الاقترانات اللوغاريتمية

• تعرّف الاقتران اللوغاريتمي وخصائصه، وتمثيله بيانيًا.

اللوغاريتم عكس الأُسّ: أيّ أُسّ يعطيني هذا العدد؟

تعلّمت سابقًا أنَّ أيّ اقتران يجتاز اختبار الخط الأفقي هو اقتران واحد لواحد، وهذا يعني أنَّه يُمكن إيجاد اقتران عكسي له.

• ومن ثمّ، فإنَّه يُمكن إيجاد اقتران عكسي للاقتران الأُسّي الذي صورته: $f(x) = b^x$، حيث: $b > 0, b \neq 1$.

فكيف أنتقل بين الصورة اللوغاريتمية والصورة الأُسّية؟

أكتب كل معادلة لوغاريتمية ممّا يأتي في صورة أُسّية:

$\log_2 16 = 4$ $\log_7 7 = 1$ $\log_3 \left(\frac{1}{243}\right) = -5$ $\log_9 1 = 0$

أكتب كل معادلة أُسّية ممّا يأتي في صورة لوغاريتمية:

$7^3 = 343$ $49^{\frac{1}{2}} = 7$ $(2)^{-5} = \frac{1}{32}$ $17^0 = 1$

وإذا لم يُعطَ لي إلا اللوغاريتم، فكيف أجد قيمته؟

• يُمكن أيضًا استعمال تعريف اللوغاريتم لتحويل معادلة من الصورة الأُسّية إلى الصورة اللوغاريتمية.

اللوغاريتم أُسّ: أُحوّل إلى معادلة أُسّية وأُساوي الأُسس

أستنتج من العلاقة بين الصورة الأُسّية والصورة اللوغاريتمية أنَّ اللوغاريتم أُسّ

• يُمكن إيجاد قيمة المقادير اللوغاريتمية البسيطة باستعمال قوانين الأُسس.

1. أفترض القيمة: أساوي العبارة اللوغاريتمية بمجهول.
2. أكتب الصيغة الأُسّية: أحوّل المعادلة إلى الصورة الأُسّية.
3. أوحّد الأساس: أكتب طرفي المعادلة بأساس واحد.
4. أساوي الأُسس: أساوي الأُسّين، وأحلّ المعادلة الناتجة.

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي من دون استعمال الآلة الحاسبة:

$\log_5 25$ $\log_8 \sqrt{8}$ $\log_{81} 9$ $\log_3 \frac{1}{27}$

هل في ثوابت اللوغاريتم ما يوفّر عليّ هذه الخطوات؟

أربع خصائص تُغنيك عن الحساب

يُمكن استنتاج بعض الخصائص الأساسية للوغاريتمات من الأمثلة السابقة.

• $\log_b 1 = 0$ (لأنَّ $b^0 = 1$)
• $\log_b b = 1$ (لأنَّ $b^1 = b$)
• $\log_b b^x = x$
• $b^{\log_b x} = x, x > 0$

$\log_2 1$ $\log_{32} \sqrt{32}$ $\log_9 9$ $8^{\log_8 13}$

وكيف يبدو منحنى هذا الاقتران على المستوى؟

جدول قيم تُختار فيه ⁦y⁩: يرسم منحنى اللوغاريتم

يُمكن استعمال العلاقة العكسية بين الاقتران الأُسّي والاقتران اللوغاريتمي لتمثيل منحنى الاقتران اللوغاريتمي الرئيس الذي صورته: $f(x) = \log_b x$، حيث $b > 0, b \neq 1$.

• الخطوة 1: أُنشئ جدول قيم.
• فإنَّه يُمكنني إيجاد الأزواج المُرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران $f(x)$ باختيار قيم للمتغيّر $y$

• الخطوة 2: أمثّل الاقتران في المستوى الإحداثي.
• أُعيّن الأزواج المُرتبة $(x, y)$ في المستوى الإحداثي، ثم أصل بينها بمنحنى متصل كما في الشكل المجاور.

• وبوجه عام، فإنَّ أي اقتران لوغاريتمي رئيس في صورة: $f(x) = \log_b x$، حيث $b > 1$ له الخصائص نفسها.
• وبوجه عام، فإنَّ أي اقتران لوغاريتمي رئيس في صورة: $f(x) = \log_b x$، حيث $0 < b < 1$ له الخصائص نفسها.

ست خصائص لكل اقتران لوغاريتمي رئيس

• مجال الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة $R^+$؛ أي الفترة $(0, \infty)$.
• مدى الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية $R$.
• الاقتران مُتزايد إذا كان $b > 1$.
• الاقتران مُتناقص إذا كان $0 < b < 1$.
• وجود خط تقارب رأسي للاقتران هو المحور $y$.
• الاقتران يقطع المحور $x$ في نقطة واحدة هي $(1, 0)$، ولا يقطع المحور $y$.

وماذا يحدث للمنحنى حين أُزيحه أو أمدّده أو أعكسه؟

انسحاب وتمدّد وانعكاس: من الاقتران الرئيس إلى ⁦g(x)⁩

يُمكن تطبيق التحويلات الهندسية (الانسحاب، والتمدّد، والانعكاس) لتمثيل الاقتران اللوغاريتمي الذي على الصورة:

• حيث: $a, b, h, k$ أعداد حقيقية، و $a \neq 0, b > 0, b \neq 1$
• وذلك بالبدء برسم منحنى الاقتران الرئيس: $f(x) = \log_b x$؛ ثم إجراء التحويلات على المنحنى
• يُمكن تحديد خط التقارب الرأسي لأي اقتران لوغاريتمي في صورة: $g(x) = a \log_b (x-h) + k$ عن طريق تمثيله البياني

أتدرّب: من الصورة اللوغاريتمية إلى الأُسّية وبالعكس

أكتب كل معادلة لوغاريتمية مما يأتي في صورة أُسّية:

1. $\log_7 343 = 3$

2. $\log_4 256 = 4$

3. $\log_{125} 5 = \frac{1}{3}$

4. $\log_{36} 6 = 0.5$

5. $\log_9 1 = 0$

6. $\log_{57} 57 = 1$

والآن العكس: من المعادلة الأُسّية إلى اللوغاريتمية.

أكتب كل معادلة أُسّية مما يأتي في صورة لوغاريتمية:

7. $2^6 = 64$

8. $4^{-3} = \frac{1}{64}$

9. $6^3 = 216$

10. $5^{-3} = 0.008$

11. $(51)^1 = 51$

12. $8^0 = 1$

أتدرّب: أجد قيمة اللوغاريتم من دون آلة حاسبة

أجد قيمة كلّ مما يأتي من دون استعمال الآلة الحاسبة:

13. $\log_3 81$

14. $\log_{25} 5$

15. $\log_2 32$

16. $\log_{49} 343$

17. $\log_{10} 0.001$

18. $\log_{\frac{3}{2}} 1$

19. $\log_{\frac{1}{4}} 4$

20. $(10)^{\log_{10} \frac{1}{8}}$

21. $\log_2 \frac{1}{\sqrt{2^7}}$

22. $\log_a \sqrt[5]{a}$

23. $\log_{10} (1 \times 10^{-9})$

24. $8^{\log_8 5}$

تطبيقات: نقطة على المنحنى، وإعلانات، وخطأ شائع

34. أجد قيمة $a$ التي تجعل منحنى الاقتران: $f(x) = \log_a x$ يمرّ بالنقطة $(32, 5)$.

إعلانات: يُمثّل الاقتران: $P(a) = 10 + 20 \log_5 (a+1)$ مبيعات شركة (بآلاف الدنانير) من مُنتج جديد، حيث $a$ المبلغ (بمئات الدنانير) الذي تُنفقه الشركة على إعلانات المُنتج. وتعني القيمة: $P(1) \approx 19$ أنَّ إنفاق ⁦100 JD⁩ على الإعلانات يُحقّق إيرادات قيمتها ⁦19000 JD⁩ من بيع المُنتج:

36. أجد $P(4)$، و $P(24)$، و $P(124)$.

37. أفسّر معنى القِيَم التي أوجدتها في الفرع السابق.

41. تحدّ: أجد المقطع $x$ للاقتران $f(x) = \log(x-k)$، حيث $k$ ثابت.

42. تبرير: من دون استعمال الآلة الحاسبة، أُبيّن أيّ القِيَم الآتية أكبر. أبرّر إجابتي:

$\log_5 28$, $\log_6 32$, $\log_7 40$

43. أكتشف الخطأ: كتبت منى المعادلة الأُسّية: $4^{-3} = \frac{1}{64}$ في صورة لوغاريتمية كما يأتي:

$\log_4 (-3) = \frac{1}{64}$ أكتشف الخطأ الذي وقعت فيه منى، ثم أُصحّحه.