قوانين اللوغاريتمات

• تعرّف قوانين اللوغاريتمات.

قوانين اللوغاريتمات: الضرب والقسمة والقوّة

تعلّمت سابقًا قوانين الأُسس، ووظّفتها في تبسيط مقادير أُسّية، وإيجاد قيمة مقادير عددية.

• ضرب القوى: $b^x \times b^y = b^{x+y}$
• قسمة القوى: $\frac{b^x}{b^y} = b^{x-y}, b \neq 0$
• قوّة القوّة: $(b^x)^y = b^{xy}$
• اللوغاريتم عكس الأُسّ، فيُمكن اشتقاق قوانين لوغاريتمات مُقابلة لهذه القوانين.

قانون الضرب: $\log_b xy = \log_b x + \log_b y$

قانون القسمة: $\log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$

قانون القوّة: $\log_b x^p = p \log_b x$

• الاستعمال: إيجاد قِيَم مقادير لوغاريتمية.

هل يُمكن إيجاد $\log_a 8$ عن طريق معطيات المثال باستعمال قوانين اللوغاريتمات؟ أبرّر إجابتي.

هل يُمكن استعمال قانون القسمة لإيجاد ناتج $\frac{\log_a 5}{\log_a 3}$؟

إذا كان: $\log_b 7 \approx 1.21$، وكان: $\log_b 2 \approx 0.43$، فأجد كُلًا مما يأتي:

a) $\log_b 14$

b) $\log_b \frac{2}{7}$

c) $\log_b 32$

d) $\log_b \frac{1}{49}$

والآن: كيف نفتح لوغاريتمًا واحدًا إلى عدّة لوغاريتمات؟

فتح لوغاريتم واحد إلى عدّة لوغاريتمات

يُمكن أحيانًا كتابة مقدار لوغاريتمي بصورة مُطوّلة تحوي مقادير لوغاريتمية عديدة، وذلك باستعمال قوانين اللوغاريتمات.

أكتب كل مقدار لوغاريتمي ممّا يأتي بالصورة المُطوّلة، علمًا بأنّ المُتغيّرات جميعها تُمثّل أعدادًا حقيقيةً موجبةً:

a) $\log_2 a^2 b^9$

b) $\log_5 \frac{(x+1)^3}{8}$

c) $\log_3 \frac{x^7 y^3}{z^5}$

d) $\log_b \sqrt[3]{\frac{x^7 b^2}{y^5}}$

وعكس ذلك: كيف نجمع عدّة لوغاريتمات في لوغاريتم واحد؟

جمع عدّة لوغاريتمات في لوغاريتم واحد

أحتاج أحيانًا إلى تحويل المقدار اللوغاريتمي من الصورة المُطوّلة إلى الصورة المُختصرة؛ أي كتابة المقدار في صورة لوغاريتم واحد.

أكتب كل مقدار لوغاريتمي ممّا يأتي بالصورة المُختصرة، علمًا بأنّ المُتغيّرات جميعها تُمثّل أعدادًا حقيقيةً موجبةً:

a) $\log_5 a + 3 \log_5 b$

b) $5 \log_b x + \frac{1}{2} \log_b y - 9 \log_b z$

وأين نستفيد من هذه القوانين خارج الصف؟

اللوغاريتم والنسيان: كم نتذكّر بعد شهور؟

يستفاد من الاقترانات اللوغاريتمية وقوانينها في كثير من التطبيقات الحياتية، مثل تحديد مدى تأثير المُدّة المستغرقة في درجة تذكّر الطلبة للمعلومات.

يُمثّل الاقتران: $M(t) = 92 - 28 \log_{10} (t + 1)$ النسبة المئوية للموضوعات التي يتذكّرها طالب من مادّة مُعيّنة بعد $t$ شهرًا من إنهائه دراستها.

أجد النسبة المئوية للموضوعات التي يتذكّرها هذا الطالب بعد 29 شهرًا من إنهائه دراسة المادّة، علمًا بأنّ $\log_{10} 3 \approx 0.4771$، وأقرّب إجابتي إلى أقرب عدد صحيح.

تدرّب: احسب، ثم افتح، ثم اجمع

إذا كان: $\log_a 6 \approx 0.778$، وكان: $\log_a 5 \approx 0.699$، فأجد كُلًّا ممّا يأتي:

1. $\log_a \frac{5}{6}$

2. $\frac{\log_a 5}{\log_a 6}$

3. $\log_a \frac{1}{6}$

4. $\log_a 900$

5. $\log_a \frac{18}{15}$

6. $\log_a (6 a^2)$

7. $\log_a \sqrt[4]{25}$

8. $(\log_a 5)(\log_a 6)$

9. $\log_a x^2$

10. $\log_a \left( \frac{a}{bc} \right)$

11. $\log_a (\sqrt{x} \sqrt{y})$

12. $\log_a \frac{1}{x^2 y^2}$

13. $\log_a \sqrt[5]{32x^5}$

14. $\log_a \frac{(x^2 y^3)^2}{(x^2 y^3)^3}$

15. $\log_a (x + y - z)^7, x + y > z$

16. $\log_a \sqrt{\frac{x^{12} y}{y^3 z^4}}$

17. $\log_a x + \log_a y$

18. $\log_b (x + y) - \log_b (x - y), x > y$

19. $\log_a \frac{1}{\sqrt{x}} - \log_a \sqrt{x}$

20. $\log_a (x^2 - 4) - \log_a (x+2), x > 2$

21. $2 \log_b x - 3 \log_b y + \frac{1}{3} \log_b z$

22. $\log_b 1 + 2 \log_b b$

أثبت، واكتشف الخطأ، وبرّر

24. تحدّ: أثبت أنّ $\frac{\log_a 216}{\log_a 36} = \frac{3}{2}$.

25. أكتشف الخطأ: أكتشف الخطأ في الحلّ الآتي، ثم أصحّحه:

26. تبرير: أثبت أنّ $\log_b (b-3) + \log_b (b^2 + 3b) - \log_b (b^2 - 9) = 1$، حيث: $b > 3$، وأبرّر إجابتي.