النمو والاضمحلال الأسي

• تعرّف خصائص كلّ من اقتران النمو الأُسّي، واقتران الاضمحلال الأُسّي.

النمو الأُسّي: نسبة ثابتة في كل فترة

• تزداد بعض الكمّيات بنسبة مئوية ثابتة في فترات زمنية متساوية

في دراسة شملت إحدى مزارع الأبقار، تبيّن أنَّ عدد الأبقار في المزرعة يزداد بنسبة 18% سنويًا:

⁦a)⁩ أكتب اقتران النمو الأُسّي الذي يُمثّل عدد الأبقار بعد $t$ سنة، علمًا بأنَّ عددها في المزرعة عند بَدْء الدراسة هو 327 بقرة.

⁦b)⁩ أجد عدد الأبقار بعد 3 سنوات من بَدْء الدراسة.

وماذا لو نقصت الكمّية بدل أن تزداد؟

الاضمحلال الأُسّي: نقص بنسبة ثابتة

• كما هو الحال في النمو الأُسّي، يُمكن تمثيل النقص في كمّية ما، بنسبة مئوية ثابتة في فترات زمنية متساوية

سيّارة: اشترت سوسن سيّارة هجينة قابلة للشحن بمبلغ ⁦28500 JD⁩. إذا كان ثمن السيّارة يقلُّ بنسبة 5% سنويًّا، فأُجيب عن السؤالين الآتيين:

⁦a)⁩ أكتب اقتران الاضمحلال الأُسّي لثمن السيّارة بعد $t$ سنة.

⁦b)⁩ أجد ثمن السيّارة بعد 4 سنوات، وأقرّب إجابتي إلى أقرب منزلتين عشريتين.

وأين نستفيد من النمو الأُسّي في المال؟

الربح المُركّب: فائدة تُحسب على الفائدة

• $r$: مُعدّل الفائدة السنوي.
• $n$: عدد مرّات إضافة الربح المُركّب في السنة.
• $t$: عدد السنوات.
• $A$: جُملة المبلغ.
• $P$: المبلغ الأصلي.

استثمرت تهاني مبلغ ⁦5000 JD⁩ في شركة، بنسبة ربح مُركّب تبلغ 2.25%، وتضاف كل 6 أشهر. أجد جُملة المبلغ بعد 5 سنوات، وأقرّب إجابتي إلى أقرب منزلتين عشريتين.

فماذا يحدث لو تكرّرت الإضافة بلا نهاية؟

العدد ⁦e⁩: أساس يظهر في تطبيقات كثيرة

• ألاحظ من الشكل المجاور أنَّ خصائص التمثيل البياني للاقتران الأُسّي الطبيعي هي نفسها خصائص التمثيل البياني للاقتران: $f(x) = b^x$ حيث: $b > 1$.

يُمثّل الاقتران $P(t) = 34.706e^{0.0097t}$ عدد سكان مدينة بالمليون نسمة، بعد $t$ سنة منذ المسح الإحصائي للمدينة في عام 2015

⁦a)⁩ أجد عدد سكان المدينة في عام 2015

⁦b)⁩ أجد عدد سكّان المدينة في عام 2030

وكيف يخدم هذا الأساس الربح المُركّب؟

الربح المركّب المستمر: الصيغة بالأساس ⁦e⁩

• $r$: مُعدّل الفائدة المستمر.
• $t$: عدد السنوات.
• $A$: جُملة المبلغ.
• $P$: المبلغ الأصلي.

أودعت سارة مبلغ ⁦6300 JD⁩ في حساب بنكي، بنسبة ربح مُركّب مستمر مقدارها 3.2%. أجد جُملة المبلغ بعد 9 سنوات، وأقرّب إجابتي إلى أقرب منزلتين عشريتين.

تدرّب: نمو واضمحلال

والآن جرّب الصيغ بنفسك على مسائل الكتاب.

يبلغ عدد الاشتراكات في مؤتمر طبي 150 طبيبًا وطبيبة هذه السنة، ويُتوقّع زيادة هذا العدد بنسبة 8% كل سنة:

1. أكتب اقتران النمو الأُسّي الذي يُمثّل عدد الاشتراكات بعد $t$ سنة.

2. أجد عدد الاشتراكات المُتوقّع بعد 5 سنوات.

استخدم 50 ألف شخص موقعًا إلكترونيًا تعليميًا سنة 2019م، ثم ازداد عدد مستخدمي الموقع بنسبة 15% كل سنة:

3. أكتب اقتران النمو الأُسّي الذي يُمثّل عدد من يستخدم الموقع بعد $t$ سنة.

4. أجد عدد من يستخدم الموقع سنة 2025م.

سيارة: يتناقص ثمن سيارة سعرها ⁦17350 JD⁩ بنسبة 3.5% سنويًا:

5. أكتب اقتران الاضمحلال الأُسّي لثمن السيارة بعد $t$ سنة.

6. أجد ثمن السيارة بعد 3 سنوات، وأقرّب إجابتي إلى أقرب عدد صحيح.

بكتيريا: يتناقص عدد الخلايا البكتيرية في عيّنة مخبرية بنسبة 27% كل ساعة بعد إضافة مضاد حيوي إلى العيّنة:

7. أكتب اقتران الاضمحلال الأُسّي الذي يُمثّل عدد الخلايا البكتيرية بعد $t$ ساعة، علمًا بأنَّ عددها عند إضافة المضاد الحيوي هو 15275 خلية.

8. أجد عدد الخلايا البكتيرية في العيّنة بعد 7 ساعات.

9. دجاج: يُنفق الدجاج في مزرعة للدواجن بنسبة 25% يوميًا نتيجة إصابته بمرض ما. أجد العدد المُتبقّي منه بعد 5 أيام من بدء المرض، علمًا بأنَّ عدده الأوّلي في المزرعة هو 1550 دجاجة.

تدرّب: الربح المُركّب والمستمر

استثمر ربيع مبلغ ⁦1200 JD⁩ في شركة، بنسبة ربح مُركّب تبلغ 10%، وتضاف كل شهر:

10. أكتب صيغة تُمثّل جُملة المبلغ بعد $t$ سنة.

11. أجد جُملة المبلغ بعد 5 سنوات، وأقرّب إجابتي إلى أقرب منزلتين عشريتين.

استثمرت هند مبلغ ⁦6200 JD⁩ في شركة، بنسبة ربح مُركّب تبلغ 8.4%، وتضاف كل يوم:

12. أكتب صيغة تُمثّل جُملة المبلغ بعد $t$ سنة.

13. أجد جُملة المبلغ بعد 6 سنوات، وأقرّب إجابتي إلى أقرب منزلتين عشريتين.

يُمثّل الاقتران $P(t) = 200e^t$ عدد أسماك السلمون $P$ في نهر بعد $t$ سنة.

14. أجد عدد أسماك السلمون في النهر بعد 3 سنوات.

16. أودع حسام مبلغ ⁦9000 JD⁩ في حساب بنكي، بنسبة ربح مُركّب مستمر مقدارها 3.6%. أجد جُملة المبلغ بعد 7 سنوات، وأقرّب إجابتي إلى أقرب منزلتين عشريتين.

17. أودعت ليلى مبلغ ⁦8200 JD⁩ في حساب بنكي، بنسبة ربح مُركّب مستمر مقدارها 4.9%. أجد جُملة المبلغ بعد 9 سنوات، وأقرّب إجابتي إلى أقرب منزلتين عشريتين.

أكتشف الخطأ وأتحدّى نفسي

18. أكتشف الخطأ: أوجد رامي جُملة مبلغ مقداره ⁦250 JD⁩ بعد إيداعه في حساب بنكي بعد 3 سنوات، بنسبة ربح مُركّب تبلغ 1.25%، وتضاف كل 3 أشهر، كما يأتي:

19. تحدّ: اكتُشفت 12 إصابة بالإنفلونزا الموسمية في إحدى البلدات، ولوحِظ أنَّ عدد الإصابات بهذا المرض في كل أسبوع يساوي ثلاثة أمثال عددها في الأسبوع السابق. أكتب اقترانًا يُمثّل عدد الإصابات بهذا المرض بعد $t$ أسبوعًا من اكتشاف حالات الإصابة الأولى.