نظريتا الباقي والعوامل

• تعرف نظريتي الباقي والعوامل، واستعمالهما لتحليل كثيرات الحدود وإيجاد أصفارها.

القسمة بالجدول: طريقة بديلة للقسمة الطويلة

تعلمت سابقًا أن كثير الحدود بمتغير واحد يتكون من وحيد حد أو أكثر، وأن صورته العامة هي:

• حيث $n$ عدد صحيح غير سالب، و $a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$ أعداد حقيقية.
• من أمثلته: $P(x) = 2-x$، $P(x) = 5$، $f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x$
• يسمى اقتران كثير الحدود أحيانًا كثير حدود فقط اختصارًا.
• تعلمت أيضًا أنه يمكن قسمة كثير حدود على كثير حدود آخر باستعمال القسمة الطويلة.

• مجموع الحدود في منطقة العمل يساوي المقسوم.
• الدرجات: المقسوم من الدرجة 3 والمقسوم عليه من الدرجة 1، فالباقي من الدرجة 0 وناتج القسمة من الدرجة 2.

أستعمل طريقة الجدول لإيجاد ناتج كل مما يأتي:

a. $(x^3 + 6x^2 - 9x - 14) \div (x + 1)$

b. $(2x^3 - x^2 + 3) \div (x - 3)$

وهل نحتاج دائمًا إلى القسمة لمعرفة الباقي؟

نظرية الباقي: الباقي بالتعويض دون قسمة

ألاحظ مما سبق أنه يُمكن إيجاد باقي قسمة كثير حدود، مثل: $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5$ على كثير حدود من الدرجة 1، مثل: $(x - 3)$ بطريقتين:

• الطريقة 2: طريقة الجدول

• ولكن، هل يُمكن إيجاد باقي قسمة كثير حدود على كثير حدود من الدرجة 1 بطريقة أبسط؟

أجد باقي القسمة بنظرية الباقي في كل مما يأتي:

a. $P(x) = 4x^4 - 7x^3 + 5x^2 + 2$ $h(x) = x - 1$

b. $P(x) = 3x^3 + 8x^2 - 3x - 6$ $h(x) = x + 3$

c. $P(x) = -2x^3 - 5x^2 + 10x + 9$ $h(x) = 2x + 8$

وماذا لو كان الباقي صفرًا؟

نظرية العوامل: الباقي صفر يعني عاملًا

• إذا عُلِم أحد عوامل كثير الحدود، فإنّه يُمكن تحليله تحليلاً كاملاً، وذلك بكتابته في صورة حاصل ضرب مجموعة من كثيرات الحدود التي لا يُمكن تحليلها.

إذا كان: $P(x) = x^3 - 2x^2 - 13x - 10$، فأجيب عن السؤالين الآتيين:

⁦a)⁩ أُبيّن أنّ $(x - 5)$ عامل من عوامل $P(x)$.

⁦b)⁩ أُحلّل $P(x)$ تحليلاً كاملاً.

لكن كيف نعرف أي الأعداد نجرّبها أصفارًا؟

الأصفار النسبية: من أين نبدأ البحث؟

• لكثير الحدود $Q(x)$ في الشكل 4 أصفار، هي: $-3, 0, 1, 5$، ويقطع عندها منحناه المحور $x$.

• يُمكن استعمال نظرية الأصفار النسبية ⁦(rational zero theorem)⁩ لإيجاد بعض الأصفار المحتملة لكثيرات الحدود؛ بُغية اختبارها.

لماذا يكون عدد أصفار كثير الحدود أقل من أو يساوي درجته؟ أبرّر إجابتي.

أجد جميع أصفار كثير الحدود في ما يأتي:

a. $P(x) = 5x^3 - x^2 - 5x + 1$

b. $Q(x) = x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x - 8$

وكيف نستعمل ذلك في حل المعادلات؟

• عند إيجاد أحد الأصفار النسبية لكثير الحدود، فإنّه يُمكن إيجاد أصفاره الأخرى باستعمال القسمة والتحليل.

حلّ معادلة كثير حدود بالأصفار النسبية

• التحليل البسيط (إخراج عامل مشترك أو التجميع) يحل بعض معادلات كثيرات الحدود.
• إن لم تنفع هذه الطرائق، يمكن استعمال نظرية الأصفار النسبية لتحليل كثير الحدود المرتبط بالمعادلة، ثم حل المعادلة.

أحلُّ كل معادلة مما يأتي:

a. $x^3 - x^2 - 9x + 9 = 0$

b. $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$

فهل صرتَ تستطيع حلّ مسألة اليوم؟