكتيريا إلى العدد النيبيري

• تعلمت سابقاً الاقتران الأسي الذي يكتب على الصورة
• $ق(س) = أ^{س}$، $أ \ne ١$، $أ > ٠$
• الاقتران اللوغاريتمي على الصورة $ل(س) = لو_{أ} س$، $س > ٠$، $أ \ne ١$، $أ > ٠$
• وسوف نقتصر دراستنا على الاقتران الأسي الطبيعي $ق(س) = هـ^{س}$، والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي $ق(س) = لو_{هـ} س$

ويحقق العلاقة الآتية: $\lim_{س \to ٠} \frac{هـ^س - ١}{س} = ١$

ما خصائص هذين الاقترانين؟

خصائص الاقترانين الطبيعيين

• $هـ^{لو_{هـ} س} = س$، $س > ٠$

فماذا تكون مشتقة الاقتران الأسي الطبيعي نفسه؟

مشتقة الاقتران الأسي الطبيعي

وما مشتقة اللوغاريتم الطبيعي؟

مشتقة اللوغاريتم الطبيعي

• بين باستخدام قاعدة لوبيتال ما يأتي:

• جد مشتقة كل من الاقترانات الآتية:

احسب النهايات الآتية باستخدام قاعدة لوبيتال:

$\lim_{س \to ١} \frac{هـ^{س-١} - س}{لو_هـ س}$ $\lim_{س \to ٠} \frac{٤س}{ظاس}$ $\lim_{س \to ٠} \frac{س - جاس}{س^٣}$

جد $\frac{دص}{دس}$ في كل مما يأتي:

$ص = هـ^{س} جتا س$ $ص = لو_هـ \sqrt{س}$، $س > ٠$ $ص = لو_هـ \sqrt{\frac{س^{٣}}{س^{٨}}}$، $س > ٠$ $ص = (هـ^{س} - ٢)(هـ^{س} + ٢)$

إذا كان $ق'(١) = -٢$، $ق(٣) = -٢$، $ق'(٣) = ٤$ جد قيمة النهايات الآتية:

$\lim_{هـ \to ٠} \frac{ق(٣ + ٥هـ) - ق(٣)}{١٠هـ}$ $\lim_{س \to ١} \frac{س^{٢} - ١}{ق(١) - ق(س)}$

إذا كانت $ص = س^{٢} + هـ^{س} + ١$، فجد قيمة / قيم $س$ التي تجعل $ص' = ص$

أثبت باستخدام قاعدة لوبيتال أن:

$\⁦lim_{⁩س \⁦to⁩ أ} \⁦frac{⁩س^ن - أ^ن}{س^م - أ^م} = \⁦frac{⁩ن}{م} أ^{ن-م}، أ ≠ ٠

جد $\lim_{س \to ١} \frac{س ق(١) - ق(س)}{س - ١}$ باستخدام قاعدة لوبيتال، علماً بأن $ق'(١) = ٣$، $ق(١) = ٦$

إذا كان $ق'(٢) = ٣$، $ق''(٢) = ٥$، جد $\lim_{س \to ١} \frac{ق'(٢س) - ق'(٢)}{س - ١}$