التقريب الاحتمالي باستعمال التوزيع الطبيعي

• إيجاد احتمال أن يأخذ المُتغير العشوائي لتوزيع الأوساط الحسابية لعينات عشوائية مأخوذة من مجتمع طبيعي قيمًا بعينها.
• إيجاد احتمال أن يأخذ المُتغير العشوائي لتوزيع الأوساط الحسابية لعينات عشوائية أُخذت من مجتمع وسطه الحسابي معلوم، وبلغ حجم كل منها 30 أو أكثر، قيمًا بعينها.
• تعرُّف شروط تقريب توزيع ذي الحدين إلى توزيع طبيعي.
• توظيف عامل الاستمرارية في إيجاد احتمال أن يأخذ المُتغير العشوائي ذو الحدين المُقرّب إلى توزيع طبيعي قيمًا بعينها.

وسط العيّنة متغيّر عشوائي له توزيعه

• توزيع الأوساط الحسابية لعينات متماثلة الحجم من مجتمع طبيعي قريب من التوزيع الطبيعي، مهما كان حجم العينة $n$.

فما صيغة هذا التوزيع، وما وسطه وانحرافه؟

• احتمال $\bar{X}$ يُوجَد كاحتمال أي مُتغير عشوائي طبيعي: بتحويله إلى $Z \sim N(0, 1)$.
• جدول التوزيع الطبيعي المعياري يُستعمل عندئذٍ لإيجاد الاحتمال.

• $\bar{x}$: الوسط الحسابي للعينة.
• $\mu$: الوسط الحسابي للمجتمع.
• $\sigma_{\bar{x}}$: الخطأ المعياري للوسط الحسابي.

كتل: تتبع كتل الرجال في أحد المجتمعات توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $70\ \text{kg}$، وانحرافه المعياري $15\ \text{kg}$.

إذا اختيرت عينة عشوائية تضمُّ $20$ رجلًا، فأجد احتمال أن يكون الوسط الحسابي لكتل الرجال في العينة بين $65\ \text{kg}$ و$74\ \text{kg}$.

عيّنة كبيرة: لا يهمّ شكل المجتمع

• كلما كبر حجم العينة $n$، اقترب شكل توزيع الأوساط الحسابية من شكل التوزيع الطبيعي، مهما كان توزيع المجتمع، استنادًا إلى نظرية النهاية المركزية.

• يُوجَد احتمال المُتغير العشوائي للأوساط الحسابية للعينات بالطريقة نفسها التي يُوجَد بها احتمال المُتغير العشوائي الطبيعي.

شاشات: الوسط الحسابي لعدد ساعات استعمال الشباب للشاشات أسبوعيًّا في المدينة $21$ ساعة، والانحراف المعياري $6$ ساعات.

إذا اختيرت عينة عشوائية بسيطة تضمُّ $100$ شاب، فأجد احتمال أن يكون الوسط الحسابي لاستعمال الشاشات من هؤلاء الشباب أكبر من $22.5$ ساعة.

متى يشبه توزيع ذي الحدين المنحنى الطبيعي؟

• توزيع ذي الحدين يُعطى بالقاعدة الآتية:

• $n$: عدد المحاولات في التجربة.
• $p$: احتمال النجاح في كل محاولة.
• $r$: عدد المحاولات الناجحة من بين $n$ من المحاولات.

• نظرية النهاية المركزية تقرر أنَّ أي توزيع احتمالي لعينات عشوائية مأخوذة من مجتمع توزيعه غير معلوم يُمكن أن يقترب من التوزيع الطبيعي مع زيادة حجم العينة $n$ بشكل كبير.
• يبدأ توزيع ذي الحدين بالتشابه مع شكل التوزيع الطبيعي إذا زاد عدد المحاولات أو اقترب احتمال النجاح من $0.5$.

لكنَّ ذا الحدين منفصل والطبيعي متصل، فماذا نفعل؟

• $n$: عدد المحاولات في التجربة.
• $p$: احتمال النجاح في كل محاولة.

عامل تصحيح الاستمرارية: نصف وحدة

• توزيع ذي الحدين منفصل، والتوزيع الطبيعي متصل، فيلزم استعمال عامل تصحيح الاستمرارية عند استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب قيمة احتمالية في توزيع ذي الحدين.

• مثال: لتقريب $P(X = 9)$ بالتوزيع الطبيعي، يُحتّم عامل تصحيح الاستمرارية حساب $P(8.5 < X < 9.5)$ كما في الشكل.

• عند استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب قيمة احتمالية لتوزيع ذي الحدين، فإنَّه يُمكن استعمال عامل تصحيح الاستمرارية على النحو الآتي، حيث $c$ قيمة مُعيَّنة في توزيع ذي الحدين:

فكيف نرتّب هذه الأدوات في خطوات واحدة؟

أربع خطوات لتقريب ذي الحدين

• الشرط: $X \sim B(n, p)$، و $np \ge 5$ و $n(1-p) \ge 5$.
• الخطوة 1: إيجاد الوسط الحسابي والانحراف المعياري لتوزيع ذي الحدين.
• الخطوة 2: التعبير عن المسألة باستعمال رموز احتمال المُتغير العشوائي $X$.
• الخطوة 3: إيجاد عامل تصحيح الاستمرارية، ثم إعادة كتابة المسألة باستعمال رموز احتمال $Y$ لإظهار المساحة أسفل المنحنى الطبيعي.
• الخطوة 4: إيجاد قِيَم $z$ المُقابلة لقِيَم المُتغير العشوائي $Y$، ثم استعمال جدول التوزيع الطبيعي وخصائصه لإيجاد الاحتمال المطلوب.

نباتات: احتمال أن يتجاوز طول نوع مُعيَّن من شُجَيْرَات الورد $2\ \text{m}$ هو 25%.

إذا اختيرت $60$ شُجَيْرَة ورد عشوائيًّا من النوع نفسه، فأستعمل التوزيع الطبيعي لتقريب احتمال ألَّا يقلَّ عدد الشُّجَيْرَات التي يزيد طولها على $2\ \text{m}$ في العينة عن $18$ شُجَيْرَة.

تدرَّب: احتمال الوسط الحسابي للعينة

سرعة: سرعة السيّارات التي تمرُّ عن إحدى كاميرات المراقبة تتبع توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $60\ \text{km/h}$، وانحرافه المعياري $5\ \text{km/h}$.

إذا اختيرت عينة عشوائية شملت $40$ سيّارة، فأجد احتمال أن يكون الوسط الحسابي للسرعات في العينة أقلَّ من $62\ \text{km/h}$.

أطوال: أطوال البراغي التي تُنتجها آلة تتبع توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $8.2\ \text{mm}$، وانحرافه المعياري $0.3\ \text{mm}$.

إذا اختيرت عينة عشوائية مُكوّنة من $25$ برغيًا، فأجد احتمال أن يكون الوسط الحسابي لأطوال البراغي في العينة بين $8\ \text{mm}$ و$8.3\ \text{mm}$.

أمراض: الزمن اللازم لتعافي المصابين من أحد أنواع الفيروسات يتبع توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $4.5$ أيام، وانحرافه المعياري يومان.

أجد احتمال أن يكون الوسط الحسابي لزمن التعافي أقلَّ من $4$ أيام لعينة تضمُّ $75$ شخصًا.

أجد احتمال أن يكون الوسط الحسابي لزمن التعافي بين $4.4$ أيام و$4.8$ أيام لعينة عشوائية تضمُّ $80$ شخصًا.

تصليح: الوسط الحسابي للزمن الذي تستغرقه ورشة تصليح سيّارات في خدمة السيّارة الواحدة $80$ دقيقة، والانحراف المعياري $20$ دقيقة.

أجد احتمال أن يزيد الوسط الحسابي لخدمة عينة مكونة من $80$ سيّارة على $83$ دقيقة.

صناعة: الوسط الحسابي لعدد الأعواد في العلبة الواحدة $52$ عودًا، والانحراف المعياري $4$.

إذا اختيرت عينة عشوائية شملت $120$ علبة، فأجد احتمال أن يكون الوسط الحسابي لعدد الأعواد في العينة أقل من $51$ عودًا.

إذا كان: $X \sim N(40, \sigma^2)$ احتمال أن يزيد الوسط الحسابي لعينة، حجمها $10$ مشاهدات، على $42$ هو $0.1$. أجد قيمة $\sigma$.

زراعة: كمية الحليب (باللتر) التي تُنتجها إحدى مزارع الأبقار يوميًا تتبع توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $\mu$، وانحرافه المعياري $6$.

اختيرت عينة عشوائية مكونة من $20$ يومًا.

احتمال أن يزيد الوسط الحسابي لكمية إنتاج الحليب يوميًا في العينة على $30\ \text{L}$ هو $0.25$. أجد قيمة $\mu$.

تبرير: الوسط الحسابي لعلامات المتقدمين لاختبار القدرات $74.5$، والانحراف المعياري لها $6$.

إذا اختيرت عينة عشوائية شملت $36$ علامة اختبار، فأجد احتمال ألا يزيد البُعد بين الوسط الحسابي للعلامات في العينة والوسط الحسابي للمجتمع على علامة واحدة، ثم أُبرر إجابتي.

تحدٍّ: الانحراف المعياري للمُتغير العشوائي $X$ هو $8.2$، وأُخذت عينة عشوائية من المجتمع، حجمها $100$ مشاهدة.

أجد احتمال أن يقل الفرق بين الوسط الحسابي للمجتمع والوسط الحسابي للعينة عن $0.2$.

تدرَّب: هل يصحّ التقريب الطبيعي؟

• تبيّن كل حالة استطلاع رأي، طُلب فيه إلى الطلبة الإجابة بـ (نعم) أو (لا).
• أحدّد إذا كان ممكنًا استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب $X$ الذي يمثل عدد الطلبة الذين أجابوا بـ (نعم).
• ثم أجد الوسط الحسابي والانحراف المعياري إن أمكن، وإلا أبين السبب.

الحالة 7: 34% من طلبة المرحلة الثانوية يستعملون هواتفهم أكثر من $3$ ساعات يوميًا لأغراض غير دراسية.

اختيرت عينة عشوائية تضمُّ $15$ طالبًا.

الحالة 8: 40% من طلبة المرحلة الثانوية الذين يدرسون بانتظام يوميًا يستعينون بالإنترنت.

اختيرت عينة عشوائية تضمُّ $12$ طالبًا ممَّن يدرسون بانتظام كل يوم.

طب: 10% من المرضى يتجاهلون تعليمات استعمال الأدوية.

إذا اختيرت عينة عشوائية تضمُّ $200$ مريض، فأستعمل التوزيع الطبيعي لتقريب احتمال ألا يزيد عدد المرضى الذين يتجاهلون تعليمات الطبيب على $25$ مريضًا.

بحوث اجتماعية: 7% من سكان إحدى المدن يستعملون أيديهم اليسرى.

إذا أُخذت عينة عشوائية من المجتمع، حجمها $n$ شخصًا، وكان العدد المتوقع للأشخاص الذين يستعملون أيديهم اليسرى في العينة $2$، فأجد الانحراف المعياري للعينة.