فترات الثقة

• إيجاد الحد الأقصى لخطأ التقدير للوسط الحسابي للمجتمع.
• إيجاد فترات الثقة للوسط الحسابي للمجتمع.
• إيجاد الحد الأدنى لحجم العينة اللازم لإجراء تقدير دقيق.

ماذا يعني تقدير الشركة لزمن وصول الطرد؟

فكيف نقيس ثقتنا بفترة كهذه؟

إلى أي حد نثق بأن الفترة تحتوي المعلمة؟

• نختار عينة عشوائية لتقريب الوسط الحسابي للمجتمع الذي يُسمى المعَلَمة، ونجد الوسط الحسابي لهذه العينة الذي يُسمى الإحصائي.
• لا توجد معلومات دقيقة عن مدى قرب هذا الإحصائي من المعَلَمة؛ لذا نجد فترة من الأعداد الحقيقية باستعمال الوسط الحسابي للعينة.
• يتوفر لدينا مستوى مُعيَّن من الثقة بأنَّ هذه الفترة ستحتوي على المعَلَمة التي نبحث عنها.

• تُكتب هذه النسبة غالباً بوصفها نسبة مئوية مثل 90%، و95%، و99%، ويُرمز إلى مستوى الثقة بالحرف $c$.
• شروط استعمال التوزيع الطبيعي المعياري: الانحراف المعياري للمجتمع ($\sigma$) معروف والمجتمع طبيعي، أو حجم العينة كبير ($n \ge 30$).

• معنى $c$: نحن واثقون بنسبة $c$ أنَّ الوسط الحسابي للمجتمع سيكون واقعاً ضمن فترة مُعيَّنة.
• لو أعدنا اختيار عينة من الحجم نفسه، وأوجدنا فترات التقدير، وكرَّرنا ذلك عدداً كبيراً من المرَّات؛
• فإنَّ $c$ من هذه الفترات تقريباً ستحتوي على القيمة الحقيقية للوسط الحسابي للمجتمع.

وكيف نحوّل مستوى الثقة إلى رقم نستعمله في الحساب؟

• $Z$ هو المتغير العشوائي الطبيعي المعياري.
• يتطلَّب إيجاد القيمة الحرجة المُرتبطة بمستوى الثقة 95% ($c = 0.95$) البحث عن قيمة $z$ الموجبة، حيث:
• $0.95 = 2P(Z < z) - 1 = P(-z < Z < z)$
• يتبيَّن أنَّ $z = 1.96$ بالرجوع إلى جدول التوزيع الطبيعي المعياري.

ما أكبر خطأ ممكن في تقدير الوسط؟

• $z$: القيمة الحرجة التي تُقابل مستوى ثقة مُعيَّناً.
• $\sigma$: الانحراف المعياري للمجتمع.
• $n$: حجم العينة؛ شرط أن يكون $n \ge 30$ إذا لم يكن المجتمع طبيعياً.

في دراسة أُجريت في إحدى المدن، وشملت عينة عشوائية قوامها 60 شخصاً، الوسط الحسابي لما يُنفقه الفرد شهرياً على المواصلات العامة هو ⁦48 JD⁩.

الانحراف المعياري لما يُنفقه الفرد شهرياً في هذه المدينة هو ⁦12 JD⁩.

أستعمل مستوى ثقة 90% لإيجاد الحد الأقصى لخطأ التقدير للوسط الحسابي لإنفاق الفرد على المواصلات العامة شهرياً، ثمَّ أُفسِّر معنى الناتج.

وماذا لو لم نعرف انحراف المجتمع؟

• إذا كان الانحراف المعياري للمجتمع غير معلوم، فيمكن استعمال الانحراف المعياري للعينة ⁦s⁩ بدلاً من $\sigma$ لإيجاد قيمة $E$، شرط أن يكون حجم العينة $n \ge 30$.

• s: الانحراف المعياري للعينة.
• n: حجم العينة؛ شرط أن يكون $n \ge 30$.

في دراسة أُجريت في إحدى الدول، وشملت عينة عشوائية قوامها 50 شخصاً بالغاً، سُئلوا عن عدد ساعات تصفحهم وسائل التواصل الاجتماعي يومياً.

الوسط الحسابي لذلك هو 3.8 ساعات، والانحراف المعياري هو 0.65 من الساعة.

أستعمل مستوى ثقة 95% لإيجاد الحد الأقصى لخطأ التقدير للوسط الحسابي لعدد الساعات التي يتصفح فيها الأشخاص البالغون وسائل التواصل الاجتماعي يومياً، ثمَّ أُفسِّر معنى الناتج.

كيف نبني فترة الثقة حول وسط العينة؟

• يُرمز إلى فترة الثقة بالرمز ⁦CI⁩.
• نجد فترة الثقة للوسط الحسابي بإضافة الحد الأقصى لخطأ التقدير $E$ وطرحه من الإحصائي $\bar{x}$.

• يُمثل $\bar{x}$ الوسط الحسابي للعينة.
• يُمثل $n$ حجم العينة؛ شرط أن يكون $n \ge 30$ إذا لم يكن المجتمع طبيعياً.

في دراسة على عينة تضم 25 شخصاً اختيروا عشوائياً من زبائن أحد المراكز التجارية، الوسط الحسابي لما أنفقه الزبون في ذلك اليوم هو ⁦70 JD⁩.

إذا افترضتُ أنَّ التوزيع طبيعي، وأنَّ انحرافه المعياري ⁦12 JD⁩، فأجد فترة الثقة بمستوى 95% للوسط الحسابي لما أنفقه زبائن المركز التجاري في ذلك اليوم، ثمَّ أُفسِّر معنى الناتج.

وكيف نبني فترة الثقة بالانحراف المعياري للعينة؟

• $z$ هي القيمة الحرجة التي تُقابل مستوى ثقة مُعيَّناً.
• ⁦s⁩ هو الانحراف المعياري للعينة.
• يُمثل $\bar{x}$ الوسط الحسابي للعينة، و$n$ حجم العينة؛ بشرط أن يكون $n \ge 30$.

في دراسة أجراها قسم الجودة في أحد مصانع إنتاج العصير، وشملت عينة عشوائية مُكوَّنة من 150 عُلبة، الوسط الحسابي لكمية العصير في عُلب العينة هو ⁦330 mL⁩، والانحراف المعياري لها هو ⁦15 mL⁩.

أجد فترة الثقة بمستوى 99% للوسط الحسابي لكمية العصير في العُلب التي يُنتجها المصنع، ثمَّ أُفسِّر معنى الناتج.

كم عنصراً تحتاج العينة لتكون دقيقة؟

• يُطرح غالباً سؤال يتعلق بتحديد الحد الأدنى لحجم العينة المطلوب للحصول على تقدير يمتاز بدرجة كافية من الدِّقَّة.
• المعلومات الثلاث المطلوبة:
• الحد الأقصى المسموح به لخطأ التقدير ($E$).
• الانحراف المعياري للمجتمع ($\sigma$).
• مستوى الثقة المرغوب ($c$) الذي تُستخلَص منه القيمة الحرجة ($z$).

• تُضرب طرفي المعادلة في $\sqrt{n}$ لتصبح:

• تُقسم طرفي المعادلة على $E$ لتصبح:

• تُربع طرفي المعادلة للوصول إلى الصيغة النهائية:

• يُمثّل n حجم العينة.
• تُمثّل z القيمة الحرجة التي تُقابل مستوى ثقة مُعيَّناً.
• تُمثّل σ الانحراف المعياري للمجتمع.
• يُمثّل E الحد الأقصى للتقدير للوسط الحسابي.

ترغب إدارة أحد المطاعم في تقدير الوسط الحسابي للزمن الذي يقضيه الزبائن في إنهاء وجبة الغداء.

أجد الحد الأدنى لحجم العينة التي يتعيَّن على إدارة المطعم اختيارها ليكون تقديرها دقيقاً بنسبة 99%، وبحدٍّ أقصى للخطأ مقداره 4 دقائق (بافتراض أنَّ الانحراف المعياري لمُدَّة تناول الوجبة هو 11.3 دقيقة).

طبّق: أخطاء التقدير وفترات الثقة وحجم العينة

في دراسة شملت 10 موظفين من قسم خدمة العملاء في شركة اتصالات، الوسط الحسابي لعدد المكالمات التي يستقبلها الموظف هو 30 مكالمة يومياً.

إذا افترضتُ أنَّ التوزيع طبيعي، وأنَّ انحرافه المعياري 5 مكالمات، فأستعمل مستوى ثقة 95% لإيجاد الحد الأقصى لخطأ التقدير ثمَّ أُفسِّر معنى الناتج.

في دراسة شملت عينة عشوائية قوامها 35 شخصاً من مراجعي إحدى الصيدليات، الوسط الحسابي لما يُنفقه الفرد شهرياً على الأدوية هو ⁦38 JD⁩، والانحراف المعياري هو ⁦10 JD⁩.

أستعمل مستوى ثقة 90% لإيجاد الحد الأقصى للتقدير للوسط الحسابي لإنفاق الفرد على الأدوية شهرياً، ثمَّ أُفسِّر معنى الناتج.

في دراسة لعينة عشوائية شملت 50 حبلاً من إنتاج أحد المصانع، الوسط الحسابي لأطوالها هو ⁦501 cm⁩، والانحراف المعياري لأطوال الحبال هو ⁦0.3 cm⁩.

أجد فترة الثقة بمستوى 94% للوسط الحسابي لأطوال الحبال التي يُنتجها المصنع، ثمَّ أُفسِّر معنى الناتج.

تتبع كتل كعكات الجوز التي يَصنعها أحد محال الحلويات توزيعاً طبيعياً انحرافه المعياري ⁦20 g⁩.

أُخذت عينة عشوائية مُكوَّنة من 12 كعكة، والوسط الحسابي لكتلها هو ⁦460 g⁩. أجد فترة الثقة بمستوى 96% للوسط الحسابي لكتل كعكات الجوز التي يَصنعها المحل، ثمَّ أُفسِّر معنى الناتج.

أُخذت عينة عشوائية شملت 125 بيضة من إنتاج إحدى المزارع، والوسط الحسابي لكتل العينة هو ⁦58 g⁩، والانحراف المعياري لها هو ⁦5 g⁩.

أجد فترة الثقة بمستوى 98% للوسط الحسابي لكتل البيض التي تُنتجه المزرعة، ثمَّ أُفسِّر معنى الناتج.

يرغب مسؤول التسويق بإحدى شركات الهواتف الذكية في تقدير الوسط الحسابي لعدد التطبيقات التي يستعملها العميل يومياً.

هدفه مستوى ثقة 90%، وأن يكون الوسط الحسابي ضمن 1.5 ± تطبيق من الوسط الحسابي للعينة. أجد حجم العينة اللازم (بافتراض أنَّ الانحراف المعياري هو 9 تطبيقات).

تتبع مستويات الكوليسترول في دم المرضى الذين يُراجعون أحد الأطباء توزيعاً طبيعياً انحرافه المعياري ⁦0.6 mmol/L⁩.

يرغب الطبيب أن يكون تقديره للوسط الحسابي لمستوى الكوليسترول دقيقاً بنسبة 95%، وبحدٍّ أقصى للخطأ مقداره 0.8. أجد الحد الأدنى لحجم العينة.

ترغب مُعلِّمة في التحقُّق من المُدَّة التي تقضيها طالباتها في أداء واجباتهن المدرسية في مبحث الرياضيات أسبوعياً، فاختارت عينة عشوائية تضم 50 طالبة، ودوَّنت عدد الدقائق $x$ لكل طالبة.

$\sum x_i = 3012, \sum x_i^2 = 189354$ أجد فترة الثقة بمستوى 99% للوسط الحسابي لعدد الدقائق التي تقضيها جميع الطالبات في أداء واجباتهن على مدار الأسبوع، ثمَّ أُفسِّر معنى الناتج.

تبرير وتحدٍّ: من الفترة إلى مستوى الثقة

تتبع أطوال الرجال (بالسنتيمتر) في أحد المجتمعات توزيعاً طبيعياً. أُخذت عينة عشوائية تضم 200 رجل، وحُسبت فترة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع بمستوى 98%، فكانت: $182.6 \le \mu \le 179.2$.

أجد الوسط الحسابي للعينة، ثمَّ أُبرِّر إجابتي.

أجد الانحراف المعياري للمجتمع، ثمَّ أُبرِّر إجابتي.

أجد فترة الثقة بمستوى 95% للوسط الحسابي للمجتمع، ثمَّ أُبرِّر إجابتي.

أُخذت عينة عشوائية قوامها 50 عُلبة بسكويت من إنتاج أحد المصانع، وقِيست الكتلة $m$ (بالغرام) لكل حبة بسكويت، وحصل المصنع على المعلومات الآتية:

$\sum m_i = 15924, \sum m_i^2 = 5085213$ أجد فترة الثقة بمستوى 92% للوسط الحسابي للمجتمع.

إذا كان طول فترة الثقة بمستوى $x$% للوسط الحسابي للمجتمع هو 10، فأجد قيمة $x$.