ملخص التكامل المحدود، الرياضيات

التكامل المحدود

• يُعرّف التكامل المحدود: $\int_a^b f(x) dx$ على النحو الآتي: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$
• عند إيجاد التكامل المحدود لأي اقتران $f(x)$، ألاحظ إلغاء ثابت التكامل $C$، وهذا يعني أنَّ الناتج هو نفسه بصرف النظر عن الاقتران الأصلي المُستعمل: $\int_a^b f(x) dx = [(F(b) + C) - (F(a) + C)] = F(b) - F(a)$
• إذا كان الاقتران $f(x)$ متصلًا على الفترة $[a, b]$، وكان $F(x)$ يُمثّل أيَّ اقتران أصلي للاقتران $f(x)$، فإنَّ التكامل المحدود للاقتران $f(x)$ من $a$ إلى $b$ هو: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

خصائص التكامل المحدود

• تكامل الاقتران المضروب في ثابت: $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$
• تكامل المجموع أو الفرق: $\int_a^b (f(x) \pm g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$
• التكامل عند نقطة: $\int_a^a f(x) dx = 0$
• التبديل بين حدّي التكامل: $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$
• تجزئة التكامل: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$

التكامل المحدود، ومقدار التغيّر

• إذا كان $f'(x)$ متصلًا على الفترة $[a, b]$، فإنَّ مقدار التغيّر في $f(x)$ عند تغيّر $x$ من $x = a$ إلى $x = b$ هو: $f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) dx$