اختبار الفرضيات

• تعرُّف الفرضية الصفرية والفرضية البديلة، وكتابتهما لادعاء ما.
• تعرُّف النوع ⁦I (⁩النوع الأول) والنوع ⁦II (⁩النوع الثاني) من الأخطاء التي يُمكن الوقوع بها عند اتخاذ قرارات بخصوص الفرضية الصفرية.
• تعرُّف اختبارات الأهمية الثلاثة: اختبار أحادي الطرف يميناً، واختبار ثنائي الطرف، واختبار أحادي الطرف يساراً.
• إجراء اختبارات الأهمية الثلاثة.

الفرضيتان: ما الذي نختبره بالضبط؟

سأتعرَّف في هذا الدرس اختبار الفرضية ⁦(hypothesis testing)⁩.

• فترة الثقة من الدرس السابق تقدّر الوسط الحسابي للمجتمع عن طريق العينة.

• نصوغ الادعاء أولاً في صورة عبارة رياضية، ثم نشكّل زوجاً من الفرضيات.

• قد يكون الادعاء جزءاً من الفرضية الصفرية، أو جزءاً من الفرضية البديلة.
• $H_1$ يعبّر عن متممة $H_0$.

أكتب الفرضية البديلة والفرضية الصفرية لكل عبارة مما يأتي، ثمَّ أحدد أيهما تُمثِّل الادعاء:

تدعي إدارة أحد الفنادق أن الوسط الحسابي لتقييم الزبائن الخدمة المقدمة لا يقل عن 4.5 من 5.

تَدَّعي إحدى شركات تعبئة المياه أنَّ درجة حموضة المياه ⁦(pH)⁩ التي تُنتجها تساوي 7

تَدَّعي إحدى شركات الصيانة أنَّ مُتوسِّط الفترة التي تحتاج إليها لإصلاح الأجهزة الإلكترونية أقل من 3 أيام بعد تسلُّمها.

كيف نقرّر: نرفض الفرضية أم لا نرفضها؟

• يبدأ اختبار صحة ادعاء حيال مُعَلَمة في المجتمع دائماً بالفرضية الصفرية $H_0$.
• يُستعمَل الوسط الحسابي للعينة المُستخرَج من البيانات المُتوافرة لمقارنة الادعاء بالوسط الحسابي المُفترض للمجتمع.
• يعتمد قرار رفض $H_0$ أو عدم رفضها على تحليل الفرق وفقاً لمستوى دلالة مُحدَّد مُسبقاً.

• يُتوقَّع وجود أربع نتائج مُمكنة عند اختبار الفرضية الإحصائية ناتجة من احتمالين لحالة الفرضية الصفرية واحتمالين للقرار الإحصائي بناءً على بيانات العينة.
• ينتج من ذلك حالتان يكون فيهما القرار صحيحاً وهما رفض الفرضية إذا كانت غير صحيحة وعدم رفضها إذا كانت صحيحة حقاً.

لكن القرار مبني على عينة، فهل يمكن أن يخطئ؟

• تحدث هذه الأخطاء لأن الحكم يعتمد على بيانات مأخوذة من عينة جزئية لا من المجتمع كله مما يجعل احتمال الوقوع في خطأ إحصائي أمراً وارداً.

تدعي إحدى الشركات المنتجة للـ وجبات غذائية أن متوسط السعرات الحرارية في وجباتها الجاهزة لا يقل عن 400 سعرة حرارية لكل وجبة.

$H_0: \mu \ge 400, H_1: \mu < 400$ أشرح ما يعنيه وقوع خطأ من النوع ⁦I⁩ في هذا السياق.

أشرح ما يعنيه وقوع خطأ من النوع ⁦II⁩ في هذا السياق.

مستوى الدلالة: كم خطأً نسمح به؟

• يعني اختيار $\alpha$ بقيمة 0.10 وجود احتمال بنسبة 10% لرفض الفرضية الصفرية بالرغم من أنها صحيحة.
• تبلغ نسبة احتمال اتخاذ قرار صحيح 90% في هذه الحالة.
• تُختار قيمة $\alpha$ وفقاً لطبيعة الدراسة ومدى حساسية النتائج.
• تُعد القيم الآتية أكثر القِيَم شيوعاً واستعمالاً في التطبيقات الإحصائية:
• $\alpha = 0.10$
• $\alpha = 0.05$
• $\alpha = 0.01$

• تُحدَّد المنطقة الحرجة بالاعتماد على قيمة $\alpha$ وفقاً لخصائص الدراسة في ما يُشبه طريقة إيجاد فترات الثقة.
• يعتمد موضع المنطقة الحرجة على صيغة الفرضية البديلة.
• تشير علامة عدم المساواة في الفرضية البديلة إلى نوع الاختبار الإحصائي المطلوب.

• توضع المنطقة الحرجة في الطرف الأيسر للتوزيع في الاختبار أحادي الطرف يساراً.

• توضع المنطقة الحرجة في الطرف الأيمن للتوزيع في الاختبار أحادي الطرف يميناً.

• تُوزَّع المنطقة الحرجة على طرفي التوزيع في الاختبار ثنائي الطرف.

الخطوات الأربع من الادعاء إلى الاستنتاج

• بعد تحديد المساحة المرتبطة بمستوى الدلالة $\alpha$ نحسب إحصائي الاختبار للوسط الحسابي للعينة، وهو قيمة $z$ الخاصة بها.

• الانحراف المعياري للمجتمع معلوم، وأن حجم العينة $30 \le n$.

اختبار أحادي الطرف يميناً: بروتين علبة اللبن

تَدَّعي شركة تعمل في مجال تصنيع الأدوية أنَّ مقدار المادة الفعَّالة في أحد أنواع حبوب الدواء التي تُنتجها هو ⁦100 mg⁩ على الأكثر.

للتحقُّق من صحَّة هذا الادعاء، أُخذت عينة عشوائية مُكوَّنة من 36 حبَّة دواء، فكان الوسط الحسابي لمقدار المادة الفعَّالة في العينة ⁦103 mg⁩.

إذا كان الانحراف المعياري للمجتمع ⁦4.5 mg⁩، فأستعمل مستوى دلالة 10% لتحديد إذا كانت توجد أدلَّة كافية لرفض ادعاء الشركة أم لا.

اختبار أحادي الطرف يساراً: زمن توصيل البيتزا

تَدَّعي إدارة أحد مصانع السيارات أنَّ الوسط الحسابي للزمن اللازم لتجميع سيارة واحدة باستعمال خط الإنتاج الآلي الجديد هو أقل من 18 ساعة.

للتحقُّق من صحَّة هذا الادعاء، أُخذت عينة عشوائية مُكوَّنة من 35 سيارة، فكان الوسط الحسابي لزمن التجميع 17.3 ساعة، والانحراف المعياري 2.6 من الساعة.

أستعمل مستوى دلالة 1% لتحديد إذا كانت توجد أدلَّة كافية لرفض ادعاء إدارة المصنع أم لا.

الاختبار ثنائي الطرف: عدد مسامير العلبة

• في الاختبار الثنائي الطرف تقسم قيمة مستوى الدلالة $\alpha$ على 2؛ لتحديد موقع كل من المنطقتين الحرجتين عند طرفي التوزيع.
• الفرضية البديلة تشير إلى وجود فرق من دون تحديد اتجاهه؛ فيوزع احتمال الخطأ من النوع الأول على طرفي المنحنى بالتساوي.
• تستعمل القيمة $\frac{\alpha}{2}$ لتحديد القيمة الحرجة $z_\alpha$ في كل طرف.

• الانحراف المعياري للمجتمع غير معلوم.
• حجم العيّنة $n \ge 30$.

تَدّعي إحدى شركات تصنيع الأجبان أنَّ كل عُلْبة جُبن تُنتجها تحتوي على 24 شريحة كاملة من دون نقص.

للتحقق من صحة هذا الادّعاء، أُخذت عيّنة عشوائية مُكوَّنة من 93 عُلْبة جُبن، فكان الوسط الحسابي لعدد الشرائح في العُلْبة 24.1 شريحة، والانحراف المعياري 0.5 شريحة.

أستعمل مستوى دلالة 5% لتحديد إذا كانت توجد أدلّة كافية لرفض ادّعاء الشركة أم لا.

تمرّن: من الادعاء إلى القرار

أكتب الفرضية البديلة والفرضية الصفرية لكل عبارة مما يأتي، ثمَّ أُحدِّد أيهما تُمثِّل الادّعاء:

تَدّعي شركة لتصنيع الهواتف المحمولة أنَّ بطارية الهاتف المحمول الذي تُنتجه يدوم عملها مُدَّة 36 ساعة تحديدًا في وضع الاستعمال المُتوسِّط.

تَدّعي وزارة الصّحّة في إحدى الدول أنَّ مُتوسِّط أعمار الأفراد فيها لا يقل عن 74 عامًا.

تَدّعي شركة نقل في إحدى المدن أنَّ زمن انتظار الرُّكّاب في مَحطّة الحافلات هو أقلُّ من 10 دقائق.

تَدّعي شركة تعمل في مجال تصنيع الأدوية أنَّ عقارها الجديد لا يُحدث تغييرًا في الوسط الحسابي لمُعدَّل نبضات القلب (75 نبضة في الدقيقة).

$H_0: \mu = 75, H_1: \mu \neq 75$ أشرح ما يعنيه وقوع خطأ من النوع ⁦I⁩ في هذا السياق.

يَدّعي وكيل لإحدى شركات تصنيع السيّارات أنَّ الوسط الحسابي لاستهلاك سيّارة جديدة للوقود لا يزيد على ⁦7 L⁩ لكل 100 كيلومتر.

$H_0: \mu \le 7, H_1: \mu > 7$ أشرح ما يعنيه وقوع خطأ من النوع ⁦I⁩ في هذا السياق.

يَدّعي مصنع لإنتاج العصائر أنَّ مقدار فيتامين ⁦C⁩ في عُلْبة عصير البرتقال الصغيرة التي يُنتجها لا يتجاوز ⁦60 mg⁩.

للتحقق من صحة هذا الادّعاء، أُخذت عيّنة عشوائية مُكوَّنة من 49 عُلْبة عصير، فكان الوسط الحسابي لمقدار فيتامين ⁦C⁩ في العيّنة ⁦63.2 mg⁩.

إذا كان الانحراف المعياري للمجتمع ⁦5.6 mg⁩، فأستعمل مستوى دلالة 10% لتحديد إذا كانت توجد أدلّة كافية لرفض ادّعاء المصنع أم لا.

يَدّعي أحد المُحاضرين أنَّ أطوال الطلبة الذكور في إحدى كليات الجامعة التي يُدرِّس فيها يزيد على ⁦170 cm⁩.

للتحقق من صحة هذا الادّعاء، أُخذت عيّنة عشوائية تضمُّ 25 طالبًا، فكان الوسط الحسابي لأطوال الطلبة في العيّنة ⁦174 cm⁩.

إذا كان توزيع المجتمع طبيعيًا، وانحرافه المعياري ⁦7 cm⁩، فأستعمل مستوى دلالة 5% لتحديد إذا كانت توجد أدلّة كافية لرفض ادّعاء المُحاضر أم لا.

يَدّعي مدير التسويق في أحد المتاجر أنَّ الوسط الحسابي لأعمار زبائن المتجر هو 33 عامًا.

للتحقق من صحة هذا الادّعاء، أُخذت عيّنة عشوائية تضمُّ 64 زبونًا، فكان الوسط الحسابي لأعمار الزبائن في العيّنة 35.6 عامًا، والانحراف المعياري 8.2 أعوام.

أستعمل مستوى دلالة 1% لتحديد إذا كانت توجد أدلّة كافية لرفض ادّعاء مدير التسويق أم لا.

فول سوداني: تَدّعي إحدى الشركات أنَّ الوسط الحسابي لكتل أكياس الفول السوداني التي تُنتجها يزيد على ⁦130 g⁩.

للتحقق من صحة هذا الادّعاء، أُخذت عيّنة عشوائية مُكوَّنة من 70 كيسًا، فكان الوسط الحسابي لكتل الأكياس ⁦138 g⁩، والانحراف المعياري ⁦12 g⁩.

أستعمل المعلومات المُعطاة لإيجاد قيمة الإحصائي $z$ للادّعاء $k$ في كلٍّ ممّا يأتي، ثمَّ أُحدِّد إذا كانت توجد أدلّة كافية لرفض الفرضية الصفرية $H_0$، ثمَّ أكتب استنتاجًا عن الادّعاء $k$:

$k: \mu < 500$ $\alpha = 0.01$ $\bar{x} = 490$ ${s} = 27$ $n = 35$

$k: \mu \neq 5500$ $\alpha = 0.01$ $\bar{x} = 5430$ ${s} = 236$ $n = 200$

$k: \mu > 88$ $\alpha = 0.05$ $\bar{x} = 91.2$ ${s} = 3.9$ $n = 32$

فكّر: أي خطأ أخطر، وماذا تعني النتيجة؟

قالت هديل: "عند اختبار فرضية ما، فإنَّ من الأفضل وقوع خطأ من النوع ⁦I⁩، لا من النوع ⁦II⁩". لكنَّ لانا لا توافقها الرأي، وقالت عكس ذلك. أيهما على صواب؟ أُبرِّر إجابتي.

أُحدِّد إذا كانت كل عبارة ممّا يأتي صحيحة أحيانًا، أم صحيحة دائمًا، أم غير صحيحة أبدًا، ثمَّ أُبرِّر إجابتي:

إذا رُفضت الفرضية الصفرية، فإنَّ الادّعاء يُرفض دائمًا.

قد تتضمَّن الفرضية البديلة رمز المساواة إذا كانت تُمثِّل الادّعاء.

يَدَّعي مُراقِب الجودة في أحد المستشفيات أنَّ الوسط الحسابي لزمن الانتظار في قسم الطوارئ لا يزيد على 20 دقيقة.

للتحقُّق من صحَّة هذا الادّعاء، أُخذت عيّنة عشوائية تضمُّ 70 مُراجِعًا، فكان الوسط الحسابي لزمن الانتظار 23.4 دقيقة، والانحراف المعياري 9.5 دقائق.

أستعمل مستوى دلالة 5% لتحديد إذا كانت توجد أدلّة كافية لرفض ادّعاء مُراقِب الجودة أم لا.

تَدَّعي شركة لإنتاج أقلام الحبر أنَّ الوسط الحسابي لعدد الصفحات التي يُمكِن للقلم الواحد كتابتها هو 200 صفحة تحديدًا من دون نقص.

للتحقُّق من صحَّة هذا الادّعاء، أُخذت عيّنة عشوائية مُكوَّنة من 93 قلمًا، فكان الوسط الحسابي لعدد الصفحات المكتوبة بالقلم 197.8 صفحة، والانحراف المعياري له 5.4 صفحات.

أستعمل مستوى دلالة 10% لتحديد إذا كانت توجد أدلّة كافية لرفض ادّعاء الشركة أم لا.