العمليات على المصفوفات

نجمع المدخلات المتناظرة

نشاط ١: تبيع شركة ألبسة بدلات رياضية في فرعيها في كل من بيت لحم ونابلس، فإذا كانت ألوان البدلات المبيعة أحمر وأزرق وأبيض، وسجلت أعداد البدلات التي تم بيعها في الفرعين خلال شهري أيلول وتشرين أول من العام ٢٠١٦ فكانت كما في الجدول الآتي:

إذا مثلنا ما باعه فرع نابلس في الشهرين المذكورين بالمصفوفة س = $\begin{bmatrix} ٤٠٠ & ٤٠٠ & ٥٠٠ \\ ٣٠٠ & ٥٠٠ & ٢٨٠ \end{bmatrix}$ فإن رتبتها

مثل ما باعه فرع بيت لحم في الشهرين المذكورين بالمصفوفة ص، وعين رتبتها.

هل المصفوفتان س، ص من نفس الرتبة؟

هل يمكن إيجاد مصفوفة (ع) تمثل مجموع ما باعته الشركة من البدلات في فرعيها في المدينتين؟

كوّن المصفوفة ع (إن أمكن).

ماذا تلاحظ؟

العدد يضرب كل مدخلة

فسّر الإجابة.

الطرح جمعٌ للنظير الجمعي

قوانين الجمع وحلّ معادلة مصفوفية

• إذا كانت (أ، ب، ج، و) مصفوفات من نفس الرتبة، ك ∈ ح فإن:
• أ + ب = ب + أ (الخاصية التبديلية)
• (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) (الخاصية التجميعية)
• أ + و = و + أ = أ (المصفوفة الصفرية المحايدة لعملية جمع المصفوفات)
• أ + (-أ) = (-أ) + أ = و (النظير الجمعي)
• ك (أ + ب) = ك أ + ك ب (توزيع الضرب بعدد حقيقي على جمع المصفوفات)

• أ. إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} ٢ & -٣ & ٥ \\ ١ & ٦ & ٢ \end{bmatrix}$، ب = $\begin{bmatrix} -٤ & ١ & ٦ \\ ٢ & ٥ & ٨ \end{bmatrix}$، فجد ب + ٢أ، ٣أ - ٢ب

• ب. إذا كانت ج = $\begin{bmatrix} ٤ & -١ \\ ٢ & ٤ \end{bmatrix}$، د = $\begin{bmatrix} ٥ & ١ \\ -٢ & ٥ \end{bmatrix}$ فبيّن أن: ج + د = ٩م٢

حل المعادلة المصفوفية: ٢ $\begin{bmatrix} ١ & -٥ \\ ٥ & ٢ \end{bmatrix}$ - ٣س = س + م٢

إذا كانت ج = $\begin{bmatrix} ٢ & -٥ \\ ١ & ٣ \end{bmatrix}$ فجد المصفوفة أ بحيث: ٢أ + ج = و

جد قيم س، ص الحقيقية التي تحقق المعادلة: س $\begin{bmatrix} ٠ \\ ٠ \\ ٣ \end{bmatrix}$ + ص $\begin{bmatrix} ٠ \\ ٣ \\ ٥ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ٠ \\ ٩ \\ -٣ \end{bmatrix}$

إذا كانت س + ٢ص = $\begin{bmatrix} ١ & ٣ \\ -٢ & -١١ \end{bmatrix}$، ٣س - ص = $\begin{bmatrix} ٣ & -٥ \\ ٨ & -٥ \end{bmatrix}$ فجد المصفوفتين س، ص.

صفوف الأولى مع أعمدة الثانية

نشاط ٢: بعد انتهاء المرحلة الأولى من دوري كرة القدم الفلسطيني في المحافظات الشمالية للعام ٢٠١٦/ ٢٠١٧م، كانت الفرق الثلاثة الأولى، هي: (ثقافي طولكرم (ط)، وهلال القدس (ق)، وشباب السمّوع (س)، فإذا علمت أن مصفوفة نتائج مباريات هذه الفرق هي: ش = $\begin{bmatrix}٧ & ٨ & ٥ \\ ٣ & ٢ & ٣ \\ ١ & ١ & ٣ \end{bmatrix}$ $\begin{matrix} \text{فوز} \\ \text{تعادل} \\ \text{خسارة} \end{matrix}$

إذا كانت المصفوفة ص = $\begin{bmatrix} ٣ & ١ & ٠ \end{bmatrix}$ تمثل النقاط التي يحصل عليها الفريق في أي مباراة يلعبها، والمصفوفة ع = $\begin{bmatrix} ٨ \\ ٢ \\ ١ \end{bmatrix}$ تمثل نتائج مباريات فريق هلال القدس، كم نقطة يكون رصيد هذا الفريق؟

كوّن مصفوفة تمثل نتائج الفرق الثلاثة من النقاط، ثم رتب الفرق تنازلياً حسب عدد النقاط.

لماذا $أ . ج$ غير معرفة؟

لماذا $ب . ج$ معرفة أيضاً؟

في المثال التالي نفحص الرتب أولاً، ثم نضرب ما يمكن ضربه.

لماذا لا يمكن إيجاد $ج . أ$؟

أجد $ب . أ$ ثم ماذا تستنتج؟

لماذا ن = ٥ وك = ٢؟

ما رتبة المصفوفة الناتجة؟

• إذا كانت أ، ب، ج مصفوفات حيث أن عمليتي الضرب والجمع معرفتان، م المصفوفة المحايدة، ك ∈ ح فإن:
• (أ . ب) . ج = أ . (ب . ج) (الخاصية التجميعية)
  • أ . (ب + ج) = (أ . ب) + (أ . ج) (توزيع الضرب على الجمع من اليمين)
• (أ + ب) . ج = (أ . ج) + (ب . ج) (توزيع الضرب على الجمع من اليسار)
  • أ . م = م . أ = أ (العنصر المحايد لعملية ضرب المصفوفات)
• ك (أ . ب) = (ك أ) . ب = أ . (ك ب)

ماذا تستنتج؟

أتدرب على العمليات كلها

إذا كانت أ، ب، ج مصفوفات بحيث أن أ . ب = ج فما رتبة ب في كل مما يلي:

أ. أ$_{٢×٥}$، ج$_{٢×٤}$ ب. أ$_{٣×٣}$، ج$_{٣×٥}$

إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} ٤ & ٥ \\ -٢ & ١ \end{bmatrix}$، ب = $\begin{bmatrix} ٥ & ٦ & -٢ \\ ٤ & ٠ & ٧ \end{bmatrix}$، ج = $\begin{bmatrix} ١ & -٤ \\ ٣ & ٥ \\ ٢ & ٢ \end{bmatrix}$ فجد ما يأتي:

أ. أ . ب ب.

ج . ب ج. أ$^٢$

جد قيم س، ص بحيث $\begin{bmatrix} ٣ & س & ٥ \\ -١ & ٤ & -٢ \end{bmatrix}$ . $\begin{bmatrix} ١ & ٦ \\ ٤ & ص \\ ٥ & ٨ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ٢٠ & ٦٤ \\ ٥ & -٣٤ \end{bmatrix}$

إذا كانت س = $\begin{bmatrix} ٢ & ٣ & -١ \end{bmatrix}$ . $\begin{bmatrix} ٤ & ٥ \\ ١ & ٢ \\ ٠ & ٣ \end{bmatrix}$ . $\begin{bmatrix} ٢ & ٦ \\ ١ & -٢ \end{bmatrix}$، ص = $\begin{bmatrix} ٧ & ٨ \end{bmatrix}$ فبيّن أن: س = ٥ص

إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} س & ٠ \\ ١ & ١ \end{bmatrix}$، ب = $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٥ & ١ \end{bmatrix}$، فهل يمكن إيجاد قيمة / قيم س بحيث إن: أ$^٢$ = ب؟

إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} ٢ \\ -٣ \end{bmatrix}$، ب = $\begin{bmatrix} ٣ & ٢ \\ ١ & ٠ \end{bmatrix}$، ج = $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ \sqrt{٣} & -١ \end{bmatrix}$ أ. جد المصفوفة د بحيث أن: أ + د = ب . د ب. بيّن أن: ج$^٣$ = ج