المعادلات الأسية واللوغاريتمية

• حلّ معادلات أُسّية ولوغاريتمية باستعمال قوانين اللوغاريتمات.

لوغاريتمان جاهزان على الآلة الحاسبة

• يُعدّ اقترانُ اللوغاريتم الاعتيادي: $y = \log x$ هو الاقتران العكسي للاقتران الأُسّي: $10^y = x$؛ أي إنّ:

$y = \log_{10} x$ إذا وفقط إذا $10^y = x, x > 0$

• يُعدّ اقترانُ اللوغاريتم الطبيعي: $y = \ln x$ هو الاقتران العكسي للاقتران الأُسّي الطبيعي: $e^y = x$؛ أي إنّ:

$y = \ln x$ إذا وفقط إذا $e^y = x, x > 0$

• تنطبق خصائص اللوغاريتمات على اللوغاريتم الاعتيادي واللوغاريتم الطبيعي، ويُمكن استعمالها لإيجاد قيمة كلّ منهما،
• علمًا بأنّ الآلة الحاسبة تحوي زرًّا خاصًّا باللوغاريتم الاعتيادي هو $\log$، وزرًّا خاصًّا باللوغاريتم الطبيعي هو $\ln$،
• ويُمكن بهما إيجاد القيمة التقريبية لكلّ من اللوغاريتم الاعتيادي، واللوغاريتم الطبيعي، لأيّ عدد حقيقي موجب.

كيف نقرأ القيمة من الآلة الحاسبة ونقرّبها؟

أستعمل الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة كلّ ممّا يأتي، وأقرّب إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة:

a) $\log 13$

b) $\log (3.1 \times 10^4)$

c) $\ln 0.25$

تغيير الأساس: أيّ لوغاريتم بزرّين فقط

تعلّمتُ سابقًا أنّ معظم الآلات الحاسبة تحتوي على زرّين فقط للوغاريتمات، هما: $\log$ و $\ln$. ولكن، كيف يمكن إيجاد $\log_4 7$ باستعمال هذا النوع من الآلات الحاسبة؟

• يمكن إيجاد ذلك بتغيير الأساس غير المرغوب فيه (الأساس 4 في هذه الحالة) إلى حاصل قسمة لوغاريتمين للأساس نفسه.

إذا استعملتُ اللوغاريتم الطبيعي بدلًا من اللوغاريتم الاعتيادي في الفرع 1 من المثال، فهل سيختلف الناتج؟ أبرّر إجابتي.

هل يُمكنني حلّ الفرع 2 من المثال بطريقة أخرى؟ أبرّر إجابتي.

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي، وأقرّب إجابتي إلى أقرب جزء من مئة (إن لزم):

a) $\log_3 51$

b) $\log_{\frac{1}{2}} 13$

المعادلة الأُسّية: نفس الأساس، أو لوغاريتم للطرفين

• تعلّمتُ سابقًا مفهوم المعادلة الأُسّية؛ وهي معادلة تتضمّن قوىً أُسسها مُتغيّرات، ويتطلّب حلّها كتابة طرفي المعادلة في صورة قوّتين للأساس نفسه، ثم المقارنة بين أُسّي الطرفين وفق القاعدة الآتية:

إذا كان: $a^x = a^y$، فإنّ $x = y$

• حيث: $1 \neq a, 0 < a$

وماذا لو تعذّر توحيد الأساس في الطرفين؟

• ولكن، في بعض المعادلات الأُسّية لا يمكن كتابة طرفي المعادلة في صورة قوّتين للأساس نفسه، مثل المعادلة: $5 = 3^x$؛
• لذا أستعمل خاصية المساواة اللوغاريتمية ⁦(property of logarithmic equality)⁩.

$\log_b x = \log_b y$ إذا وفقط إذا $x = y$

• وتأسيسًا على ذلك، يُمكن حلّ المعادلات الأُسّية التي يتعذّر كتابتها في صورة قوّتين للأساس نفسه، وذلك بأخذ اللوغاريتم نفسه لطرفي المعادلة، ثم استعمال قانون القوّة في اللوغاريتمات.

• يُمكنني استعمال برمجية جيوجبرا ⁦(GeoGebra)⁩، لتمثيل المعادلتين $3^x = y$ و $20 = y$ في المستوى الإحداثي نفسه، كما في التمثيل البياني المجاور. ألاحظ أنّ المنحنيين يتقاطعان عندما $x \approx 2.7268$.

• أمثّل المعادلتين $100 e^{0.08t} = y$ و $2500 = y$ في المستوى الإحداثي نفسه، كما في التمثيل البياني المجاور. ألاحظ أنّ منحنيي المعادلتين يتقاطعان عندما $t \approx 40.2359$.

• أمثّل المعادلتين $4^{x+3} = y$ و $3^{-x} = y$ في المستوى الإحداثي نفسه، كما في التمثيل البياني المجاور. ألاحظ أنّ منحنيي المعادلتين يتقاطعان عندما $x \approx -1.6737$.

• ألاحظ أنّ منحنى المعادلة يقطع المحور $x$ في نقطة واحدة فقط عندما $x \approx 1.5850$.

أحلّ المعادلات الأُسّية الآتية، وأقرّب إجابتي إلى أقرب 4 منازل عشرية:

a) $5^x = 8$

b) $4e^{2x} - 3 = 2$

c) $2^{x-1} = 3^{3x+2}$

d) $9^x + 3^x - 20 = 0$

النموّ السكّاني: بعد كم سنة يتضاعف العدد؟

تُستعمَل المعادلات الأُسّية في كثير من التطبيقات الحياتية والعلمية.

اعتمادًا على المعطيات الواردة في المثال السابق، بعد كم سنةً من عام 2006م سيبلغ عدد سكّان العالم 9 مليارات نسمة؟

المعادلة اللوغاريتمية: لوغاريتم واحد ثم صورة أُسّية

$\log_2 x = 4$ , $\log x + \log (x + 3) = 1$

• ولحلّ المعادلة اللوغاريتمية جبريًّا؛ أكتبها أولًا بدلالة لوغاريتم واحد في أحد طرفي المعادلة، ثم أستعمل خاصية المساواة اللوغاريتمية.

• يُمكنني استعمال برمجية جيوجبرا ⁦(GeoGebra)⁩ لتمثيل المعادلتين $y = \log_3 x$ و $y = -2$ في المستوى الإحداثي نفسه، كما في التمثيل البياني المجاور. ألاحظ أنّ منحنيي المعادلتين يتقاطعان عندما $x = \frac{1}{9}$.

• أمثّل المعادلتين $y = \log x + \log (x + 3)$ و $y = 1$ في المستوى الإحداثي نفسه، كما في التمثيل البياني المجاور. ألاحظ أنّ منحنيي المعادلتين يتقاطعان في نقطة واحدة فقط، عندما $x = 2$.

أحلّ المعادلات اللوغاريتمية الآتية:

a) $5 + 2 \ln x = 4$

b) $\log_5 (x + 6) + \log_5 (x + 2) = 1$

عمر عيّنة قديمة: كم بقي من الكربون؟

كشفت دراسة أنّ المجموعة الأخيرة من حيوان الماموث الصوفي قد لقيت حتفها قبل 4000 سنة تقريبًا في جزيرة نائية في المحيط القطبي الشمالي. أجد النسبة المئوية من الكربون 14 المُتبقّية في أحدها. أقرّب إجابتي إلى أقرب جزء من مئة.

تدرّب: لوغاريتمات، معادلات أُسّية ولوغاريتمية

1. $\log 19$

2. $\log (2.5 \times 10^{-3})$

3. $\ln 3.1$

4. $\log_2 10$

5. $\log_3 e^2$

6. $\ln 5$

7. $\log_3 33$

8. $\log_{\frac{1}{3}} 17$

9. $\log_6 5$

10. $\log_7 \frac{1}{7}$

11. $\log 1000$

12. $\log_3 15$

تدرّب: حلّ المعادلات الأُسّية

13. $6^x = 121$

14. $-3e^{4x} = -27$

15. $5^{7x-2} = 3^{2x}$

16. $25^x + 5^x - 42 = 0$

17. $2(9)^x = 32$

18. $27^{2x+3} = 2^{x-5}$

تدرّب: حلّ المعادلات اللوغاريتمية والتطبيقات

20. $\log (x + 5) - \log (x - 3) = \log 2$

21. $\ln (x + 8) + \ln (x - 1) = 2 \ln x$

22. $\log_3 (\log_4 x) = 0$

23. $\ln x^2 = (\ln x)^2$

24. $2 \log 50 = 3 \log 25 + \log (x - 2)$

25. $3 \log_x 16 = 4, x > 0, x \neq 1$

أودعت سميرة مبلغ $P$ في حساب بنكي، بنسبة ربح مُركّب مستمر مقدارها 5%:

26. بعد كم سنةً تصبح جُملة المبلغ مثلي المبلغ الأصلي؟

إرشاد: صيغة جُملة المبلغ للربح المُركّب المستمر هي: $A = Pe^{rt}$.

27. بعد كم سنةً تصبح جُملة المبلغ 3 أمثال المبلغ الأصلي؟

تفكير عليا: تبرير وتحدٍّ

29. تبرير: أجد قيمة كلّ من $k$ و $h$ إذا وقعت النقطة $(-2, k)$، والنقطة $(h, 100)$ على منحنى الاقتران: $f(x) = e^{0.5x + 3}$، وأبرّر إجابتي.

31. تبرير: إذا كانت $0 < x$، و $\log_3 x = k \log_2 x$؛ فأجد قيمة $k$ وأقرّب إجابتي إلى أقرب 4 منازل عشرية، وأبرّر إجابتي.