القيم القصوى

القيم القصوى: أعلى نقطة وأدنى نقطة

تعرض آلاف الفلسطينيين المقدسيين إلى فقدان حق الإقامة في مدينتهم القدس، منذ زمن طويل، والشكل المجاور يمثل مخططاً بيانياً لعدد بطاقات الهوية المقدسية المصادرة خلال الأعوام ١٩٩٣-٢٠١٤.

كان عدد البطاقات المصادرة عام $٢٠٠٨$ أكبر ما يمكن. (لماذا؟)

هل كل قيمة قصوى محلية هي قيمة قصوى مطلقة، أم العكس هو الصحيح؟

ما صحة القول أن القيمة العظمى المحلية للاقتران دائماً أكبر من القيمة الصغرى المحلية له؟

• ليكن $ق(س)$ اقتراناً معرفاً على المجال $ع$، ولتكن $جـ \in ع$، عندها يكون للاقتران $ق(س)$:

النقطة الحرجة: أين تُبحث القيم القصوى؟

الشكل المجاور يمثل منحنى الاقتران $هـ(س)$ في الفترة $[-٢، ٢]$

يوجد قيمة عظمى محلية عند $س = -٢$ والسبب؟

عند $س = ٠$ يوجد قيمة محلية والسبب؟

$هـ'(٢) =$ ؟ ، $هـ'(٠) =$ ؟ ، $هـ'(-٢) =$ ؟

وماذا لو ظهر في الاقتران رمز أكبر عدد صحيح؟

اختبار المشتقة الأولى: تغيّر الإشارة يكشف القمة والقاع

• إذا كان ق'(س) > ٠ عندما أ < س < جـ، وكان ق'(س) < ٠ عندما جـ < س < ب فإن ق(جـ) قيمة عظمى محلية للاقتران ق(س)
• إذا كان ق'(س) < ٠ عندما أ < س < جـ، وكان ق'(س) > ٠ عندما جـ < س < ب فإن ق(جـ) قيمة صغرى محلية للاقتران ق(س)

1. المشتقة: نجد المشتقة الأولى للاقتران ونتأكد من اتصاله.
2. النقاط الحرجة: نجد أين تساوي المشتقة صفراً، وأين تكون غير موجودة.
3. الإشارة: ندرس إشارة المشتقة قبل كل نقطة حرجة وبعدها على خط الأعداد.
4. القرار: تغير الإشارة من موجبة إلى سالبة يعني عظمى، ومن سالبة إلى موجبة يعني صغرى.

هل يأخذ الاقتران $ق(س)$ في المثال السابق قيماً قصوى مطلقة؟ حددها (إن وجدت).

هل يوجد قيم قصوى للاقتران عندما $س = ٠$ في المثال السابق (لماذا؟)

اختبار أطراف الفترة: ماذا يحدث عند البداية والنهاية؟

• ق(أ) قيمة صغرى محلية، إذا كانت ق'(س) > ٠ عندما س > أ (بداية تزايد)
• ق(أ) قيمة عظمى محلية، إذا كانت ق'(س) < ٠ عندما س > أ (بداية تناقص)
• ق(ب) قيمة عظمى محلية، إذا كانت ق'(س) > ٠ عندما س < ب (نهاية تزايد)
• ق(ب) قيمة صغرى محلية، إذا كانت ق'(س) < ٠ عندما س < ب (نهاية تناقص)

أعلى وأدنى قيمة على فترة مغلقة

1. المجال: نحدد مجال الاقتران ونتأكد أنه متصل على فترة مغلقة.
2. النقاط: نجد القيم التي تجعل المشتقة صفراً داخل الفترة.
3. الحساب: نحسب قيمة الاقتران عند هذه القيم وعند طرفي الفترة.
4. المقارنة: أكبر القيم المحسوبة هي العظمى المطلقة، وأصغرها هي الصغرى المطلقة.

تدرّب: تمارين القيم القصوى

جد النقط الحرجة للاقترانات الآتية:

أ. $ق(س) = \frac{١}{٣}س^٣ - س^٢ + \frac{١}{٣}$، $س \in [-٢، ٣]$

ب. $ق(س) = س^{\frac{٢}{٣}}$، $س \in [-٨، ٨]$

في التمارين من (أ - و) جد القيم العظمى والصغرى المحلية للاقتران $ق(س)$ (إن وجدت) أ. $ق(س) = س^٣ - ٩س^٢ + ٢٤س$، $س \in ح$

ب. $ق(س) = \sqrt{٤ - س^٢}$

ج. $ق(س) = (س^٢ - ٣)هـ^س$، $س \in ح$

د. $ق(س) = \frac{س^٣ - ١}{س - ١}$، $س \neq ١$

هـ. $ق(س) = \text{جتا}^٢س - \text{جا}^٢س$، $س \in [٠، \pi]$

و. $ق(س) = هـ^{-(س-٢)^٢}$، $س \in ح$

جد أكبر وأصغر قيمة (إن وجدت) لكل من الاقترانات الآتية:

أ. $ق(س) = \begin{cases} س^٣ & ٠ \leq س \leq ٢ \\ س^٢ + ٤ & ٢ < س \leq ٣ \end{cases}$، $س \in [٠، ٣]$

ب. $ق(س) = هـ^س - هـ س$، $س \in [٠، ٣]$

ج. $ق(س) = \text{جتا}س - \frac{١}{٣}\text{جتا}^٣س$، $س \in [\frac{\pi}{٢}، \frac{٣\pi}{٢}]$

إذا كان $ق(س) = أ س^٣ + ب س^٢ + ٩س + ١$، أ، ب $\in ح$ اقتران له قيمة عظمى محلية عند $س = ١$، وقيمة صغرى محلية عند $س = ٣$ ما قيمة كل من الثابتين أ، ب؟

باستخدام القيم القصوى أثبت أن المقدار $٤س^٣ - س^٤ - ٢٩$ سالب دائماً.