توزيع الأوساط الحسابية للعينات

• تعرُّف المجتمع، والعينة، وأنواع العينات العشوائية.
• تعرُّف الإحصائي والمعلمة، وتحديد كل منهما.
• تعرُّف توزيع الأوساط الحسابية للعينات، وإيجاد الوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري لهذا التوزيع.

المجتمع والعينة: لماذا لا نسأل الجميع؟

تعلمتُ سابقًا أنَّ المجتمع ⁦(population)⁩ مجموعة من العناصر (مثل: الأشخاص، والحيوانات، والأشياء)

• قد يكون من الضروري أحيانًا الحصول على معلومة ما أو أكثر عن كل عضو في المجتمع
• يُستعمل التعداد ⁦(census)⁩ طريقةً لجمع تلك المعلومات
• أما إذا كان المجتمع كبيرًا
• يكتفى في هذه الحالة باختيار مجموعة صغيرة من المجتمع لتُمثله عشوائيًا

• تُعرف عملية أخذ العينات من المجتمع بالمُعاينة ⁦(sampling)⁩
• فإذا تمَّت عملية المُعاينة بعناية، فإنها ستُمثل المجتمع تمثيلًا دقيقًا، وتُوفّر نتائج موثوقة

ومتى تُعطي العينة صورة خاطئة عن المجتمع؟

• تُستعمل غالبًا البيانات التي تنتج من العينات لتقدير خاصية من خصائص المجتمع.
• يجب اختيار العينة بحيث تكون مُمثلة للمجتمع بأكمله
• كلَّما زاد حجم العينة أو زاد عدد العينات المأخوذة، اقتربت العينة من تمثيل المجتمع بدقة أكبر

أُحدِّد إذا كانت كل عيِّنة مما يأتي مُتحيِّزة أم لا، ثمَّ أُبرِّر إجابتي:

⁦a)⁩ صِحَّة: استقصاء باحث آراء 30 شخصًا في مستشفى خاص عن جودة الرعاية الصِّحِّية في المدينة.

⁦b)⁩ اقتصاد: إجراء شركة اتصالات دراسة لتعرُّف درجة رضا العملاء عن خدماتها، وذلك بمسح كل ثالث شخص يدخل أحد فروعها.

أُحدّد إذا كانت كل عينة مما يأتي مُتحيّزة أم لا، ثمَّ أُبرّر إجابتي:

مُقابلة إدارة بلدية المدينة كل عاشر شخص يخرج من مَحطَّة الحافلات الرئيسة لتُعرّف درجة وعي السُّكّان بأهمية الحفاظ على النظافة العامة.

إعداد إدارة مدرسة أساسية استبانة عن مدى فعالية التعليم الإلكتروني في المدرسة، ثمَّ الطلب إلى 20 طالبًا مُتفوّقًا الإجابة عن أسئلة الاستبانة.

اختيار باحث عينة عشوائية تضمُّ 100 شخص من قائمة السُّكّان المُسجّلين في المدينة، ثمَّ الاتصال بهم لتُعرّف مدى اعتمادهم على الوجبات الجاهزة في نظامهم الغذائي.

إعداد دائرة النقل في إحدى المدن استبانة تهدف إلى تعرّف درجة رضا المواطنين عن خدمات الحافلات، ثمَّ الطلب إلى أفراد عينة اختيروا عشوائيًا من سجلات سُكّان المدينة الإجابة عن أسئلة هذه الاستبانة.

سعي باحث إلى تقييم درجة رضا السُّيّاح عن الخدمات المُقدَّمة أثناء رحلتهم السياحية إلى موقع أثري، بسؤاله عن ذلك 25 زائرًا من المقيمين في الفندق القريب من الموقع الأثري.

العينة العشوائية: ثلاث طرق للاختيار

تعلمتُ في المثال السابق أنَّه يُمكن استعمال المُعاينة لاستنتاج معلومات عن المجتمع كلّه.

• يختار مدير حديقة للحيوان عينة عشوائية بسيطة ممَّن يزورون الحديقة لاستقصاء درجة رضا الزُّوّار عن الحديقة.
• يكتب المدير أرقام تذاكر الزُّوّار على بطاقات.
• يضع المدير البطاقات في وعاء.
• يسحب المدير 5 أرقام عشوائيًا.

• يُختار كل ثالث زائر للحديقة بدءًا من نقطة بداية عشوائية.

• يُختار أفراد من كل مجموعة عشوائيًا.
• يُقسّم زُّوّار الحديقة بحسب الفئات العمرية (الأطفال، المُراهقون، البالغون، كبار السِّنّ).
• يُختار من كل فئة عدد مُعيَّن من الزُّوّار عشوائيًا لضمان التمثيل الصحيح.

أُحدّد العينة والمجتمع في كلِّ ممَّا يأتي.

أُحدّد إذا كانت العينة العشوائية المختارة بسيطة، أم مُنتظمة، أم طبقية.

⁦a)⁩ استقصاء مدير أحد المراكز التجارية درجة رضا العملاء عن الخدمات التي يُقدّمها المركز؛ بأن يختار أحد العملاء عشوائيًا كل ساعة، بدءًا بوقت غير مُحدَّد، ثمَّ يطرح عليه بعض الأسئلة.

⁦b)⁩ وضع استبانة عند مدخل معرض فني، ثمَّ اختيار 50 زائرًا بصورة عشوائية للإجابة عن أسئلتها.

أُحدّد العينة والمجتمع في كلِّ ممَّا يأتي، ثمَّ أُحدّد إذا كانت العينة العشوائية المختارة بسيطة، أم مُنتظمة، أم طبقية، ثمَّ أُبرّر إجابتي:

قرّر مدير مصنع استقصاء درجة التزام العُمّال بتعليمات السلامة العامة، فبدأ بمراقبة أوّل عامل يدخل المصنع عند الساعة الثامنة صباحًا، ثمَّ كل عاشر عامل يدخل بعده.

اختار باحث 100 طالب من إحدى الجامعات عشوائيًا من قائمة أرقامهم الجامعية لدراسة عادات القراءة لديهم.

أرادت وزارة الصِّحّيّة دراسة العادات الغذائية لطلبة المدارس في إحدى المدن، فصنّفت المراحل التي يُدرّس فيها الطلبة إلى ثلاث مراحل دراسية (ابتدائية، أساسية، ثانوية)، ثمَّ اختارت عينة عشوائية من كل مرحلة بما يتناسب مع عدد الطلبة فيها.

الإحصائي والمعلمة: ما للعينة وما للمجتمع

تُستعمل قيمة الإحصائي لوضع استنتاجات عن قيمة المعلمة في عملية تُسمى الاستدلال الإحصائي ⁦(statistical inference)⁩

• حساب المعلمة لا يكون سهلًا في كثير من الأحيان، وبخاصة إذا كان حجم المجتمع كبيرًا
• القيمة التي تصف إحدى خصائص مجتمع ما تُسمى المعلمة.
• إذا حُسبت هذه القيمة لعينة من المجتمع، فإنها تُسمى الإحصائي.

أُحدّد العينة والمجتمع في كلِّ ممَّا يأتي، ثمَّ أصف الإحصائي والمعلمة:

⁦a)⁩ اختيرت عينة عشوائية بسيطة تضمُّ 13 طالبًا من طلبة الصف الثاني عشر في محافظة المفرق، ثمَّ حُسِب الوسط الحسابي لعدد ساعات دراسة هؤلاء الطلبة.

⁦b)⁩ اختيرت عينة عشوائية مُنتظمة من خطِّ إنتاج نوع من الفطائر المُغلَّفة التي يُنتجها مصنع في أحد الأيام، ثمَّ حُسِب مدى العينة.

أُجري مسح شمل عينة عشوائية طبقية من العاملين في مستشفى حكومي، وتضمَّن تقسيم العاملين إلى مجموعات بحسب مهنهم (أطباء، مُمرّضون، إداريون)، ثمَّ حُسِب الانحراف المعياري لعدد ساعات العمل الأسبوعية.

اختيرت عينة عشوائية مُنتظمة تضمُّ المَركبات الخارجة من مَحطَّة لصيانة السيارات، وقد دُوّنت أعمار المَركبات في العينة، ثمَّ حُسِب الوسيط.

اختيرت عينة عشوائية بسيطة تضمُّ زُّوّار أحد المراكز التجارية في عطلة نهاية الأسبوع، وقد دُوّنت المبالغ التي أنفقها أفراد العينة، ثمَّ حُسِب المدى.

وسط العينة وتباينها وانحرافها المعياري

يُرمز إلى الوسط الحسابي للعينة ⁦(sample mean)⁩ بالرمز $\bar{x}$، ويُقرأ: إكس بار

• تُمثل البيانات $x_1, x_2, ..., x_n$ عينة عشوائية حجمها $n$.
• يُمكن إيجاد الوسط الحسابي للعينة $\bar{x}$ باستعمال الصيغة الآتية:

• تباين العينة ⁦(sample variance)⁩ يُرمز إليه بالرمز ${s}^2$.
• يُستعمل تباين العينة لتقدير تباين المجتمع.
• يُمكن إيجاد تباين العينة ${s}^2$ باستعمال إحدى الصيغتين الآتيتين:
• ${s}^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}$
• ${s}^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n - 1}$

رياضة: ترغب مُدرِّبة في صالة رياضية أن تتعرَّف الوقت (بالدقائق) الذي تقضيه المُتدَرِّبات في أداء التمارين اليومية.

68, 72, 78, 85, 90, 75, 80, 70

⁦a)⁩ أجد الوسط الحسابي للعينة.

⁦b)⁩ أجد تباين العينة.

⁦c)⁩ أجد الانحراف المعياري للعينة.

مبيعات: أراد مدير المبيعات في شركة تجزئة تقدير عدد الوحدات التي يبيعها كل موظف يوميًا.

41, 36, 39, 42, 45, 38, 40, 34

12. أجد الوسط الحسابي للعينة.

13. أجد تباين العينة.

14. أجد الانحراف المعياري للعينة.

إنتاج: أرادت شركة تعمل في مجال صناعة زجاجات العصير أن تُحلّل مدى التفاوت في كمية العصير (بالمليلتر) التي تُعبّأ بالزجاجة الواحدة.

504, 499, 493, 507, 500, 495, 502, 498, 505, 490

15. أجد الوسط الحسابي للعينة.

16. أجد تباين العينة.

17. أجد الانحراف المعياري للعينة.

أُخذت عينة عشوائية حجمها 20 مُشاهدة من أحد المجتمعات، وقد أمكن الحصول منها على المعلومات الإحصائية الآتية:

18. أجد الوسط الحسابي للعينة.

19. أجد الانحراف المعياري للعينة.

توزيع الأوساط: ماذا تعلّمنا أوساط العينات عن المجتمع؟

لاحظتُ أنَّ الوسط الحسابي يختلف تبعًا لاختلاف العينة.

• تشير كلمة توزيع إلى كيفية تنظيم قيم الأوساط الحسابية للعينات، وعدد مرات تكرار كل قيمة.
• يُرمز إلى المُتغير العشوائي الذي يُمثل قيم الأوساط الحسابية بالرمز $\bar{X}$.
• يُمكن تقدير قيمة الوسط الحسابي للمجتمع باستعمال ما يُسمى توزيع الأوساط الحسابية للعينات ⁨(distribution of samples means)⁩

• يُبيّن الجدول الآتي الأوساط الحسابية لخمس عينات عشوائية، حجم كل منها 2، وقد أُخذت مع الإرجاع من مجتمع، وسطه الحسابي 15، وانحرافه المعياري 2.24
• وهو يتكوّن من القيم الآتية: 18, 16, 14, 12.

• شكل توزيع الأوساط الحسابية للعينات الخمس غير قريب من شكل التوزيع الطبيعي.
• يقترب شكل توزيع الأوساط الحسابية للعينات من شكل التوزيع الطبيعي إذا استُخرجت جميع العينات العشوائية من المجتمع، التي يبلغ عددها 16 عينة، وحجم كل منها 2.

• يُمكن إيجاد الوسط الحسابي للأوساط الحسابية لجميع العينات المُحتملة من المجتمع، التي حجم كل منها 2، كما يأتي:

• قيمة الوسط الحسابي للمجتمع مُساوية لقيمة الوسط الحسابي للأوساط الحسابية لجميع العينات المُحتملة من المجتمع.
• يُعبر عن الوسط الحسابي لتوزيع الأوساط الحسابية للعينات بالصيغة $\mu_{\bar{x}} = \mu$.

• يُمكن إيجاد الانحراف المعياري للأوساط الحسابية لجميع العينات المُحتملة من المجتمع، التي حجم كل منها 2

• قيمة الانحراف المعياري للأوساط الحسابية لجميع العينات المُحتملة من المجتمع مُساوية لقيمة الانحراف المعياري للمجتمع، ومقسومة على الجذر التربيعي لحجم العينة.

• سيكون للعينات المختارة عشوائيًا أوساط حسابية مختلفة عن الوسط الحسابي للمجتمع.
• يكون الوسط الحسابي للأوساط الحسابية للعينات $\mu_{\bar{x}}$ مُساويًا للوسط الحسابي للمجتمع $\mu$، وانحرافه المعياري $\sigma_{\bar{x}}$ مُساويًا لـ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
• إذا أُخذت جميع العينات المُحتملة ذات الحجم $n$ من مجتمع، وسطه الحسابي $\mu$، وانحرافه المعياري $\sigma$.

جرّب أولًا خمس عينات فقط، ثم الاحتمالات كلها.

لماذا عدد هذه العيِّنات 16؟

زراعة: أشارت دراسة إلى أنَّ الوسط الحسابي لكتل حبَّات التفَّاح في إحدى المزارع ⁦96.3 g⁩، وأنَّ الانحراف المعياري لها ⁦5.2 g⁩. إذا أُخذت عيِّنات عشوائية من حبَّات التفَّاح في هذه المزرعة، حجم كل منها 30، فأجد كلًّا ممَّا يأتي:

⁦a)⁩ الوسط الحسابي لتوزيع الأوساط الحسابية للعيِّنات.

⁦b)⁩ الخطأ المعياري للوسط الحسابي.

بلغ الوسط الحسابي لأحد المجتمعات 6، والانحراف المعياري له 2. إذا أُخذت عينات عشوائية من هذا المجتمع، حجم كل منها 50، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

20. الوسط الحسابي لتوزيع الأوساط الحسابية للعينات.

21. الخطأ المعياري للوسط الحسابي.

مصابيح: يبلغ الوسط الحسابي لمُدَّة عمل المصابيح الكهربائية التي تُنتجها إحدى الشركات 450 ساعة، في حين يبلغ الانحراف المعياري لها 20 ساعة. إذا أُخذت عينات عشوائية من هذه المصابيح، حجم كل منها 35، فأجد كُلًّا ممَّا يأتي:

22. الوسط الحسابي لتوزيع الأوساط الحسابية للعينات.

23. الخطأ المعياري للوسط الحسابي.

إذا كان لدينا مجموعة عينات من مجتمع مُعيَّن، حجم كل منها 40، وبلغ الوسط الحسابي لتوزيع الأوساط الحسابية لها 82.5، وكان التباين لهذا التوزيع 6.25، فأجد الوسط الحسابي والتباين للمجتمع الأصلي الذي أُخذت منه هذه العينات.

• تُؤخذ عينات عشوائية كبيرة من مجتمع وسطه الحسابي $\mu$ وانحرافه المعياري $\sigma$ بحيث يكون حجم كل منها 30 أو أكثر.
• يكون شكل توزيع الأوساط الحسابية لهذه العينات قريبًا من شكل التوزيع الطبيعي.
• يساوي الوسط الحسابي لهذا التوزيع القيمة $\mu$.
• يساوي الانحراف المعياري لهذا التوزيع القيمة:

• يتبع المتغير العشوائي لتوزيع الأوساط الحسابية لهذه العينات التوزيع الطبيعي وفق الصيغة:

مسائل تفكير: تبرير وتحدٍّ

تبرير: أُجريت إحدى شركات الاتصالات استطلاعًا للرأي شمل عملاءها، وهدف إلى تحسين مستوى الخدمات التي تُقدّمها:

أُبيّن السبب الذي يجعل العينة أكثر مُلاءمة من التعداد في هذه الحالة.

أُحدّد الأسباب التي قد تدفع الشركة إلى عدم استعمال عينة عشوائية بسيطة لاستطلاع آراء عملائها.

تبرير: ترغب شركة مُتخصّصة في إنتاج أغذية الحيوانات الأليفة أن تعرف عدد الأشخاص الذين لديهم قِطط تُفضّل الطعام الجاف على الطعام الرطب. وتحقيقًا لهذا الغرض؛ أرفقت الشركة 100 استبانة مع مُنتجات غذائية من الطعام الجاف اختيرت عشوائيًا، ثمَّ طُلِب إلى الزبائن ملء هذه الاستبانات وإعادتها إلى الشركة:

أذكر سببين لعدم الحصول على بيانات حقيقية من طريقة الاستطلاع التي استعملتها الشركة.

أُبيّن كيف يُمكن تحسين الطريقة التي اعتمدتها الشركة بحيث تصبح نتائج الاستطلاع أكثر تمثيلًا.

تبرير: أُحدّد إذا كانت كل عبارة ممَّا يأتي صحيحة أحيانًا، أم صحيحة دائمًا، أم غير صحيحة أبدًا، ثمَّ أُبرّر إجابتي:

العيّنتان العشوائيتان المأخوذتان من المجتمع نفسه لهما الوسط الحسابي والانحراف المعياري نفسهما.

تُستعمل معلمات المجتمع لتقدير إحصائيات العينة.

استعمال العينات العشوائية البسيطة يضمن عدم وجود أي تحيّز.

تحدّ: إذا دلَّ المُتغير العشوائي $\bar{X}$ على توزيع الأوساط الحسابية لعينات أُخذت من مجتمع ما، وبلغ حجم كل منها 30، وحُوّلت الأوساط الحسابية للعينات وفقًا للعلاقة: $12\bar{X} = \bar{Y}$، حيث: $4.2 = \sigma_{\bar{y}}, 48 = \mu_{\bar{y}}$، فأجد الوسط الحسابي والانحراف المعياري للمجتمع الأصلي الذي أُخذت منه هذه العينات.